探索性学习的题例--关于直线与圆位置关系的两个有趣问题

笔者在讲授《高中数学》第二册(上)7．7《圆的方程》时，有学生提出了两个很有意思的问题。     

直线与圆位置关系解题探索

直线与圆位置关系有三种:相离、相切、相交,关于直线与圆位置关系的题目较多,知识综合较强.研究这类型题目的常用方法有:代数方法,即讨论直线与圆方程组成的方程组实数解的个数;几何方法,即由圆心到直线的距离与半径作比较.下面就这类型问题的解法具体分析,以供参考.     

用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系

空间两直线的位置关系可分为两大类:异面、共面;在同一平面内又分为:平行、相交和重合;直线与平面相对位置可分为:平面与直线平行、直线与平面相交、直线在平面上。这里介绍用矩阵的秩来判断两空间直线及直线与平面的位置关系。引理1非齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,有解的充要条件是:系数矩阵A与增广矩阵B的秩RA=RB;且RA=RB=n时有唯一解。引理2设向量βi=(Ai,Bi,Ci)(i=1,2,3),则(β1×β2)·β3=A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0三向量共面。定理1设两空间直线L1∶A1…     

点、直线、平面之间的位置关系

1．本单元重、难点分析 重点：空间点、线、面间的位置关系;直线、平面平行的判定及性质;直线、平面垂直的判定及性质;异面直线所成角,直线与平面所成角,两平面所成角;点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．     

点、直线、平面之间的位置关系

1。本单元重、难点分析 本单元的重点：确定平面的依据;直线和直线位置关系中的异面直线关系;异面直线所成角;直线和平面位置关系中的平行、垂直的判定及性质;直线和平面所成的角;平面和平面位置关系中的平行、垂直的判定及性质;二面角。     

方法策略助题解 规范表达抓落实——以“圆与圆位置关系的综合问题探究”专题教学课为例

在上海市杨浦区数学思维培育课程的引领下,笔者对“圆与圆位置关系的综合问题探究”进行了教学设计和课堂实践,从落实综合题解题一般步骤、寻找解题策略和归纳数学思想方法等方面探索数学综合题教学的结构化程序,希望能达成教与学的积极“构建”,提高学生解题综合能力.     

判断直线与双曲线位置关系的两种方法

文[1]给出了判断直线与双曲线位置关系的两种方法，笔者读后深受启发，经过类比研究，笔者得到了判断直线与双曲线位置关系的两种方法，作为直线与圆锥曲线位置关系问题的一个补充。     

点、直线、平面之间的位置关系

1.本单元重、难点分析本单元的重点:四个公理,空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,直线与平面平行的判定及性质,直线与平面垂直的判定及性质,平面与平面平行的判定及性质,平面与平面垂直的判定及性质,两异面直线所成的角,空间直线与平     

定位最近发展区,搭建脚手架——以高中数学“直线与平面垂直的判定”课为例

维果斯基认为认识发展的基础是最新发展区和脚手架.在某一水平下儿童几乎能够,却又不能独立完成某一任务,但是在更具有能力的人的帮助下,是可以完成的.维果斯基将这二者之间的差距称为最近发展区（Zone of proximal development）或ZPD.在最近发展区内提供适宜的教导,儿童就能够理解并掌握某项新任务.最近发展区概念认为,一个儿童得到了帮助,他就会比另外一个没有获得帮助的儿童有着更大的进步.在别人的帮助下进步越快,最近发展区的部分就越大.     

基于学情精选问题,预设对话相机追问——以“与圆有关的位置关系”复习课为例

复习课与新授课相比,更需要精心选编学材,而且要在理解学情的基础上恰当选编,对于一些较难习题,还需要预设铺垫式问题,并通过教学过程中的互动对话相机呈现不同“强度”的铺垫式问题.复习“与圆有关的位置关系”时,课前预设的小问不宜过分密集,而要根据学情相机呈现有挑战的问题,最好还能提供一些开放式问题,以吸引更多学生的思维参与.     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系。受文[1]启发。笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法。现介绍如下：     

直线与圆的方程

2重点、难点、热点分析 1）重点直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式、两点式及一般式，两条直线的位置关系，两直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离；用二元一次不等式表示平面区域及简单的线性规划问题；     

直线的方程及位置关系的易错题型选析

在高中数学课程中,解析几何作为培养学生思维能力的重要内容,对学生的分析能力和计算能力要求都较高.笔者在教学中发现有一些学生常见的易错题型,愿与大家一同探讨.题型一、题干中有截距类型的问题例1求过点A(1,4),且在x轴和y轴上截距的绝对值相等的直线方程.     

高考题打造为探究型问题的策略——以一节直线与圆锥曲线的位置关系的复习课为例

直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容也是高考数学试题的热点之一.对此内容如何进行复习整合?这是每个高三教师一直思考的问题.前不久,笔名有幸观摩了本市第二届中小学课堂教学艺术节高中数学名优教师课堂教学风采展活动,其中一堂直线与圆锥曲线的位置关系的复习课,让我感受颇深引入     

剖析直线与双曲线位置关系的解题误区

直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们组成的方程是否有实数解和实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．在用代数法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线方程和曲线方程联立,根据判别式△研究二次方程解的个数,但是在研究直线与双曲线的位置关系时存在以下常见误区．