定向图的斜Randic能量

图G是一个简单无向图,G~σ是图G在定向σ下的定向图,G被称作G~σ的基础图.定向图G~σ的斜Randi6矩阵是实对称n×n矩阵R_s(G~σ)=[(r_s)_(ij)].如果(v_i,v_j)是G~σ的弧,那么(r_s)_(ij)=(d_id_j)~(-1/2)且(r_s)_(ji)=(d_id_j)~(-1/2),否则(r_s)_(ij)=(r_s)_(ji)=0.定向图G~σ的斜Randi能量RE_s(G~σ)是指R_s(G~σ)的所有特征值的绝对值的和.首先刻画了定向图G~σ的斜Randi矩阵R_s(G~σ)的特征多项式的系数.然后给出了定向图G~σ的斜Randi能量RE_s(G~σ)的积分表达式.之后给出了RE_s(G~σ)的上界.最后计算了定向圈的斜Randi能量RE_s(G~σ).     

有向图斜能量的若干性质

令G为简单无向图,给图G的每条边赋予一个方向,得到的有向图记为G~σ.有向图G~σ的斜能量ε_s(G~σ)定义为G~σ的斜邻接矩阵特征值的绝对值之和.运用奇异值不等式,得到了有向图斜能量和去边后所得有向子图斜能量之间的若干性质.     

一些定向图的斜秩

设G~σ为一个定向图,S(G~σ)为它的斜邻接矩阵.定向图G~σ的斜秩定义为S(G~σ)的秩,记为sr(G~σ).本文刻画了一些定向图以及一类k-圈定向图的斜秩.     

定向图的斜秩

定向图Gσ是一个不含有环(loop)和重边的有向图,其中G称作它的基图.S(Gσ)是Gσ的斜邻接矩阵.S(Gσ)的秩称为Gσ的斜秩,记为sr(Gσ).定向图的斜邻接矩阵是斜对称的,因而,它的斜秩是偶数.本文主要考虑简单定向图的斜秩,首先给出斜秩的一些简单基本知识,紧接着分别刻画斜秩是2的定向图和斜秩是4的带有悬挂点的定向图;其次利用匹配数给出具有n个顶点、围长是k的单圈图的斜秩表达式;作为推论,列出斜秩是4的所有单圈图和带有悬挂点的双圈图;另外研究具有n个顶点、围长是k的单圈图的图类中斜秩的最小值,并刻画了极图;最后研究斜邻接矩阵是非奇异的定向单圈图.     

一种场站设置问题中的几个结论

本文研究如下一种场站设置问题:设S是欧空间E~m中由有限个点A_1,A_2,…,A_n组成的集合.d(A_i,A_j)表示点A_i和A_j之间的距离.令σ(S)=Σ_(1≤i相似文献   

关于"随机向量的函数的独立性的一个问题"的商榷

对两个独立样本ξi,1≤i≤n1,ξ1～N(a1,σ2);ηi,1≤i≤m2,η1～N(a2,σ2),证明了ξ-η-与√n1S21+n2S22独立,进而证明(√)n1n2(n1+n2-2)/n1+n2·(-ξ--η)-(a1-a2)/(√)n1S21+n2S22服从参数为n1+n2-2的t分布.     

t-可约二部分竞赛图的得分表偶

设 T_(m,n)是 m×n 二部分竞赛图,(X,T)是 T_(m,n)的顶点集合 V(T_(m,n)的有序分划,其中|X|=m,|Y|=n.设 X={x_1,x_2,…,x_m},Y={y_1,y_2,…,y_n}.顶点x_1,x_2,…,x_m 在 T_(m,n)中的得分依次为 a_1,a_2,…,a_m,a_1≤a_2≤…≤a_m;y_1,y_2,…,y_n 在 T_(m,n)中的得分依次为 b_1,b_2,…,b_n,b_1≤b_2≤…≤b_n.记 A=(a_1,a_2,…,a_m),B=(b_1,b_2,…,b_n).有序向量偶(A,B)称为 T_(m,n)的得分表偶.反之,给定有序非负整向量偶(A,B),其中 A=(a_1,a_2,…,a_m),a_1≤a_2≤…≤a_m,B=(b_1,b_2,…,b_n),b_1≤b_2≤…≤b_n,是否存在 m×n 二部分竞赛图 T_(m,n),使得(A,B)是 T_(m,n)的     

关于Erds-Jacobson-Lehel问题的门槛(英文)

设σ(k ,n)表示最小的正整数m ,使得对于每个n项正可图序列 ,当其项和至少为m时 ,有一个实现含k+ 1个顶点的团作为其子图 .Erd s等人猜想 :σ(k ,n) =(k - 1 ) ( 2n-k)+ 2 .Li等人证明了这个猜想对于k≥ 5,n≥ k2 + 3是对的 ,并且提出如下问题 :确定最小的整数N(k) ,使得这个猜想对于n≥N(k)成立 .他们同时指出 :当k≥ 5时 ,5k- 12 ≤N(k)≤ k2 + 3.Mubayi猜想 :当k≥ 5时 ,N(k) =5k - 12 .在本文中 ,我们证明了N( 8) =2 0 ,即Mubayi猜想对于k =8是成立的     

