W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

一道分式不等式的新证及改进

一道分式不等式：设文［1」、［Zj曾给出证明．本文将原不等式改进为再给出两种证法．先看三个引理：引理1设α1≥α2≥…≥αn＞0，0＜证明可参见［3」．引理2设αi、bi．证明可见[4]．引理3设αi、简证依引理2，并注意到幂平均不等注由题知，易得n—a＞0，而（此处由n（xf十送十…十米）＞（x；十Q＋…＋1）‘，知nb＞a‘，或nb—a‘＞0．）证法2P同证法1．不妨设x；＞x，＞…＞x－＞0，方知于是依弓l理1及幂平均不等式一道分式不等式的新证及改进@孙建斌$福建省泉州市永春县科委!3626001李长明.的灵活运用.中学数学(湖北),1996,2 2…     

W·Janoux的一个不等式的简证

设 x、y、z∈ R ,证明 :y2 - x2z x z2 - y2x y x2 - z2y z ≥ 0 .此题就是著名的 W .Janoux猜想 ,最初发表在加拿大《数学难题》杂志 ,他本人没给出证明 .我国《中等数学》转载后引起关注 ,并给出了若干证法 ,但多数较烦 .下面给出一个简明 .证明　∵　 x、y、z∈ R ,∴　 y2 - x2z x z2 - y2x y x2 - z2y z　　 =y2 - x2z x (x - y) z2 - y2x y (y - z) x2 - z2y z (z - x)　　 =(y - x) (y - z)z x (z - y) (z - x)x y (x - z) (x - y)y z .但　 (y - x) (y - z)z x (z - y) (z- x)x y　 =(y- z) [(y- x) (y…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

利用平凡不等式证明不等式举例

逆用无穷等比数列各项和公式可化复杂不等式为平凡不等式.例1设x,y,z>0,则x2-z2y z yz2- xx2 zx2- yy2≥0(W.Janous猜测)证明令x y z=s,则不等式的左边等于x2-z2s-x ys2--yx2 zs2--yz2=1s(1x2--sxz2 y12--syx2 z12--syz2)=1s[(x2-z2)(1 sx xs22 …) (y2-x2)(1 sy sy22 …) (z2-     

一个猜想的证明

贵刊文[1]提出如下 猜想设|k|≤√13 16√2,x,y,z∈R ,则x kz/y z y kx/z x z ky/x y≥3(1 k)/2 (1) 此猜想是正确的,下面给出证明.     

一个不等式的推广

《数学通报》2 0 0 3年 5月号“数学问题”14 35 [1] 给出一个优美的对称不等式 :若a ,b >0 ,则　　　 aa 3b bb 3a ≥ 1. (1)9月号问题 14 5 4[2 ] 给出了一个与 (1)形式略有不同的等价不等式 .今给出这个不等式的另一等价形式 ,并对不等式进行逐步推广 .1　与不等式 (1)等价的不等式命题 1　若x ,y>0 ,且xy =1,则　　　 11 3x 11 3y ≥ 1. (2 )证　由条件 ,要证不等式 (2 ) ,只要证 11 3x 11 3y2 ≥ 1,只要证 (1 3x) (1 3y) ≥ 4 ,只要证x y≥ 2 .最后一个不等式显然成立 ,故不等式 (2 )成立 ,当且仅当x=y =1时等号成立 .2　对…     

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

运用导数巧解题

导数是解决有关数学问题的有力工具,它的综合应用的多方面的,如求曲线上某点切线斜率、倾角、切线方程、判断单调性、求单调区间、函数的极值最值、运动物体速度、加速度等.而且导数与函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等重要内容有密切的联系.一、求值例 1　若 |x|<12,求3arccosx-arccos(3x-4x3 )的值.分析:设原式为y,取x=0,得y=π,由此猜想原式的值为π,要证y=π只证yx=0即可解:设y为原式,取x= 0,得y=π,猜想y=π,欲证yx=0.证法一:y′=-31-x2+3-12x21-(3x-4x3 )2=31-4x2(1-x)(1+2x)2·(1+x)(1-2x)2　-11-x2=31-4x2(…     

一个加强不等式的简证

《数学通报》2 0 0 3年第5期《一个不等式的加强》一文将法国MohammedAassila教授提出的不等式1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥31 +abc ( 1 )(其中a ,b ,c为正数)加强为1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc( 1 + 3 abc) ,( 2 )并将加强不等式( 2 )转化为以下形式:a1 a2 +ka3+ a2a3+ka1 + a3a1 +ka2 ≥31 +k( 3)其中a1 ,a2 ,a3,k为正数.然后对( 3)给出了一个“高级”的证明方法.之所以说其证明方法“高级”,是因为其中用到了线性代数的一些知识.本文给出( 3)中一种简单证法.证　由柯西不等式知( x21 y1 + x22y2 + x23y3) (y1 …     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

