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1.
初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一… 相似文献
2.
考察下面一组不等式:若u、b〔R,且“+b“L_.11、l_!、_25则(“+言)(b+言))分二(2+告)’=l,《l)、..r夕才苦万,、‘若a、权“〔R+,且a+则(a+告)(。+寺)(‘+b+f“生))‘Il《只其)I‘.1、,_、一六下布一二1.币十二犷l,气乙) ‘口、。》I(告一:)+2)(卜,)(斗一:)+:一,+干·不应用这·结论.(2)式是很难i正币冬手的, (_几) 沿川(2)的证法或用数学归纳法去证明推万”了的《3)式,都将会遇到十分未杂的运竹.难以奏效,必须另辟新径.分析:(.r,+止如若上不等式皆正确,有理由猜侧:若￡〔R舟(;二l,艺,…,,)It、.+:,+…+x.二l件乙,11调协这,,个因式,能否… 相似文献
3.
,有些不等式的证明,可以巧妙地引入参数,构造一个参数不等式,使参数在不等式证明过程中起到一个桥梁作用. 例l已知a、b、e任R+,且a+b+c=1,求证:抓而雨万十石丽石十了而萍下“了下.诬明设‘>.,构造不等式如下::了丽石干1=石勿币滓万、.声、声.舀..矛.、了、,l,_。._‘气二r气r十1加十1, 乙同理‘了〔丽干万《喜伊+:sb+:).,一一’-一’一~生、一’-一’一‘ ,_、.。,l,J.__ ‘了l刀C州卜l版如二.气r,.1习亡十l, 乙 (1)+(:)+(3)得.‘(刀画不I+了丽石干1.+了1茱落万)(3) ‘备,+‘当且仅当‘“(4)Z瓦翻万二石丽干面. .了了‘,.、一~.。』.一丫… 相似文献
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1.如果实数二,纷满足等式(二一2)2+尹~3·那么令的最大值是(,·,、l(A)二二 Z(B)卒(e)卒(n)汀 O‘ 2.若实数:,梦满足方程护+犷一2,则:+,的最小值是(). (^)丫万(B)一了万~(e)2(D)一2 3.若实数:,夕满足方程:2+梦,一4x+6犷+12一O,则护十犷十2二+2梦+2的取值范围是(). (^)〔丫I厄一1,喇气厄+1] (B)〔了I万一2,了丽+2] (c)[14一2了丽,1‘+2石厄] (D)〔12,14〕 J.方程k(:一2)十1一7万二丁有不同二实根,则实数k的取值范围是()1一41一4 83一4 一一 ‘、.J夕夕、.产(B·(D(A)(一导,+co)(e)(一寻,专,5.不等式丫了二乎):+t的解集为必,实数t的取… 相似文献
5.
用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5… 相似文献
6.
引理1如果}a。{乒z(n=1,2,…),则有一1-+工十…+卫一十a 22a Zff一x…二二一一a 12_…(1) .口l证设一利用一l 口l千口么 1 Gf+l 1 口. 1a,+b, :、1Q二(i=注,2扒”al+aZ)安则外二叮一二,:认而请a么+aa as+a,+1了a。一x+a:1一内王a么ax一’价.么一a未a盆+a之夕乃al+处怨J2 ,︸如以aQ土a。*一,一=一1+一共一卜 a‘宁O,!尹’ 0.毛一一二幸勺.-a,扩节花,十q:曰声卫‘_ 口备 a 12a:+42暇+05含.尸声一般地,+一里一十.,.+01a,a.=二__一华生一 。,d:扩取二:.二吐红 卜,一磷十a.。丫{“·‘)l,上边产碑 在(z)中取a=知!,、当叭军吐吟举则有居卜 1 仁… 相似文献
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《中学生数学》2005,(18)
,’一袋‘一 {塑二主鱼{’气_:一‘” 1.由题设知1<4一bd女5.又次d头批粉丫 .’.4,州为整数. .’.4一bd~2, 即bd~2. 万户声}万 (丫少,介七气协了 ·{黑或{户或感烤 :’6+“一邢或今士肚冬、_,’、 2.由已知 3a十5b一1乒,“、①,、 4a+7b~z.s厂。.②、., 解得 “=一35一Zc, b~24+c. .’.}⑧!~a+b+c一一35一Zc十24+‘十‘ =一11. 3.①+②十③得,?--- 价蕊,年阳;。沙习汁郑十产不汽a 、①X③X已得..‘伙_、) O妙坏(下_,④ l、‘协解奎· 叭飞至、).‘’仕夕z共d书J外.卜 ①...二+②·少十③·德得_、:.. 扩+二+少+夕十扩+二~x,+笋十二二十3… 相似文献
