椭圆标准方程的推导及启示

课本中推导椭圆标准方程的计算量大而繁,若能抓住椭圆定义中|MF_1| |MF_2|=2a(a＞0),构造等差数列,则可巧妙而简捷地推导椭圆的标准方程。由椭圆的定义,按教材中的方法建立直角坐标系,得方程：(?) ∴ (?)成等差数列,设公差为d,则有①~2-②~2,得 4cx=4ad, 即 d=(c/a)x ③     

推导椭圆标准方程的几点体会

在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c     

用特定位置解一类解几填充题

利用特殊位置巧解一类解几填充题,可一望而解: 1.已知圆(x+4)~2+(y-3)~2=4和直线y=mx交于P、Q两点,则|OP|·|OQ|=_______。 2.M是椭圆x~2/9+y~2/4=1上任一点,F_1、F_2是它的焦点,Q是△MF_1F_2的内心,MQ延长线交直线F_1F_2于N,则|MQ|:|NQ|=_______。 3.将曲线y=f(x)平移,使曲线上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则此时的曲线方程是_____。 4.已知抛物线y~2=4x的一条焦点弦被焦     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

一动点到两定点距离的和、差、积、商问题的系列探讨

<正>一、问题提出我们已知道:一动点M到两定点F_1、F_2距离之和|MF_1|+|MF_2|=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为线段F_1F_2,若2a>|F_1F_2|,则动点轨迹为一个椭圆.一动点M到两定点F_1、F_2距离之差的绝对值||MF_1|-|MF_2||=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为两条射线,若2a<|F_1F_2|,则动点轨迹为双曲线.一动点M到两定点F_1、F_2距离之积     

带有Hardy和Sobolev-Hardy临界指标项的扰动椭圆方程的解

考虑如下带有Hardy和Sobolev-Hardy临界指标项的扰动椭圆方程这里2*(s)=(2(N-s))/(N-2)是Sobolev-Hardy临界指标,N≥3,λ∈R,0≤s2,1q2*-1,0≤μu=((N-2)~2)/4,a(x)∈C(R~N).在|λ|足够小的情况下,应用临界点理论中的扰动方法来得到方程(0.1)正解的存在性.接下来考虑anisotropic椭圆方程b(x)∈C(R~N).在|λ|足够小的情况下,应用临界点理论中的扰动方法来得到方程(0.2)正解的存在性.     

Heisenberg群上一类具变号权函数的拟线性次椭圆型方程的Nehari流形方法（英文）

本文研究了Heisenberg群上带有Dirichlet边界条件的拟线性次椭圆方程-?_(H,p)u=λf(ξ)|u|~(p-2)u+g(ξ)|u|~(r-2)u.利用Nehari流形和纤维映射方法,获得了方程解的存在性以及多解性结果,同时说明了上述方程解的存在性是如何随着Nehari流形的性质而相应地改变,推广了欧氏空间中相应的结果.     

一类具奇异势的拟线性椭圆方程的无穷多解

本文用变分法和集中紧性原理获得了一类具奇异势的拟线性椭圆方程-Δ_pu=μ(|μ|~(P~*(s)-2)u)/(|x|~s) λf(x,u),u∈H_0~(1,p)(Ω)的无穷多解．     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

高考中轨迹探索题的十种类型

本文将历届高考中探索动点轨迹方程的试题 ,按引起动点运动的情境分十类综述于后 .1　显性给出曲线形状的轨迹题借助于待定系数引出该曲线特定形式的方程 ,再设法求出待定系数 .图 1　例 1图例 1　 ( 1 993年高考理科试题 )在面积为 1的△ＰＭＮ中 ,ｔｇＭ =12 ,ｔｇＮ =- 2 .建立适当的坐标系 ,求出以Ｍ ,Ｎ为焦点且过点Ｐ的椭圆方程 .分析　建立适当的坐标系 ,便可让椭圆方程成为标准方程 .因待定系数 2ｃ =|ＭＮ| ,2ａ =|ＰＭ | |ＰＮ | ,故本例实为解三角形 .由正弦定理知 :|ＰＭ | =2ＲｓｉｎＮ ,|ＰＮ| =2ＲｓｉｎＭ ,|ＭＮ | =2Ｒ…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

一类具有非线性阻尼和源项的Petrovsky方程整体解的存在性与渐近性

研究了一类具有非线性阻尼和源项的Petrovsky方程u_(tt) △~2u au_t|u_t|~(m-2)= bu|u|~(p-2)的初边值问题.在对m,p的大小关系不加任何限制的情况下,利用稳定集证明了整体解的存在性,并且得到了整体解的渐近性质.     