奇摄动非线性系统Robin边值问题

本文研究了非线性系统奇摄动问题：ε2y"－（x，y，y）＝0，0＜x＜1，0＜ε≤1，y（0）－py'（0）＝A，p＞0，y（1）＝B，其中y，f，A，B为n维向量．在相应的假设下，利用代数型边界层函数，证明了该问题存在一个解y（x，ε），并利用微分不等式方法得到了其解的渐近估计．     

离心率的几个三角形式及其应用

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线问题中以各种参变量的形式出现．本文仅介绍参变量是三角函数的几个表达形式，并举例它们在解题中的作用，供读者参考性质1设P是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（2＞b＞0）上的一点，F1、F2是左、右焦点，若∠PF1F2＝a，∠PF2F1＝β，则证明在△PF1F2中，由正弦定理和等比定理得推论设P是双曲线b2x2－a2y2＝a2b2（2＞0，b＞0）上一点，F1、F2是左、右焦点，若∠PF1F2＝a，∠PF2F1＝β，则（1）当点P在双曲线的右支上时，（2）当点P在双曲线的左支上时，证明方法与椭圆…     

关于一个不等式猜想的新证明

文[1]提出了如下猜想:若x,y为满足x y=1的正数,n为不小于3的整数,则ynx2 y3 xnx3 y2≤2(xn 1x2 y3 yn 1x3 y2)≤2(yn 1x2 y3 xn 1x3 y2).文[2]给出了这个猜想的严谨、详尽的证明.笔者现给出这个猜想的一个新证明,证明所用的方法是证不等式最基本的方法——比较法,相对于文[2]而     

关于混合算术──几何平均值不等式的一个简洁证明

F．Holland［1］曾提出如下猜想：猜想设xi＞0（i=1,…,n）,则JI,（J;‘r）、,（JIJ。J）、,…,（J］J。…J,厂的算术平均值不大干的几何平均值．文［fi给出了这个猜想的一个组合证明;文［2］给出了一个归纳证明．但这些证明都相当繁琐．本文给出这个猜想的一个简洁证明．这个证明需用到以下的H6lder不等式和加权算术几何平均值不等式．引理互设几＞O,b。＞O（i—l,…,n）;P＞1,q引理2设a＞O,b＞O,O＜p＜l,O＜q＜l百户十q一1,则有a’b’＜pa＋ah·引理1,2的证明可见怪一本有关不等式的参考书．猜想的证明为符号…     

W·Janous猜测的一个直接证法

W·Jauous曾作了如下的猜测:设x、y、z是正数,求证: 近年来许多数学刊物上,介绍了这一猜测的多种简捷证法,本文将给出它的一个十分简明的直接证法。     

一类不等式的证明

本文介绍一类不等式的简捷证法。它可作为数学教学的辅导材料。 设a、b、c为△ABC的三边长,则存在三个正数x、y、z,使     

构造二次函数处理有关不等问题

函数思想是中学数学的重要思想方法之一有些数学问题，若能根据有关题设条件和结论中的信息，构造出适当的函数，常可使问题顺利获解．这里略举几例，谈谈构造二发函数处理有关不等问题．例1。、尸、y为8意三角形的三个内角，对于任意实数工、y、y，来证：Z‘十／十Z’＞Zxycos。＋Zyzcosg＋Zzxcosy．另析将待证式整理为关于X的二双函＞Zxycosa＋Zyzcosg＋Zzxcosy．氛热，这是根据二次国数f（）一ax’＋bx十c（a＞0），茬O＜O，则／（x）＞0；反之，老人工）＞0，则已＜0．这就晏门适二发函数解有关不等问题的常用方法．例2已知实数a、…     

一个复数命题的证明与应用

命题设z∈C，a∈R，且az≠0，则为纯虚数．1证明思路1利用纯虚数的定义证法1设z=x yi，x、y∈R，因z≠0，故x、y不同时为零．于是，思路2利用共轭复数模的性质：思路3利用复数的几何意义证法4在复平面内，设复数z、a、-a所对应的点分别为P、A、B，如图1．因Z≠0，故P不可能是坐标原点即线段AB的中点．于是动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线且除去AB的中点的轨迹为虚轴为纯虚数．证法5在复平面内，设复数z、a所对应的点分别为P、H，以OA、OP为邻边作回O从P，如图2，则OC-OA＋AC-a十z，AP--OP--OA一z一a，于是，z-a一fi十。lpAP…