方程x~2/m y~2/n=1

由于椭圆和双曲线都是有心二次曲线,决定了它们是统一物的两个方面。根据这样的指导思想,我们利用方程x~2/m y~2/n=1(m、n为参变数,且m·n≠0)来研究椭圆和双曲线的某些特性,此外在解答习题上有很多好处,统一了某些公式,而且也有助于进一步了解有心二次曲线的共性的一面。     

关于无穷级数等式∞∑n=1 1/n2=π2/6的证明

无穷级数是数学分析、微积分、高等数学等课程的重要组成部分,它在组合数学、近似计算、敛散性判断等领域中起着不可估量的作用.     

关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限

用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.     

关于数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞

用单调有界定理证明了数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞的奇子列和偶子列极限的存在性，并给出了该数列的极限为1/√2本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用．     

不等式n∑k=1 1/ak≥n2/n∑k=1ak(ak∈R+)的应用

近年来,在国内外数学竞赛及<数学通报>数学问题中,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题.     

欧拉等式n=1∑∞1/n^=π^2/6的一个证法

基于函数项级数一致收敛性概念，给出了欧拉等式（Basel问题）的一个证明．     

幂级数sun from n=0 to ∞((2n)!/(n!)~2(1/2)~(2n))的收敛性讨论

利用stirling公式和阿拉伯判别法可证级数sun from n=0 to ∞((2n)!/(n!)~2(1/2)~(2n))发散,但其相应的交错级数条件收敛.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

介绍求和公式sum from k=1 to n K~2=n(n 1)(2n 1)/6的建立方法

自然数的平方组成级数 1~1 2~2 3~2 …… n~2 ……它的前n项和是     

分形迭代ak+1=ak+a2k/n第n项的估计

研究了分形迭代ak+1=ak+a2k/n第n项an的估计.利用迭代的等价形式给出了an的一个估计1-1/n＜an＜1.进一步地,将an展开成1/n的幂级数形式后改进了上述估计,最后an被控制在一个长度为4/n2的开区间内.     

On the diophantine equation x 2 − Dy 2 = n

We propose a method to determine the solvability of the diophantine equation x2-Dy2=n for the following two cases:(1) D = pq,where p,q ≡ 1 mod 4 are distinct primes with(q/p)=1 and(p/q)4(q/p)4=-1.(2) D=2p1p2 ··· pm,where pi ≡ 1 mod 8,1≤i≤m are distinct primes and D=r2+s2 with r,s ≡±3 mod 8.     

求sun from n=1 to ∞ (1/n) K~2与sun from n=1 to ∞ (1/n) K~3的两种简单方法

几何法(l)求艺k: 含.!令k二l,2,3、…,n.对每一个k的位,作如图l所示的边一长为介的正方形4个,如图2所示的边长分别为1,无艺的矩形2个。技图3所示方式,将它们排列成涡形状。于是所有这些小块方形,拼成了一个如图3所示的矩形(利用数学归纳法,读者不难证lljl)。 丫对每一个k的值,所作6个小块方形而积之和为6k2,┌──┐│寿名│└──┘:.所拼矩形的面积二6艺k,11下卜一尸一一一叫已二立二习图2 另一方面,由图3一可知,这个矩形的长为如十卜宽为。’+,二。(。十l),所以又有 所拼矩j卜的面积=n(n+l)(Zn+l)。从而有6艺k艺=,,(“+1)(2,,+1) 山1┌…     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…     

重要极限llim from (n→∞)(1+n1/2)~n=e的注记

利用平均值不等式对重要极限limn→∞ 1 +1nn=e给出一个较简捷的证明方法。利用证明过程中所得到的不等式还可求得e的任意精度的近似值。     

HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R及其应用

若H、R分别为锐角△ABC的垂心和外接圆的半径,则有性质HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R 此性质与三角形的正弦定理同模式,为记忆方便,暂称此性质为“垂心余弦定理”,证明如下。在Rt△AEH中,HA=EA/(cos∠EAH)。在Rt△AEB中,EA=ABcosA。又cos∠EAH=sinC 所以HA=ABcosA/sinC=2RcosA。即HA/cosA=2R,同理HB/cosB=HC/cosC=2R,故得     

证明极限(?)(n!/n~n)~1/n=1/e及其应用

首先证明不等式:(1 1/n)相似文献   

不等式sum from k=1 to n(x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n (x_k))~2/(sum from k=1 to n (y_k))的应用

本文试图通过一串竟赛题谈一谈(*)的广泛应用。这些竞赛题虽有一定难度,但只要利用不等式(*)来证明,则问题十分简捷合理,新     

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We study the random variables of radial asymmetry based on copulas. We research on the structure of random variables which radial asymmetry degree isand get the exact best-possible bounds of random variables which radial asymmetry degree is equal to. Then we expand to general case. We propose an essential condition of radial asymmetry degree is and study the structure of copula. We provide a broad bounds of copula that the radial asymmetry degree is .