极值点偏移问题中另解引发的深度思考

1.典型例题常规解答例。1已知实数m>1,f(x)=e^mx-x-m有两个零点x₁,x₁,求证:x₁+x₁<0.证明f′(x)=me^mx-1,令f′(x)=0,得x=1/min1/m.为叙述简便,记x₀=1/min1/m,因为m>1,所以x₀<0.当x∈(-∞,x₀)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x₀,+∞)时,fv(x)>0,f(x)单调递增.     

由一道高考题引发的探索与思考

1 问题出现 孰是孰非 高考结束的第二天,班里平时爱动脑筋的学生甲来问笔者:“李老师,12题怎么做?”作为最后一道选择题,此题必有含金量,笔者极为重视. 题1(2015全国理Ⅱ-12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 笔者的解答是:由题意,设h(x)=f(x)/x,则h'(x)=xf'(x)-f(x)/x2.由于f(x)(x∈R)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0,f(0)=0,函数f(x)有这三个零点.显然h(x)是偶函数,由于xf'(x)-f(x)＜0,故当x＞0时,h'(x)＜0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此,h(x)在(-∞,0)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＞0;当x∈(-1,0)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＜0;当x∈(0,1)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＜0.故综上,x∈(-∞,-1)∪(0,1),选A.     

2020年全国Ⅰ卷文科数学函数题的探究

<正>1问题呈现(2020全国Ⅰ卷文科数学第20题)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.分析与解(1)当a=1时,f(x)=e^x-(x+2),∴f′(x)=ex-(x+2),∴f′(x)=e^x-1,令f′(x)=0,我们得到x=0,所以当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0;所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.     

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”,具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器,是沟通初等数学与高等数学的桥梁.以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深.尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题,这类问题不仅综合性强、难度高,而且解题思路妙、方法巧,学生不容易掌握.例1(2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e(-s)(Ⅰ)证明:当x＞-1时f(x)≥者;(Ⅱ)设当x≥0时f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.参考答案(Ⅰ)要证明当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1),只需证明ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.当x≥0时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数;当x≤0时,g′(x)≤0,g(x)在,(-∞,0]是减函数.于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈ R时,g(x)≥g(0),即es≥1+x.所以当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1).     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

一个不等式的改进及证明

文 [1 ]中四川师大的徐丹老师和杨露老师给出了如下定理及其证明 :定理　设a1 ,a2 ,… ,an ∈R+,且a1 +a2 +… +an =s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1 s-a1+ ak2s-a2+… + akns-an≥sk- 1(n - 1 )nk- 2 .其中当且仅当a1 =a2 =… =an 时 ,不等式的等号成立 .笔者认为k∈R ,k>1时 ,定理是成立的 ,证明如下 :证明　设f(x) =xks -x,x ∈ ( 0 ,s) ,由于f′(x) =kxk- 1 (s -x) +xk(s-x) 2 ,f″(x) =k(k- 1 )xk- 2 (s-x) +kxk- 1(s- 2 ) 2 +kxk- 1 (s-x) 2 + 2xk(s-x)(s-x) 4所以 ,当x ∈ ( 0 ,s) ,k>1时 ,f′(x) >0 ,f″(x) >0 ,即f(x)为递增下凹的函数 .…     

谈谈构造函数法的几点应用

<正>一、构造函数求解恒成立问题,弥补参数范围中的"等号"问题例1已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)若函数y=f(x)的图像上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a的取值范围分析本题学生易将图像上任意不同的两点的连线的斜率与f′(x)混为一谈,错解为:由f(x)=-x3+ax2+b得f′(x)=-3x2+2ax.∵f′(x)<2,∴3x2-2ax+2>0对一切的x∈R恒成立,从而Δ=(-2a)2-4×3×2<0,∴a2-6<0,∴-6~(1/2)相似文献   

综合题新编选登

题153设函数f(x)=ax-(a 1)ln(x 1),其中a>0.1)求f(x)的单调区间;2)当x>0时,证明不等式:1 xx0),由f′(x)=0,解得x=1a.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,1a)1a(1a, ∞)f′(x)-0 f(x)极小值由上表可知,当x∈(-1,1a)时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1a)内单调递减;当x∈(1a, ∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1a, ∞)内单调递增.所以,函数f(x)的单调减区…     

