Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Zum Beulproblem der anisotropen Rechteckplatte

Zusammenfassung Es wird das Ausbeulen einer anisotropen Rechteckplatte untersucht, bei der die Anisotropie praktisch dadurch zustande kommt, daß eine homogene isotrope Platte konstanter Dicke durch zwei sich senkrecht kreuzende Scharen von Versteifungen verstärkt wird. Dabei wird — gegenüber bereits vorliegenden Untersuchungen — die Möglichkeit exakt berücksichtigt, daß die Versteifungen nur auf einer Seite der isotropen Platte, also unsymmetrisch zu deren Mittelfläche angeordnet sind. Für die Belastung durch Druck- und Schubkräfte werden die Differentialgleichungen des Problems in der üblichen Art und Weise aus den Gleichgewichts-bedingungen am verformten Element abgeleitet und dazu das entsprechende Variationsproblem angegeben. Wesentlich ist dabei lediglich, daß hier infolge der Unsymmetrie der Versteifungen nicht von vornherein die Dehnungen und Schubverformungen für irgendeine neutrale Ebene gleich Null gesetzt werden können, sondern mit berücksichtigt werden müssen. Für die reine Druckbelastung wird dann die Beulbedingung einer allseitig gelenkig gelagerten Platte explizit aufgestellt. Diese Beulbedingung wird schließlich für die nur in Kraftrichtung versteifte Platte noch näher untersucht. Dabei ergeben sich unter anderem Anhaltspunkte für eine zweckmäßige Wahl des Steifenabstandes und die Aufteilung des Materials auf Blech und Versteifungen.     

Dynamic behaviour of cylinder with spring and concentrated mass collided with rigid body

Summary The Dynamic behaviour of a cylinder is investigated for the case where it collides with a rigid body with constant velocity. Spring and concentrated mass are attached to both ends of the cylinder. The relationships between the dimensions of cylinder and spring and the maximum values of dynamic stresses are obtained. Dynamic behaviour of the spring is also taken into consideration. The fundamental equations of oscillation are solved by the Laplace transformation method. From the results of theoretical analysis, it becames evident that impulsive stresses are damped considerably by the spring.

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Übersicht Es wird das dynamische Verhalten eines Zylinders untersucht, der mit konstanter Geschwindigkeit mit einem starren Körper zusammenstößt. An beiden Enden des Zylinders sind Federn und konzentrierte Massen angebracht. Für diesen Fall werden die maximalen Beanspruchungen in Abhängigkeit von den Abmessungen des Zylinders und der Feder abgeleitet. Dabei wird auch das dynamische Verhalten der Feder berücksichtigt. Die Schwingungsgleichungen werden mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst. Die Ergebnisse zeigen, daß die Stoßbeanspruchungen durch die Federn erheblich reduziert werden.

     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Analysis of dynamical behavior of viscoelastic fluids

Summary A theoretical study is undertaken on the dynamical behaviour of viscoelastic fluids in simple shearing flow. In the present study differential-type constitutive equations are chosen in attempting to describe the dynamical behaviour of polymer solutions experimentally observed byPhilippoff. The dynamical system studied here takes into account shear rate and normal stresses as the dependent variables with shear stress kept constant during the transient period. It is found that the 3-constantOldroyd model describes qualitatively the experimentally observed behaviour.

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Zusammenfassung Es wird theoretisch das dynamische Verhalten viskoelastischer Flüssigkeiten in einer einfachen Scherströmung untersucht. Als Versuch zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Polymerlösungen, die experimentell vonPhilippoff untersucht worden waren, werden hier Zustandsgieichungen vom Differentialtyp benutzt. Das hier untersuchte dynamische System berücksichtigt die Schergeschwindigkeit und die Normalspannungen als abhängige Variable von der Schubspannung, die während der Anlaufzeit konstant gehalten wird. Es zeigt sich, daß das Dreikonstantenmodell vonOldroyd das experimentell beobachtete Verhalten qualitativ beschreibt.

     

Dynamic stability of discrete spherical structural systems in fluid media

Summary The dynamic response of a two degree of freedom spherical structural system immersed in viscous fluid media is studied with the fluid reactions obtained byBasset included in the differential equations of motion. Closed form solutions for the response of such systems are presented and a dynamic stability criterion based on the form of the solutions is developed. The solutions and the stability criterion are applicable to the limiting case when the system is surrounded by a vacuum. The various regions of stability and instability are delineated, and it is shown that the type of instability is significantly influenced by the physical properties of the surrounding fluid medium.