给定顶点数和边数的连通图的Q-谱半径的界

图的无符号拉普拉斯矩阵是图的邻接矩阵和度对角矩阵的和,其特征值记为q1≥q2≥…≥qn.设C(n,m)是由n个顶点m条边的连通图构成的集合,这里1≤n-1≤m≤(n2).如果对于任意的G∈C(n,m)都有q1(G*)≥q1(G)成立,图G*∈C(n,m)叫做最大图.这篇文章证明了对任意给定的正整数a=m-n+1,如果n...     

一类正整数是否是孤立数的讨论

对于任意正整数n,令σ(n)表示为n的所有正因数的和函数.对于正整数n,若存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称正整数数对(n,m)为一对亲和数;若不存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称n为孤立数.亲和数与孤立数是数论中的两类重要的整数.利用初等方法结合计算机python语言,证明了整数E(33,t)=1/2(33^(2^(t))+1)是孤立数.     

矩阵特征值的几个扰动定理

1 引言 设A∈C~(n×m),B∈C~(m×m)(m≤n),它们的特征值分别为{λ_k}_(k=1)~n和{μ_k}_(k=1)~m.令 R=AQ-QB (1)这里Q∈C~(n×m)为列满秩矩阵.Kahan研究了矩阵A在C~(n×m)上的Rayleigh商的性质,证明了下列定理:设A为Hermite矩阵,Q为列正交矩阵,即Q~HQ=I,而B=Q~HAQ,则存在 1,2,… ,n的某个排列π,使得 {sum from j=1 to m │μ_j-λ_(π(j))│~2}~(1/2)≤2~(1/2)‖R‖_F (2)其中R如(1)所示,‖·‖_F为矩阵的Frobenius范数.刘新国在[2]中将此定理推广到B为可对角化矩阵的情形,并且还建立了较为一般的扰动定理:设A为正规矩阵,B为可对角化矩阵;存在非奇异矩阵G,使得G~(-1)BG为对角阵,则存在1,2,…,n的某个排列π,使得 │μ_j-λ_(π(j))│≤2(2~(1/2))nK(G)_(σ_m~(-1))‖R‖_F,j=1,2,…,m. (3)     

有循环极大子群的素数幂阶群的作用是边传递的图(II)

假定Γ是一个有限的、单的、无向的且无孤立点的图,G是Aut(Γ)的一个子群.如果G在Γ的边集合上传递,则称Γ是G-边传递图.我们完全分类了当G为一个有循环的极大子群的素数幂阶群时的G-边传递图.结果为:设图Γ含有一个阶为pn(p是素数,n≥2)的自同构群,且G有一个极大子群循环,则Γ是G-边传递的,当且仅当Γ同构于下列图之一1)pmK1,pn-1-m,0≤m≤n-1;2)pmK1,pn-m,0≤m≤n;3)pmKp,pn-m-1,0≤m≤n-2;4)pn-mCpm,pm≥3,m＜n;5)2n-2K1,1;6)pn-1-mCpm,pm≥3,m≤n-1;7)2pn-mCpm,pm≥3,m≤n-1;8)2pn-mK1,pm,0≤m≤n;9)pn-mK1,2pm,0≤m≤n;10)pn-mK2,pm,0＜m≤n;11)C(2pn-m,1,pm);12)pkC(2pm-k,1,pn-m),0＜k＜m,0＜m≤n;13)(t-s,2m)C(2m 1/(t-s,2m),1,2n-1-m),其中0≤m≤n-1,2n-2(s-1)≡0(mod 2m),t≡1(mod 2),s(≠)t(mod 2m),1≤s≤2m,1≤t≤2n-1;14)∪p i=1 Ci p n-1,其中Ci p n-1=Ca1a1 [1 (i-1)pn-2]a 1 2[1 (i--1)p n-2]…a 1 (pn-1-1)[1 (i-1)p n-2]≌Cp n-1,i=1,2,…,p;15)∪2 i=1 Ci 2n-1,其中Ci 2n-1=Ca1a 1 [1 (i-1)(2n-2-1)]a1 2[1 (i-1)(2n-2-1)]…a1 (2n-1-1)[1 (i-1)(2n-2-1)]≌C2n-1,i=1,2.     

Mn(C)中的不可约性

对于Mn(C)(所有n×n矩阵的全体)中的不可约矩阵得到以下结果:对于任意A∈Mn(C),设λ1,λ2,…,λm为A的所有特征值,这里m≤n而且当i≠j时,λi≠λj.则A是不可约的当且仅当任意P∈A'(A),P*=P=P2,有σ(P|ker(A-λ1))=σ(P|ker(A-λ2))=…=σ(P|ker(A-λm))为单点集.     

