表面展开图是四边形的四面体

一般情况下,四面体表面展开图是不规则的多边形,文[1]研究了表面展开图为三角形的情形.本文探索表面展开图为四边形的情形,并给出其充要条件及由四边形折成四面体的方法.定理1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两个顶点上的三面角之和均为180°.证明　若四面体S—ABC的表面展开图是四边形A1B1C1D1,如图1,因C1、C、D1;C1、B、B1共线,　∠C1CB ∠BCA1 ∠A1CD1=180°,　∠C1BC ∠CBA1 ∠A1BB1=180°.又△SAB≌△B1A1B,△SBC≌△C1BC,△SAC≌△D1A1C,所以以B、C为顶点的三面角之和均为180°.反之,若四面体S—AB…     

一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...     

三角形“三高”的三个事实

<正>在这里,我们将论证与三角形三条高有关的三个事实.在论证的过程中将用到如下四点共圆的判定(人教版教材中没有):判定1对角互补的四边形内接于圆;如图1,若∠A+∠C=180°,则A、B、C、D四点共圆;判定2外角等于内对角的四边形内接于圆;如图2,若∠EAB=∠C,则A、B、C、D四点共圆;     

对一道几何题解题方法的研究

一、问题的提出 如图1,设四边形ABCD是圆内接四边形,I和J分别是△ABD和△BCD的内心,证明:四边形ABCD为外切四边形,当且仅当A,I,J和C共线或者共圆. 二、问题的分析 1.四边形ABCD既是圆内接四边形,又是外切四边形,即四边形ABCD是双心四边形,可以考虑利用双心四边形的一些性质.     

把思考留给学生将问题引向深入--由四边形内角和引发的思考

笔者在教学"四边形内角和定理"时,先用拼图(如图1)的方法得出"四边形内角和等于360°"后,正准备引导学生探究证明方法时,一位学生提出:"一个任意四边形能不能拼成另一个四边形呢?"     

Whc175的解决

文 ( 1 )中提出了 Whc 1 75:若 A′、B′、C′、D′是四边形 ABCD的内接四边形 PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,问 AA′、BB′、CC′、DD′共点的充要条件是什么 ?文 ( 2 )给出了该问题在三角形中的一个结论 .本文将给出 Whc 1 75的两个结论 ,从而完全解决了 Whc 1 75.图 1定理 1　如图 1 ,A′、B′、C′、D′是凸四边形 ABCD的内接四边形PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,且APPB=λ1,BQQC=λ2 ,CRRD=λ3 ,DSSA=λ4 ,则 AA′、BB′、CC′、DD′共点的必要条件是λ1λ2 λ3 λ4 =1 .证明　如图 1 ,建立直角坐…     

对一道2002年高考试题的质疑的商榷

文 [1 ]对 2 0 0 2年高招文史类第 2 2题的解法和答案展示了自己的见解 ,其中有一个图 1　三角形说法欠妥 .原文是 :“按题目要求 ,图 1剪拼成正三棱锥模型 ,其方法是唯一的 ,即沿正三角形之三条中位线折起 ,可拼一个正三棱锥 (如图 1 ) .”实际上按要求剪拼成的正三棱锥不是唯一的 ,可有多种剪拼方法 .下面按文 [1 ]的思路给出两种方法 .如图 2所示 ,设正三角形边长为 1 ,取正三角形两腰OM ,ON的四等分点A ,B ,C和D ,E ,F ;图 2　三角形的剪拼分别引底边垂线 ,垂足分别为A1,B1,C1,D1,E1,F1;作OO1⊥MN于O1,OO1交CD于H ,将对称的…     

由教材例、习题命制中考题:源于共同的题“根”

人教版教材九年级上册第88页第11题为: 如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形. 此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源". 证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°. 因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形. 所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形. 此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为: 命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形.     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

一道课外练习的启示

贵刊在2010年1月下的初一课外练习第3题是:如果一个四边形中有一个内角大于180°,那么我们就称之为"镖形"(如图1,以下简称凹四边形),现有一个凸n边形,被分成p个四边形(任意四边形不重叠也无空隙),其中有q个"镖形",试判断p-q+1与n的大小.图1     

巧分面积与线段

如图1,ABCD是 任意凸四边形,A1、C1 分别是AB与CD的中 点,B1、B2与D1、D2分 别是BC与DA的三等 分点.E、F为A1C1与 B1D2及A1C1与B2D1 的交点.则图1中有结论: ①E、F是A1C1的三等分点; ②S1+S6=S2+S5=S3+S4=1/3SABCD.     

四边形又一角性质及应用

四边形四个内角的和为360°,这是四边形的一个基本性质,这个性质揭示了四边形四个内角之间的关系.(如图1)在凸四边形和凹四边形中,因为周角等于360°,若∠A的外周角(有一个公共顶点和两条公共边并且不重合的两个角,则称其中一个角是另一个角的外周角)为a,则有∠a=∠B+∠C+∠D.     

四、直线与平面

A组一、选择题(每题只有一个答案正确)。 1.在空间,已知四个四边形:①梯形;②两组对边相等的四边形;③由二面角α-1-β内一点A及其在α、l、β上的射影B、C、D组成的四边形ABCD;④空间四边形相邻两边及两对角线的中点所组成的四边形。这四个四边形中必是平面四边形的有( ) (A)1个;(B)2个(c)3个;(D)4个。     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

无意中引发的一次研究性学习

在一堂立体几何复习课中,我选了如下一道题: 如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.求证:A、B、C、D四点共面.     

一道立体几何题的教学探究过程

题目:如图1，在正方体A BCD-A＇B＇C＇D＇中,过对角线BD＇的平面交CC＇、AA＇于点E、F,求证:四边形BED＇F行四边形. 学生1:由面面平行的性质定理可得BE∥D＇F,BF∥D＇E,所以四边形BE＇F是平行四边形. 学生答题后,我感觉本题的教学功能还没有充分发挥出来,于是提出了下面的问题.     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

品味一道课改实验区中考压轴题

原题:(07安徽第24题)如图1,已知⊙P的圆心在反比例函数y=xk(k>1)图象上,⊙P与x轴相交于A、B两点,且始终与y轴相切于定点C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2)如图2,若二次函数图象的顶点为D,问当k为初何步感值时受,:四边形ADBP为菱形?本题是代数与几何相结合     

立体几何证明切记马失“前提”

在高三复习中发现 ,部分同学不注意定理条件 ,例题图经常出现证明错误 ,且不知错在哪里 .现举例分析 ,以期引起同学们的注意 .例　如图所示 ,已知E ,F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点 ,且AE =C1F .求证 :四边形EBFD1是平行四边形 .错证 :在正方体ABCD A1B1C1D1中 ,