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Übersicht Es wird das Verhalten eines mechanischen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das aus zwei miteinander verbundenen, kugelförmigen Massen in einer zähen Flüssigkeit besteht. Dabei werden die Zusatzmassen der mitbewegten Flüssigkeit nachBasset in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt. Es werden geschlossene Lösungen für die Bewegungen angegeben und daraus die Stabilitätsbedingungen ermittelt. Lösungen und Stabilitätsbedingungen können auch noch auf den Grenzfall eines im Vakuum befindlichen Systems angewendet werden. Die Parameterbereiche für Stabilität und Instabilität werden beschrieben, und es wird gezeigt, daß die Art der Instabilität wesentlich durch die physikalischen Eigenschaften der umgebenden Flüssigkeit bestimmt wird.

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The research upon which this paper is based was supported by the National Science Foundation Grant Nos. GK-479 and GP-2094 to Northwestern University.     

Zum Einfluß des Schwingungsverhaltens eines scheibenförmigen Tragkörpers auf die Eigenfrequenzen der Schaufeln thermischer Turbomaschinen

Übersicht Es werden die freien Schwingungen einer mit einer großen Anzahl identischer Schaufeln besetzten Turbinenscheibe unter Berücksichtigung der Biege- und Torsionsschwingungen der Schaufeln und der Membran- und Biegeschwingungen der Scheibe untersucht. Alle wichtigen Einflüsse wie Schaufelverwindung, Schubverformung und Drehträgheit für den Biegeanteil, das Fliehkraftfeld und der Anstellwinkel der Schaufeln werden berücksichtigt. Für die Verbindung zwischen dem Scheibenrand und den Schaufelfüßen wird eine nachgiebige Einspannung der Schaufelfüße berücksichtigt. Die Bewegungsdifferentialgleichungen werden durch eine direkte numerische Integration und ein Shooting Verfahren gelöst. Ergebnisse zeigen den Einfluß der wichtigen Parameter der beschaufelten Scheibe auf ihre Eigenfrequenzen.

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Summary The free vibrations of a turbine disk with identical blades of large number are studied for bending and torsional motion of the blades and in-plane and out-of-plane motion of the disk. All important effects like blade twist, shear deformation and rotary inertia for bending, effect of centrifugal force and stagger angle are taken into account. For the connection between the disk rim and the blade root an elastic clamping of the blade roots is taken into consideration. The differential equations of motion are solved by a direct integration technique and a shooting method. Some results show the influence of the important parameters of the bladed disk on its eigenfrequencies.

     

Examples of non-uniqueness and non-existence of solutions to quasistatic contact problems with friction

Summary This work considers a contact problem with friction involving one contact point and two degrees-of-freedom. The contacting structure is linear elastic. Two different models of contact interaction are considered, the classical Signorini unilateral contact law and a normal compliance law. Coulomb's law of friction is used. All possible so-called rate problems are solved, from which one concludes that the quasistatic problem may possess non-uniqueness and non-existence of solutions. In the case of the normal compliance law this can be explained by a softening structural response. For Signorini's law softening explains only some of the possible situations where non-uniqueness can occur.

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Beispiele der Nichteindeutigkeit und Nichtexistenz der Lösung quasistatischer Kontaktprobleme mit Reibung

Übersicht In dieser Arbeit wird ein Kontaktproblem mit Reibung behandelt, das einen Kontaktpunkt und zwei Freiheitsgrade einschließt. Die kontaktgebende Struktur ist linearelastisch. Zwei verschiedene Modelle der Kontaktwirkung sind berücksichtigt: Erstens das klassische einseitige Signorini-Kontaktgesetz und zweitens ein Gesetz für die Nachgiebigkeit in Normalenrichtung. Das Coulombsche Reibungsgesetz wird verwendet. Alle möglichen sogenannten Geschwindigkeitsprobleme werden gelöst, woraus geschlossen wird, daß das quasistatische Problem Nichteindeutigkeit und Nichtexistenz der Lösung besitzen kann. Im Fall des Nachgiebigkeitsgesetzes kann dieses als abfallende Struktursteifigkeit erklärt werden. Im Fall eines Signorini-Gesetzes erklärt dieses nur einige der möglichen Situationen, wo Nichteindeutigkeit auftreten kann.