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一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.… 相似文献
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250一+b城特‘)证明按已知东件,原不等式等价于 a’+石.①a,+‘.② 一、、.J了 ︸.台,.巴十2 二口丫 了户,龟、、 目 的 了,J 数 函. 透 构 .易知式l)禅1二③故不等式0决走牙函数⑧为(非严榕)增函数.f(,+,)一少(,)二a’+气+6.十1 2。’+‘’ 2︵+2︸a一一‘︸一一)一”(扎狱黔少一全畏概护少一乳心托羚‘一“‘’一久一兰业二哪扛扩+ai-‘石土:?..+,6 》O 即l(。+1)>l(。)‘二争函数②为增函数、又由③知,不等式中真,从而原不等式真. 椒上方法可归纳为. 欲证不等式刀(,)》B(。)(>o),(,〔N)可构造函数f(。)‘A(。)一B(。)‘或“(·,一粼).… 相似文献
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《中学数学》1984,(2)
一本期问题征解1证明2主,“3一1与21,。‘+l互质。2设a:=a:=l,aJ二1 983。。、:二理廷二绘攀止土只竺旦二二‘,口n~求证aj(饭二1,2,3,二)都是整数 3设p,。(。+1)(n+2)(n+3)(n+4) (。+5), l)求证P不是某整数的立方, 2)求〔,丫声苟(〔x〕表示不超过二的最大整数) 麻城一中甘超一提供 4已知直角三角形的周长为1984,求三边长的所有整数解。 江苏教育学院王继源提供 5解方程20002‘一(2000‘“+19s4r6)2000二一8 .1 9841一8+19842里=0 6设n是自然数求证(1十1/1“)(1一卜一/2’)(l+l/3恋) …(1+l/n“)了s 7设三角形的三内角分别是a、刀、下弧度,x… 相似文献
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《数学通报》1993,(12)
l)幻(3体1993年n月号问题解答{护一3。”+2=04”3一6牡”+5=0 (解答由问题提供人给出)861若n〔N,求证:(2)一(1)xZ,得再由(2)得。=4”3一2u3+1=04v3+5 6刃创(Zn一1)(n+·杯+抓丁森:召万矛石二蔺压且仅当n=1时取等号.(4)代入(3)整理即得6409一192v6+19203+125=o(5) 一证则当几令a=(2”一1)(。+杯),b=。一杯,=1时a=2,b二0,.,.杯+饰=显然a>b>设。3二w.则(5)化为扩作“+1一2)n二2;又当n>1时,0,64叨3一19202+192。+125=0(6)n一1(而+殉”一。份艺吼‘石二不+b 云=l对(6)作代换求得(6)只有唯一实数解:叨去(4一3。)从而一丫去(4一3。)即劣夕+V之+以… 相似文献
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‘纯粹的数字求值题用字母帮助思考,往往能把复杂的计算去掉“伪装”,显见其解.有如下几则求值题,不妨一试: 1.计算:〔(l+了r丽豆)‘一(1一丫1习丽)‘〕十(s了丽丽) 2.计算下列29个数的和:87 91 9488 93 91 89 87 92 86 90 92 8890 91 86 89 92 95 88. 3.计算:105:[(2‘+1)(2,+1)(2‘+1)(2‘+1)…(26‘+1)+l〕.4.计算:了乳一30‘2百·28十l5.计算:窃5+2。扫九丁于而6.计算:(10.+324)(22召十324)(34‘+324)(4‘+324)(16心+324)(28‘十324)、(46心+324)(58心+324)不丁气芯石产甲一石只爪不丁丁下几言 L弓乙.州卜O乙4 j LO任’十O乙任夕附:本… 相似文献
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25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(… 相似文献
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文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b… 相似文献
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《中学生数学》2003,(12)