分数(g,f,m)-消去图的不相邻顶点领域并条件（英文）

一个图称为分数(g,f,m)-消去图若删除任意m条边后的剩余子图依然存在分数(g,f)-因子.本文证明若图G的阶为n,1≤a≤g(x)≤f(x)-Δ≤b-Δ对任意顶点x∈V(G)成立,δ(G)≥(b-Δ)(b+1)/a+2m,n≥(a+b)(2(a+b)+2m-1)/(a+Δ),且|N_G(x_1)∪N_G(x_2)|≥(b-Δ)n/(a+b),对任意不相邻顶点x_1和x_2都成立,则G是分数(g,f,m)-消去图.这个领域并条件在一定程度上是最好的.     

Critical Exponent for the Parabolic Equation u_t=Δu~m + h(t)u~p in a Cone

In this paper,we study the initial-boundary value problem of porous medium equation ut = Δum + h(t)up in a cone D =(0,∞) ×Ω,where h(t) ～ tσ.Let ω1 denote the smallest Dirichlet eigenvalue for the Laplace-Beltrami operator on Ω and let l denote the positive root of l 2 +(n 2)l = ω1.We prove that if m p ≤ m + 2(σ+1) n+l + σ(m 1),then the problem has no global nonnegative solutions for any nonnegative u0 unless u0 = 0;if p m + 2(σ+1) n+l + σ(m1),then the problem has global solutions for some u 0 ≥ 0.     

完全3-部图K_(1，10，n)的交叉数

在上世纪五十年代初,Zarankiewicz猜想完全2-部图Km,m(m≤n)的交叉数为[m/2][m-1/2][n/2][n-1/2](对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数),目前只证明了当m ≤ 6时,Zarankiewicz猜想是正确的.假定Zarankiewicz猜想对m=11的情形成立,本文确定完全3-部图K1,10,n的交叉数.     

包含置换的同余式（英文）

设A_2(n)={(ij)|1≤ij≤n,(ij,n)=1},A_3(n)={(ijl),(ilj))|1≤ijl≤n,(ijl,n)=1},其中(x_1 x_2…x_k)表示循环置换,当ik时,把x_i映射到x_(i+1),x_k映射到x_1,其他元素映射到自身.我们得到了∑σ∈A~2(n)∑nk+1 σ(k)/k~m和∑∑nk+1 σ(k)/k~m的同余式,其中σ表示置换.同时,令素数p≥5,H(k)=∑_(i=1)~k1/i,我们证明了∑σ∈A_2(p)∑p=1k=1σ~m(k)H(k)≡2B_m(mod p) ∑σ∈A_3(p)∑p=1k=1σ~m(k)H(k)≡-5B_m(mod p).     

γ-可图序列与γ-完全子图

一个r-图是一个无环的无向图,其中任何两个顶点之间至多被r条边连接.一个m+1个顶点的r-完全图,记为K_(m+1)^((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图).设σ(K_(m+1)((r))作为子图).设σ(K_(m+1)^((r)),n)(τ(K_(m+1)((r)),n)(τ(K_(m+1)^((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)ⁿ d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)n d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)^((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)^((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)^((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m²+3m+1-[(m2+3m+1-[(m²+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)2+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)^((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)^((r)),n)之值.     

不含偶圈双圈图的极小斜能量

令G为简单连通图. 给图G的每条边赋予一个方向, 得到的有向图, 记为G^\sigma. 有向图G^\sigma的斜能量E_{s}(G^{\sigma})定义为G^\sigma的斜邻接矩阵特征值的绝对值之和. 令\mathcal{B}^\circ_{n}表示顶点个数为n不含偶圈的双圈图的集合. 考虑了\mathcal{B}^\circ_{n}中图依斜能量从小到大的排序问题. 利用有向图斜能量的积分公式和实分析的方法, 当n \geq 156和155 \geq n\geq 12时, 分别得到了\mathcal{B}^\circ_{n}中具有最小、次二小和次三小斜能量的双圈图.     

关于Erdos-Jacobson-Lehel 问题的门槛

设σ(k,n）表示最小的正整数m，使得对于每个n项正可图序列，当其项和至少为m时，有一个实现含k 1个顶点的团作为其子图。Erdos等人猜想：σ(k,n）＝（k-1)(2n-k) 2.Li等人证明了这个猜想对于k≥5，n≥（^k2））＋3是对的，并且提出如下问题：确定最小的整数N（k），使得这个猜想对于n≥N(k）成立。他们同时指出：当k≥5时，[5k-1/2]≤N(k）≤（^k2) 3.Mubayi猜想：当k≥5时，N(k）＝[5k-1/2]。在本文中，我们证明了N（8）＝20，即Mubayi猜想对于k=8是成立的。