     

Physiko-chemisches Modell eines Verkokungsreaktors unter besonderer Berücksichtigung des konvektiven Energie- und Stofftransportes

Zusammenfassung Ein zweidimensionales Modell der Verkokung von Kohle in einem Horizontalkammerreaktor wird formuliert, wobei es auf die Bilanzierung der thermischen Energie, der Masse und der Stoffmengen aufbaut. Mit dem Modell werden die zweidimensionalen Temperatur- sowie Energie- und Stoffflußfelder berechnet. Bei der Bilanzierung der thermischen Energie werden als Transportphänomene berücksichtigt: die Leitung im Schüttbett poröser Stoffe, die Strahlung in den mit absorbierendem Gas gefüllten Rißvolumen des Halbkokses und der konvektive Transport aufgrund strömender Gase. Ein modifizierter Permeabilitätstensor der anisotropen und heterogenen Feststoffmatrix wird eingeführt, die Richtungs- und Geschwindigkeitsabhängigkeit des Strömungswiderstandes wird erfaßt. Für die beiden Stroffkomponenten Wasser und Teer werden Verdampfungs- und Kondensationsfronten bestimmt.

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Physico-chemical model of a coke oven under special consideration of the convective heat- and mass transfer

A two-dimensional model of the coking of coal in a horizontal chamber reactor is established balancing the thermal energy, the total mass and the mass of the involved compounds. The two-dimensional fields of temperature, heatflow and massflow are calculated by this model. Following transport phenomena are considered: conduction in porous media, radiation in the fissure volume of the semicoke filled with absorbing gas, and convective transport by flowing gas. A modified permeability tensor of the anisotropic and heterogen matrix is introduced, flow resistance depends on gas velocity and flow direction. For two compounds, water and tar, the evaporation and conduction fronts are determined.

     

Die Temperaturkontrolle bei Hochdruckviskosimetern

Zusammenfassung Es wird eine Temperaturmeß-Vorrichtung beschrieben, mit der die Erwärmung der Meßflüssigkeit im Hochdruck-Strukturviskosimeter gemessen werden kann, und zwar getrennt als Erwärmung durch die adiabatisohe Kompression des Druckgases und durch die viskose Reibung in der Kapillare. An Hand von Messungen an Flüssigkeiten und Lösungen wird gezeigt, daß bei hohen Schubspannungen Erwärmungseffekte auftreten und berücksichtigt werden müssen.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. 4. 1961 in Bad Oeynhausen.     

Druckverlustminderungen in strömungen durch hochpolymere additive: Klärung einiger noch offener fragen

Übersicht Die vorliegende Arbeit faßt Ergebnisse von experimentellen Untersuchungen zusammen, welehe durchgeführt wurden, um die reibungsmindernde Wirkung von Polymeren quantitativ zu bestimmen. Für die Durchführung der Untersuchungen sind zwei Meßeinrichtungen erstellt worden, die in der Arbeit beschrieben sind. Durch ihren Einsatz gelang es, die reibungsmindernde Wirkung von Polymeradditiven zu bestimmen und ihre mechanische Degradation sowie auch ihre Chemie-verursachte, bei erhöhten Temperaturen beschleunigt auftretende Degradation zu quantifizieren.Es werden theoretische Überlegungen zusammengefaßt, welche die mit einer Temperaturänderung auftretende Variation des Einsatzpunktes der Reibungsminderung zu erläutern erlauben. Messungen der kritischen Schubspannungsgeschwindigkeit werden angegeben, bei deren Überschreitung die reibungsmindernde Wirkung der Polymeradditive reduziert wird. Die experimentell gefundene Abhängigkeit dieser Größe vom Rohrdurchmesser und der Polymerkonzentration der Lösung wird aufgezeigt.Die für den praktischen Einsatz wichtige chemisch-thermische und mechanische Degradation der Reibungsminderung durch Polymeradditive wird quantitativ untersucht. Stabilisierende Zusätze werden hinsichtlich ihrer Wirkung im Rahmen von Meßreihen erfaßt.

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Drag reduction in flows by polymer additives: Clarification of some still open questions

Summary In this paper experimental results for drag reduction in turbulent pipe flows are reported. Drag reduction was achieved by the addition of high molecular weight polymers. The degradation of these polymers (chemically) thermally as well as mechanically was investigated and the effect of stabilizers was studied.Special emphasis is devoted to the effect of temperature on the onset of drag reduction. The influence of pipe diameter and of polymeric concentration on the critical wall shear stress (beyond which drag reduction ceases to exist) is deduced.

