一道《解析几何》课本习题的应用

一道《解析几何》课本习题的应用四川省三台中学何莲芳邮编６２１１００众所周知，弦长公式｜ＡＢ｜＝（１＋ｋ２）△｜Ｑ｜（其中△＝ｂ２－４ａｃ）在处理直线与二次曲线的弦长问题时，有着十分重要的作用。然而，当涉及的长度不是弦长（如线段的一端在曲线上，而另一端...     

抛物线上的两点弦方程及应用

<正>解决圆锥曲线的综合问题一般有两种方法:设点法与设线法．在解决与抛物线有关的问题时,由于抛物线的方程结构特征,设点法被经常用到．本文介绍与设点法有关的抛物线上的两点弦方程,并给出其应用,旨在为解决与抛物线有关的多个动点问题提供一种行之有效的方法．1抛物线上的两点弦方程已知A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)为抛物线y_2=2px(p>0)上两点,则直线AB的方程为2px-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0,一般我们称此方程为抛物线上的两点弦方程．下面推导该方程:     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

70 圆锥曲线中的弦长问题

1上一周的课结束时，给学生发下了如下的一张准备题组（说明：可以讨论；欢迎找资料参考）．2一段时间后，教师召集一些小组长碰头：点拨；分工──明确一些小组探讨的重点方法、方向；提点要求，并解答疑难处3上课了．教师简明地说：这些问题中的共同课题，是圆锥曲线中的弦长问题．解决这类弦长问题，通常有如下四条途径：1°利用公式求弦长；2°直线用参数方程表出．得用参数的几何意义用公式L＝｜t1－t2｜求弦长；3°化为极坐标方程后，利用极径求弦长；4°利用焦半径公式来求过焦点的弦长．当然，若曲线是圆时，用垂径定理与勾股定理…     

巧用斜率公式二例

已知 A、B 两点的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)(x_1≠x_2),则直线 AB 的斜率为 k=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)。这是大家十分熟悉的两点间的斜率公式,巧用这个公式解题.有时可以收到事半功倍之效。例1 当 k 为何值时,直线 y=kx+2k+1与直线2x+y-4=0的交点位于第一象限.分析:见到这道题,一般会想到用这样的方     

数学竞赛申几类限定几何极值问题

已知直线l或圆O及两定点A、B，在其上求一点P，使PA＋PB为最小．此问题称为限定几何极值问题，本文对它拓广，并对由此衍生的竞赛题的背景进行探讨及给出新解法．一般可表述为：A、B为已知圆锥曲线M外的两定点，求M上任一点P到A、B距离之和的最值．1．当线段AB与曲线M有公共点P。时．（1）PA＋PB有最小值，最小值即为线段AB的长．（2）①若M是无界曲线，PA＋PB无最大值．②若M是有界且连续的曲线，当点P为以A、B为焦点的椭圆系与M的“最后”一个公共点（再扩大一点即把M内含）时，PA＋PB最大，最大值即为此时椭圆长轴的长．…     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

巧求直线方程一例

例题已知抛物线x~2=2py上的不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x~2 6x 4q =0(q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则x_1~2=2py_1,x_2~2=2py2．∵A,B的横坐标是方程x~2 6x 4q=0的两个实根,     

抛物线两经典性质的推广及齐次化证明

1问题的提出题组(1)过抛物线y~2=2px的顶点O作互相垂直的弦OA,OB与抛物线相交于另两点A,B,求证:直线AB过定点(2p,0).(2)过抛物线y~2=2px上的一定点P(x_0,y_0),作互相垂直的弦PA,PB与抛物线相交于另两点A,B,试问直线AB是否也过定点?若过定点,请求     

三角形鞋带定理的证明、改进及应用

<正>1问题的提出在平面直角坐标系内,若△ABC顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则△ABC的面积是多少?同学们通常采用的方法有以下几种:(1)充分利用坐标的特点,通过割补法求三角形的面积;(2)先计算线段AB的长度和点C到直线AB的距离d,从而S_(△ABC)=1/2·|AB|·d;     

天车作业调度的随机性分析

编者按：本文对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行了定性的和定量的分析。现将有关内容摘录如下。当t_a，t_b…，t-k都是随机时，所给出的数值为它们的均值，设x=t_a＋t_e＋t_f，y=t_b＋t_io由于人为的调配，除x，y，其它对A，B炉的生产影响很微小，而x，y却直接关系到A炉的生产量，所以主要矛盾是x，y。先说明随机对产量的影响，设x～N（a_1，σ_1），y～N（a2，σ2）则一个周期内有x_1和x_2，y_1，y_2，y_3，当y_1＋y_2＋y_3＜x_1＋x_2时，生产照常运转，而当y_1＋y_2＋y_3≥x_1＋x_2时，A要等待B，那么整个生…     

“点差法”在解析几何中的灵活运用

在历年高考中,经常会出现有关直线与圆锥曲线关系的试题．特别在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题时,我们常用如下解法：设直线与曲线的两个交点的坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）后,     

由一道课本(解析几何)习题所想到的

解析几何课本P_(34)习题二第5题是:设A、B两点坐标分别是(x_1,y_1)和(x_2,y_2),直线AB的倾斜角是α,求证: 通过教学实践我对此题颇感兴趣。虽题目本身是一般的,此题给出公式不仅应用在求点     

两角和与差的正弦公式新证明

<正>人教B版数学必修三第84页,通过拓展阅读:“向量的数量积与三角形的面积”给出了三角形面积的坐标表示,即给定A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则S_(△AOB)=1/2|x_1y_2-x_2y_1|．在实际学习中,有同学想利用此结论推导两角差的正弦公式,只是在推导过程不知道如何进行分类讨论去绝对值．虽然此种方法的证明过程比较繁琐,但是这个过程却能很好地加深同学们对三角函数线、诱导公式的理解与应用．本文将给出此方法的完整证明过程．     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

一道解析几何题的多种解法

<正>一道数学题,因思考的角度不同可得到多种不同的思路,广阔寻求多种解法,有助于拓宽解题思路,发展学生的思维能力,提高学生分析问题的能力.如:(2012年西城区高三第一学期期末试题)如图,已知抛物线y²=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)两点,直线     

一个求最值问题的解法比较与变化

<正>若数轴上的任意两点A、B分别表示数x_1、x_2,则|x_1-x_2|表示A,B之间的距离(同学们可以自己验证或证明);对于平面直角坐标系中的任意两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),我们把|x_1-x_2|+|y_1-y_2|叫做A,B两点之间的直角距离,记作d(A,B).     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)