关于函数的算术平均的两个性质

设函数 f ( t)在 [a,b]上连续 ,对任意 x,y∈ [a,b],x≠ y,定义Φ( x,y) =1x -y∫xyf ( t) dt则下面结果成立 :( 1 )若 f( t)是关于 t的单调不减函数 ,则 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数 ;( 2 )若 f″( t)≥ 0 ,则 2 Φ x2 ≥ 0 , 2 Φ x y= 2 Φ y x≥ 0 , 2 Φ y2 ≥ 0　　证明　 ( 1 ) Φ x=( x -y) f ( x) -∫xyf ( t) dt( x -y) 2 =f ( x) -f (ξ)x -y ≥ 0 ,ξ∈ [x,y]或ξ∈ [y,x]由 x,y的对称性知 Φ y≥ 0 ,因此 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数。( 2 )　 2Φ x2 =( x -y) 2 f′( x) -2 ( x -y) f ( x) +2 ∫xyf ( t) d…     

导数问题中的错例剖析

导数给高中数学增添了新的活力,也是高考的热点内容.由于有些同学对导数的几何意义或本质理解不深,因而常常出现这样和那样的错误,现列举其中的几种供参考.例1判断函数f(x)=x-cosx在定义域区间(-∞, ∞)上的单调性.错解f′(x)=1 sinx,当x=2kπ 32π(k∈Z)时,f′(x)=0,不满足f′     

一道模拟试题的复习导向

模拟考试题不仅要检测学生的学业水平,还应当为学生指明复习的方向·2009年汕头市一模试题就具有这样的功能·以下分析第21题·1试题设函数f(x)=x-ln(11++xx),(x>-1)·(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),证明N(x)在x>-1上是单调递增的,并求N(0);(2)求f(x)在定义域上的最小值;(3)是否存在实数m、n满足0≤m-1时,N′(x)=2(x+1)+11+x>0,所以N(x)在x>-1上是单调递增,N(0)=0·(2)事实上,f′(x)=1-1-ln(1+x)(1+x)2=(1N(+xx))2,由(1)知,当-10时,f′(x)>0,所以在-10时,f(x)递增·所以,fmin=f(0)=0·(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调增函数·若存在,则必有f(m)=m,f(n)=n·也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实数根m、n,而方程f(x)=x即为ln(11++xx)=0只有一个实数根x=0,所以,不存在实数...     

对一道稳派联考题的解法思考

题目已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=-4时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;     

综合题新编选登

题179已知函数f(x)=ax3 bx2 c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间.2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n, ∞)是f(x)的单调递增区间.试求n-m的范围.解由f(x)=ax3 bx2 c的图象过点P(-1,2)知-a b c=2.又f′(x)=3ax2 2bx.因为f     

如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

考点41 导数及其应用

1.(湖南卷,6)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2005(x)=().(A)sinx(B)-sinx(C)cosx(D)-cosx2.(广东卷,6)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为().(A)(2,+∞)(B)(-∞,2)(C)(-∞,0)(D)(0,2)第4题图3.(江西卷,7)已知函数y=xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图像中y=f(x)的图像大致是().4.(湖北卷,9)若03sinx(B)2x<3sinx(C)2x=3sinx(D)与x的取值有关5.(北京卷,12)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.6.(重庆卷,…     

具有共振的边值问题解的存在性

利用Mawhin的重合度理论,研究具有共振的n-阶m-点边值问题x~((n))(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t)),t∈(0,1)x(0)=x(η),x′(0)=x″(0)=…=x~((n-2))(0)=0,x~((n-1))(1)=α_ix~((n-1))(ξ_i)解的存在性,其中n≥2,m≥3,f:[0,1]×R~n→R将有界集映为有界集,且当x(t)∈C~(n-1)[0,1]时,f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t))∈L~1[0,1],0<ξ_1<ξ_2<…<ξ_(m-2)<1,0<η<1,α_i∈R.在这里并不要求f具有连续性.     

考点4 函数的性质

1.(重庆卷,3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)2.(山东卷,4)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是().(A)f(x)=sinx(B)f(x)=-x+1(C)f(x)=12(ax+a-x)(D)f(x)=ln22-+xx3.(辽宁卷,10)已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1,α=x11++λλx2,β=x21++λλx1.若f(x1)-f(x2)相似文献   

2007年普通高等学校招生全国统一考试 安徽数学(理科)

一、选择题:本大题共11小题,共55分1.下列函数中,反函数是其自身的函数为A.f(x)=x2,x∈[0, ∞)B.f(x)=x3,x∈(-∞, ∞)C.f(x)=ex,x∈(-∞, ∞)D.f(x)=1x,x∈(0, ∞)2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥a”是“l⊥m且l⊥n”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是A.a<-1B.|a|≤1C.|a|<1D.a≥14.若a为实数,2 ai1 2i=-2i,则a等于A.2B.-2C.22D.-225.若A={x∈Z|2≤22-x<8},B={x∈R||log2x|>1},则A∩(RB)的元素个数为A.0B.1C.2D.36.…