Un teorema di interpolazione; applicazioni ai problemi ai limiti per le equazioni differenziali a derivate parziali

Sunto. Si stabiliscono condizioni atte ad assicurare la validità della (*) dell’introduzione; e si applica la (*) ad alcune questioni connesse alla trattazione dei problemi ai limiti per le equazioni differenziali alle derivate parziali. Lavoro eseguito nell’ambito delle attività svolte nei gruppi di Ricerca matematica del C. N. R.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Teoremi di confronto per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie e loro conseguenze

Sunto. Si danno alcuni teoremi di confronto per sistemi di equazioni differenziali ordinarie e se ne fa applicazione ad una vasta classe di problemi di integrazione di sistemi di equazioni lineari differenziali ordinarie con condizioni non iniziali (integrali o assegnanti alle soluzioni valori in determinati punti), nonchè allo studio della dipendenza delle soluzioni dei sistemi non lineari, da un parametro che compare nelle equazioni e nelle condizioni iniziali. Lavoro eseguito nell'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo.     

Sul problema di Cauchy relativo alle equazioni alle derivate parziali del primo ordine di tipo semilineare

Sunto Si fa vedere come il problema di Cauchy relativo ad una equazione alle derivate parziali del primo ordine, in n variabili, di tipo semilineare, può essere ricondotto allo studio di una equazione integrale alla quale viene poi applicato il metodo delle approssimozioni successive per la costruzione effettiva di una eventuale soluzione della equazione stessa. Lavoro eseguito nell’ambito del VI gruppo di ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. per l’anno 1961–62.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Su alcuni sistemi di equazioni integrodifferenziali (*)

Sunto Si studiano alcune classi di sistemi di equazioni integrodifferenziali stabilendo condizioni sufficienti per l'esistenza di soluzioni in senso generalizzato, con dati al contorno sommabili, che estendono alcuni noti risultati relativi a certe classi di sistemi di equazioni alle derivate parziali. In particolare sono anche estesi alcuni noti risultati sull'esistenza di soluzioni per il problema diDarboux per una equazione del secondo ordine di tipo iperbolico.

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Summary The existence of solutions of a certain type is shown for a class of integro-differential equations with L-integrable data. The results include the existence of generalized solutions of theDarboux problem for second order hyperbolic equations.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca n. 6 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1962–1963.     

Sopra un teorema di unicità per un sistema di equazioni a derivate parziali non lineari di tipo parabolico

Sunto Per il problema di valori al contorno relativo a sistemi di equazioni a derivate parziali (non lineari) del secondo ordine del tipo considerato daJ. Szarski viene stabilito un teorema di unicità, valevole per soluzioni intese in senso generalizzato. Lavoro eseguito nell'ambito dei Gruppi di Ricerca Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche (gruppo n. 19).     

Sull'assiomatica della teoria dell'informazione

Sunto Si traducono gli assiomi della teoria classica dell'informazione in condizioni funzionali il più possibile qualitative, e tali da conservare senso nell'ambito delle distribuzioni. Si perviene così a due equazioni funzionali delle quali si caratterizzano le soluzioni nella classe delle distribuzioni, ottenendo un sistema di assiomi più debole di quelli finora proposti per l'informazione di Shannon, nel quale è messa in luce la forza separata degli assiomi di simmetria e di additività dell'informazione. Entrata in Redazione il 15 ottobre 1968. Lavoro effettuato nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Problemi di Cauchy e problemi ai limiti per equazioni di evoluzione del tipo di Schroedinger lineari e non lineari

Sunto Dopo aver fornito alcuni complementi ai risultati trovati nella parte I, si danno esempi di applicazione a problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali del tipo di Schroedinger. Infine, si studia l’equazione di evoluzione di Schroedinger contenente un termine non lineare. Entrata in Redazione il 20 maggio 1968. Lavoro eseguito nell’ambito delle attività dei gruppi di ricerca del comitato per la matematica del C.N.R.     