     

Moving load on initially stressed thick plates attached together by a flexible core

Summary Vibrations of an infinitely long, prestressed double strip-plate system are studied analytically. The plates are attached together by a flexible core and one of the plates is subjected to a line load which moves with a constant speed along the plate. The constant, uniform prestresses are parallel to and perpendicular to the infinite edges of the plates. The solution is presented within the framework of a plate theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. Critical characteristic parameters of the system are defined. An example is provided where the bending moments of the plates are calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the prestresses in the system have considerable effect upon the dynamic behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines unendlichen, vorgespannten Doppelplattenstreifensystems werden für den Fall analysiert, daß die Platten durch einen biegsamen Kern verbunden sind, und daß eine Linienlast au einer Platte angreift, die sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Platte verschiebt. Die konstanten, gleichmäßigen Vorspannungen sind parallel zu und senkrecht zu den unendlichen Rändern der Platten. Die Lösung wird im Rahmen einer Plattentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. Die das System charakterisierenden kritischen Parameter werden definiert. In einem Beispiel werden die Biegemomente der Platten ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Vorspannungen auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragement of Professor H. Saito of Tohoku University.     

Dynamic response of a two degree of freedom spherical system in a fluid

Summary The steady state and transient response of a two degree of freedom spherical system immersed in a viscous fluid medium, initially at rest, is investigated with the inclusion of the fluid reaction derived by Basset in the differential equations of motion. In the steady state study, phase angle and amplitude ratio curves are presented from which the mode shapes of the system, for wide ranges of density ratio, frequency ratio and Stokes number, can be obtained. In the investigation of transient response, the system is subjected to impulsive base displacements and the equations of motion are solved numerically. The response curves obtained illustrate the effect of each dimensionless parameter on the dynamic behavior of the system.

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Übersicht Es wird das stationäre Verhalten und das Einschwingen eines kugelförmigen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das sich in einer viskosen Flüssigkeit befindet und anfänglich in Ruhe ist. In den Bewegungsgleichungen werden die von Basset abgeleiteten Reaktionskräfte der Flüssigkeit berücksichtigt. Für das stationäre Verhalten werden Amplituden- und Phasen-Kurven angegeben, aus denen die Schwingungsformen für einen weiten Bereich von Dichteverhältnis, Frequenzverhältnis und Stokes'scher Zahl erhalten werden können. Das Einschwingverhalten wird numerisch errechnet, wobei das System als durch Stöße an der Basis erregt angenommen wird. Die erhaltenen Einschwingkurven zeigen den Einfluß der dimensionslos gemachten Parameter auf das dynamische Verhalten des Systems.

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The research on which this paper is based was supported in part by The National Science Foundation under Grant Nos. GK 479 and GP 2094 to Northwestern University. Acknowledgment is also given to the Northwestern University Computing Center and the National Science Foundation whose funds aided in the establishment of the Center.     

Einfluß der Dichteanomalie von Wasser auf die freie Konvektion in einem flachen Rechteckbehälter mit unterschiedlich beheizten Stirnflächen

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für den Wärmetransport durch freie Konvektion von Wasser in einem flachen Behälter werden mit Hilfe der angepaßten asymptotischen Entwicklung analytisch gelöst. Durch Einführung einer sinnvoll definierten Referenzgeschwindigkeit erhält man auch für den Fall, daß die Krümmung der Dichte-Temperatur-Funktion infolge des Dichtemaximums von Wasser bei 3,98 °C berücksichtigt werden muß, eine asymptotische Lösung. Diese Lösung wird als erweiterte Boussinesq-Lösung bezeichnet, da lediglich die Dichte im Volumenkraftterm der Bewegungsgleichung durch eine quadratische Temperaturfunktion berücksichtigt, in allen übrigen Termen aber als konstant betrachtet wird.

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Effect of density-anomaly of water on free convection in a shallow cavity with differentially heated end-walls

The basic equations for the heat transfer by free convection of water in a shallow cavity with differentially heated end-walls can be solved by the aid of the method of matched asymptotic expansion. By setting up an ingenious defined reference velocity one obtains an asymptotic solution, even if the curvature of the density-temperature-function must be taken into account because of the density maximum of water at 3.98 °C. This solution is called extended Boussinesq-solution because only the density in the volume force term of the momentum equation is taken into account by a quadratic temperature function whereas in all other terms it is considered as constant.