带有Sobolev-Hardy临界指标项的非齐次椭圆方程的解

考虑带有Hardy和Sobolev-Hardy临界指标项的非齐次椭圆方程{-Δu-u(u/(|x|~2))=λu+(((|u|~(2~*(s)-2))/(|x|~s))u+f,在Ω中,u=0,在Ω上,这里2~*(s)=(2(N-s))/(N-2)是临界Sobolev-Hardy指标,N≥3,0≤s2,0≤μ=((N-2)~2)/4,ΩR~N是一个开区域.假设0≤λ≤λ_1时,λ_1是正算子-△-μ/(|x|~2)的第一特征值.f∈H~1_0(Ω)~*,f(x)≠0.当f满足适当的条件时,此方程在H~1_0(Ω)中至少具有两个解u_0和u_1.而且,当f≥0时,有u_0≥0和u_1≥0.     

圆锥曲线第二定义的应用

提到椭圆或双曲线 ,自然会想到到两定点距离之和 (差 )等于定值的点的轨迹 ,但是它们的第二定义却在解题中有绝妙之处 ,常可以化繁为简 .下举两例 ,与同学们共赏 .图 1　例 1图例 1　已知椭圆Ｃ的直角坐标方程为 ｘ24 + ｙ23=1.若过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ的直线ｍ与椭圆Ｃ相交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 (其中 ｙ1>ｙ2 ) ,且满足|ＡＦ||ＢＦ| =2 ,试求直线ｍ的方程 .分析 :本题的常规做法是设出ＡＢ的斜率 ,再将ＡＢ方程与椭圆方程联立 ,但由于|ＡＦ||ＢＦ| =2 ,即Ｆ并非ＡＢ的中点 ,故在解一元二次方程时不能直接应用韦达定理而需用求根…     

一类具有非线性阻尼和源项的Petrovsky方程初边值问题解的爆破

研究一类具有非线性阻尼和源项的Petrovsky方程u_(tt)+△~2u+au_t|u_t|~(m-2)=bu|u|~(p-2)的初边值问题解的爆破,利用不稳定集证明了当m相似文献   

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

2007高考(重庆卷)压轴题的一般情形

2007年高考(重庆卷)的压轴题22是:图1如图1,中心在原点O的椭圆的右焦点F(3,0),右准线l的方程为x=12·(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明1|FP1| |F1P2| |F1P3|为定值,并求此定值·(答案:(1)3x62 2y72=1;(2)定值为32)由此题,笔者得到了以下一般性的结论:定理1设P1,P2,…,Pn(n≥3)是椭圆Γ上的不同点,F是Γ的一个焦点,且∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pn-1FPn=∠PnFP1,则∑ni=11|FPi|=nba2(其中a,b分别是Γ的长半轴,短半轴长)·定理2若双曲线Γ的一个焦点是F,且Γ的同一支上存在(n≥3…     

“问题式”教学法培养学生的关键能力——以双曲线标准方程的推导为例

利用“问题式”教学法,类比椭圆标准方程的推导,引导学生亲历双曲线标准方程的推导方法、过程,通过例题、变式题的分析与解答,有效培养学生的批判性思维能力和自主探究能力,让学生充分体会数形结合、分类讨论和类比的思想,感受数学的对称美和简洁美,激发学生学习数学的兴趣.     

椭圆定义及其标准方程教学设计

本课选自《普通高中课程标准实验教科书（选修2—1）数学》（北师大版）第三章1．1节．本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用;使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程．对椭圆定义与轨迹的研究和圆的定义与轨迹相呼应,通过探究,使学生从感性认识逐步上升到理性认识,