Asymptotic expansions obtained by a center manifold theorem

Sunto Viene presentato un nuovo metodo per la determinazione degli sviluppi asintotici della soluzione esterna di sistemi di equazioni differenziali ordinarie singolarmente perturbati. Il metodo proposto, basato sulla teoria geometrica delle perturbazioni singolari e in particolare su un teorema di esistenza di varietà centrale, permette di ottenere le equazioni differenziali che definiscono le variabili « lente » senza la preventiva conoscenza dei corrispondenti sviluppi per le variabili « veloci ». Inoltre, se i sistemi vengono dati con condizioni iniziali, alcune formule che esprimono le corrette condizioni iniziali da assegnare alle equazioni differenziali trovate — formule già note nel « caso stabile » — vengono estese al « caso condizionalmente stabile »; il procedimento qui usato risulta anche più sintetico rispetto a quelli precedentemente proposti. Infine viene studiata un'applicazione ad una classe assai generale di equazioni derivanti dalla cinetica delle reazioni enzimatiche.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei programmi del gruppo di ricerca « Equazioni di Evoluzione e Applicazioni », M.P.I., e del Gruppo Nazionale Fisica-Matematica del C.N.R.     

Sulle equazioni alle derivate parziali del 2o ordine,lineari, in due variabili indipendenti,le cui soluzioni godono di proprietà integrali rispetto ad una delle variabili

Sunto Sono individuate, sotto opportune ipotesi, tutte le equazioni lineari a derivate parziali del 2^o ordine, in due variabili indipendenti, le cui soluzioni godono di proprietà integrali rispetto ad una delle variabili, nel senso specificato nella parte prima del n. 1. Tali equazioni sono descritte negli enunciati conclusivi del n, 11. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito presso l'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo.     

L'indicatrice proiettiva dei funzionali lineari e i predotti funzionali proiettivi

Sunto. Poichè le funzioni di più variabili complesse presentano particolarità profondamente differenti da quelle di una variabile, si studiano i funzionali analitici lineari delle funzioni di più variabili mediante la loro ? indicatrice proiettiva ?, specialmente adatta a metterne in luce le più intime proprietà. Il valore del funzionale lineare per una funzioney viene così espresso mediante una nuova formazione (il ? prodotto funzionale proiettivo ? dell'indicatrice proiettivap per la funzioney variabile indipendente), la quale dipende bilinearmente e simmetricamente dalle due funzioni, e inoltre gode della notevole proprietà di restare invariata di fronte a tutte le coppie di trasformazioni proiettive duali che si effettuino contemporaneamente nei due spazi ove le due funzioni sono rispettivamente definite. Si mostra poi come il prodotto funzionale proiettivo possa calcolarsi, nel caso che le funzioni si decompongano in fattori, e infine si studiano alcuni operatori lineari (? monovalenti ?) e alcuni funzionali lineari (? abeloidi ?) particolarmente interessanti. Questi funzionali abeloidi, caratterizzati dal fatto di avere indicatrice proiettiva razionale, si calcolano infatti mediante integrali abeliani multipli e permettono l'integrazione di quasi tutte le equazioni a derivate parziali della fisica matematica (di quelle lineari e a coefficienti costanti). L'argomento di questa Memoria è stato sviluppato in una parte del mio corso di Alta Analisi del 1940–41, presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.     

L'equazioney\frac{{dy}}{{dx}} + y + \left| x \right|^v sgnx=0, (1≥v≥0)sgnx=0, (1≥v≥0)

Sunto Come viene indicato nell'introduzione l'A, studia il comportamento di tutti gli integrali dell'equazione oggetto della presente memoria, nel piano reale, per v ∈[0, 1], metendo in luce l'esistenza di due integrali fondamentali. Memoria dedicata a Masuo Hukuhara e Mitio Nagumo     

L'indeterminazione delle funzioni di sforzo per membrane comunque curve

Sunto Vengono analizzati e giustificati i comportamenti diversi delle superfici che ammettono spostamenti rigidi in sé e di quelle che non ne ammettono, di fronte ai problemi della congruenza e dell'equilibrio. Per membrane del tutto generiche si rende conto dell'esistenza di più funzioni di sforzo e della loro indeterminazione dovuta alle identità che legano le corrispondenti condizioni di congruenza, confermando i risultati trovati in precedenti Note. Si trovano inoltre le condizioni di congruenza e l'integrale generale delle equazioni indefinite di equilibrio per superfici che, pur non ammettendo spostamenti rigidi in sè, non sono del tutto generiche. A B. Finzi, nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 5 aprile 1970.     