初一年级 北京师大二附中(100088)未兴国一、选择题1.下列计算正确的是(). (A)(u一b):弓一(b一“)2一b一“ (B)(。+b)污一(口+b)3=“2+bZ(C)(b一“),分(a一b)“=(a一b)之([))(,一y)’”‘l令(、万一y)”‘’一(了一y)2一个多项式除以(3.12,):;其结果为(冬二2+3x, 一、一、’,”一”一’一夕’,产、一曰’一尸‘’9一’一夕犷),则这个多项式为().(A)9护犷+27护犷+9洲犷(B)了6y+9了几犷+3了2犷(C)3、:h犷+9犷犷+3了2少(I)),“夕2+27J3夕3+9及一4夕5对于以下各算式:①矿·“3一“6,②(a,)3一。③u3+u弓一2u6,④a只+a3一a‘,一o,⑤(6二,夕)2… 相似文献
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B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=… 相似文献
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二元一次方程组{(1)当a:、b:、a一x b.夕=cla:x bZ少=cZc:和a:、b:、(!忿;会;},。)c:分别成等差数列时,方程组的解是{(2)当a:、b:、劣=一1y二2c;和a:、bZ、。2分别成等比数列且公比分别为q:、q,时,方程组的解是{y=证明:(l)一q一qZq一 q:将方程组改写成a:‘ (a: d:)夕=a: Zd;aZ二 (a: dZ)夕=a: Zd:(I)(I)(a:b:一匕:d:斗。)(I)xa:一(I)xa:,得(a;d:一a,dZ)夕=2(a Zd:一a,dZ)(2) 夕=2代入(I)〔或(I)〕得x=一1.将方程组改写成.’.广“一1 、夕=2。X q lyx q:y=好=q量(I)(F)(g:一Q:车。)(l(一(F),得(g:一g;)少=g荃.’.y=q: qZ,代入(l)一… 相似文献
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压求9解令{十丫百万不十2的最小值但c“s了‘“‘”‘令,“’V ous一n。居 则杯,一了而cos。+痴s*。。+: 一三2丫下石sin(6+含)+2 当“一。,即二二一2时,,得最小值2+石石. 以上解法,不仅正确,而且很妙。妙在何处?自‘然妙在三角替换上。但问:这种替换怎么想到的?于是追到了这种替换的条件。 对变数“,v作替换1叮竺厂呢V一SlnU护+挤二+铲二又(常数),对应的替换是刀口也怎f件若 条的{“二户cos、V一八Sln用令代。,专代二(。,b为常数),可得u产=又acos厅:厂二诬阮in夕(11)v’=,丫,+夕·!有+ 是"u 于声羚;“05口十 b声阵下“,n 二“了丫+夕sin… 相似文献
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一、引盲 文〔1〕中给出了如下一些三角恒等式sin,十:in。十sinC一4。05李08夸·05普。。s,+co、。+cosc=l+4·、渗in冬in誉中x’“去(a+1)M一ax,犷一去(a十l)M一y,z’=去(a+l)M一az,a〔R. 该原理由x’+犷+z’二(a+1)M一a(x斗,+z)=M显然可得.若令a二2和a二去,在定理的条件下,我们有如下两个常用结论: 推论1结论A(M一Zx,M一Zy,M一22)成立.sinZA十sinZB+sinZC=4sinAsin浅inC推论2结论,(携三户誓支户宁.)成立.eosZA+eosZB+eosZC=一l一4eosAeos及osC(4)_J__;T一ZA兀一ZB万一ZC一qC05一几犷一c05 2 CU52- 化简即为(3). 同样,在(3… 相似文献
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力二一口占+一十 本刊1984年第五期介绍了形如“a:+:二扣·+:十尹的递归数列的通项的求法,在它乙。十:口。+,二丫工上二_口.+仪a。+口的启发下,‘我对形如“a。,:=丫·an+aa。+户其a。+1+q了’瓦不下中了寺。、a:+口“奔O”的求法进行了一番探讨,现将结果叙述如下 已知数列{a。}满足条件口:二a,a.,:=了·丫+P了十q .丫a+P夕“n-I-一 丫十,口n+a,+a云丁万,其中下寺0,a“+卢忍今0,求a:。丫a+叮口了+g 解设辅助数列{b.}的通项占。其中P,q为待定数,且夕寺q,则口,+乡a。+q.’.鱼」旦= 口n丫+夕了十qan+口.+=Z土兰. 了+q(·:十琴十罗)‘一‘”(… 相似文献