Principi variazionali nella teoria lineare delle miscele di due solidi elastici

Riassunto In questa nota gli Autori stabiliscono dei principi variazionali che caratterizzano in maniera completa il più generale problema ai limiti sia della statica sia della dinamica di una miscela isotropa di due solidi elastici lineari. Questi principi sono del tutto generali poichè non si richiede agli stati o processi ammissibili di soddisfare ad alcuna delle equazioni di campo e delle condizioni iniziali o al contorno. Tale risultato viene ottenuto esprimendo i problemi considerati in forma operazionale.

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Summary In this paper the Authors establish variational principles which characterize the most general boundary-value problem for statics and dynamics of an isotropic mixture of two linear elastic solids. These principles are completely general because the admissible states or processes are not required to meet any of the field equations, boundary or initial conditions and they are obtained by expressing the problems in operator form.

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Il lavoro è stato eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del C.N.R.     

Soluzioni generalizzate e disuguaglianze variazionali per alcuni sistemi differenziali non lineari della fisica matematica

Sunto. Si ricercano le condizioni di correttezza per sistemi differenziali del primo ordine di tipo iperbolico. Tali condizioni risultano legate a restrizioni fisiche, in particolare termodinamiche. Pertanto dopo uno studio della termodinamica dei processi retti dalle equazioni considerate si perviene ad una definizione di soluzione generalizzata, esprimibile mediante una disuguaglianza variazionale. In tale nuova formulazione è contenuto sia il sistema delle equazioni differenziali che descrivono il processo fisico e sia una limitazione di natura termodinamica. Per il problema di Cauchy relativo ai sistemi in esame si stabilisce poi nel campo delle soluzioni generalizzate una disuguaglianza integrale sulla energia interna e quindi sotto opportune ipotesi un teorema di unicità. Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca per la Matematica del C.N.R. Entrato in Redazione il 31 dicembre 1971.     

Teoremi di confronto fra due equazioni lineari a derivate parziali del second'ordine,di tipo ellittico-parabolico,in più variabili reali indipendenti e alcuni loro corollari

Sunto Da teoremi di confronto fra due equazioni lineari a derivate parziali del second'ordine di tipo ellittico-parabolico, in un qualsivoglia numero di variabili reali indipendenti, si deducono un teorema di oscillazione per le soluzioni di tali equazioni i cui coefficienti dipendono da un parametro e un teorema di unicità per il problema di Dirichlet relativo alle equazioni stesse. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Entrata in Redazione il 1° dicembre 1969.     

Sulla integrazione delle equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti variabili (*)

Passato il periodo eroico dell'indirizzo funzionale nel campo delle equazioni differenziali, noi ci convinciamo ogni giorno di più che quell'indirizzo ci consente, sì, di risolvere pienamente, in astratto, i problemi generali, ma si rivela molte volte praticamente inefficace quando dal generale si passa al particolare, e si vuole individuare numericamente un integrale particolare che corrisponda a determinate condizioni iniziali, in quanto esso non si presta ad applicazioni numeriche immediate. Il metodo del fu ing.Nicola Amoroso contenuto in questa Memoria, e che si riferisce ad una particolare classe di equazioni, consente invece di giungere elegantemente, in alcuni casi, a tali applicazioni. E per questo il suo carattere diventa particolarmente di attualità oggi, in cui tutta una nuova corrente di studi nell'Analisi matematica — per opera diRunge, Whittaker, Ritz, ecc. — si indirizza appunto verso tali applicazioni. (Nota del prof.M. Picone).     

Soluzioni cilindriche nella teoria dei plasmi anisotropi

Sunto Si determinano delle classi di soluzioni delle equazioni descriventi nell'ambito della teoria di Chew, Goldberger e Low un plasma anisotropo con condizioni al contorno relative ai due casi: (a) dominio cilindrico indefinito, (b) dominio cilindrico finito. Si danno poi le condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità delle soluzioni trovate. Lavoro eseguito nell'ambito della attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. presso l'Istituto di Matematiche Applicate della Facoltà di Ingegneria della Università di Pisa.