     

Steifigkeitsmatrizen dünnwandiger Stäbe und Stabsysteme

Übersicht Die Steifigkeitsmatrizen dünnwandiger Stäbe werden nach der vereinfachten Theorie im Hauptsystem abgeleitet und auf exzentrische Knotenpunkte transformiert. Die Schubdeformation der Stabmittelfläche wird näherungsweise erfaßt. Neben der wölbfreien und wölbstarren Aussteifung wird die wölbelastische Aussteifung berücksichtigt.

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Summary The stiffness matrices of thin-walled bars are determined and transformed to excentric nodal points starting from the simplified theory. The shear strain of the middle plane of the bar is approximately included. The warping elasticity of the stiffener is considered including free warping and completely suppressed warping.

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Bericht des Instituts für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen der Universität Stuttgart (ISD), Direktor: Professor Dr. Dr. h. c. J. H. Argyris.     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

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Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.     

Applications of finite elements in space and time

Summary The paper initiates a major extension of the matrix displacement method concerning the analysis of dynamic phenomena in the presence of material and geometric non-linearities. In particular, elasto-plastic behaviour as well as large displacements are taken into account. An iterative procedure of solution of the nonlinear matrix equations is discussed. The application of the theory is described in detail in two examples. The first considers the simple static problem of a rectangular flat strip in a tensile test. The iterative calculation may be carried out for deformations as large as required and shows clearly the necking effect. More ambitious is the second example which demonstrates the non-linear dynamic theory on a cyclindrial deformable billet under the impact by a heavy rigid body. The momentum of the weight and the property of the billet are such that the latter will undergo large plastic deformations. If so required, it is straightforward to incorporate damping and also allow for friction forces on the contacts. The direct applicability of the technique to forging problems is evident. The solution of the dynamic phenomenon is accomplished by extending the discretisation of space also into time. In particular, the inertia forces are taken to vary over a finite time element as a third order polynomial. Exceptional accuracy is achieved by this method.

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Übersicht Dieser Beitrag stellt eine wesentliche Erweiterung der Matrizenverschiebungsmethode auf die Berechnung dynamischer Phänomene in Verbindung mit nichtlinearem Verhalten des Materials und der Geometrie dar. Insbesondere werden dabei sowohl elasto-plastische Verformungen als auch große Verschiebungen berücksichtigt. Weiterhin wird eine iterative Lösungsmethode der nichtlinearen Matrizengleichungen diskutiert. Die Anwendung der Methode wird im Einzelnen an zwei Beispielen demonstriert. Zuerst wird ein relativ einfaches statisches Problem, ein rechteckiger flacher Streifen in einen Dehnungstest, betrachtet. Hierbei wird die iterative Berechnung der Verschiebungen soweit verfolgt, wie es für den Test erforderlich ist. Es zeigt sich deutlich der Einschnüreffekt. Weitaus komplizierter ist das zweite Beispiel, wo die Theorie nichtlinearer Dynamik auf einen zylindrischen deformierbaren Bolzen unter Aufprall eines schweren starren Körpers angewendet wird. Der Impuls des Gewichts und die Eigenschaften des Bolzens sind so gewählt, daß große plastische Deformationen auftreten. Falls erforderlich, können auch Dämpfung und Reibungskräfte an den Kontaktflächen leicht berücksichtigt werden. Die direkte Anwendung der Theorie auf Schmiedeprobleme ist offenkundig. Die Lösung der dynamischen Phänomene wird durch die Erweiterung des Begriffes der Diskretisierung des Raumes auf die Zeit erzielt. Im vorliegenden Fall wird die Variation der Trägheitskraft in einem finiten Zeitelement mit einem Polynom dritter Ordnung beschrieben. Durch diese Methode wird eine außergewöhnliche Genauigkeit erreicht.

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Dedicated to Professor Dr. U. Wegner on the occasion of his 70th birthday.     

Dynamic stability of rotating shafts

Summary In the paper, using the direct method, stability of elastic rotating shafts (beams, pipes) working in different conditions is analysed. It is taken into consideration a constant axial force as well as a uniformly distributed load in the case of long shafts. The case of conservative load (e.g. dead weight) as well as nonconservative load acting tangentially to the shaft axis is considered. The case when the force is a wide-band Gaussian stochastic process is also discussed.

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Übersicht Mit der direkten Methode von Ljapunov wird die Stabilität von sich um die Längsachse drehenden elastischen Wellen (Rohre, Balken) unter verschiedenen Arbeitsbedingungen untersucht. Bei Wellen mit vertikaler Achse wird außer einer konstanten Längskraft auch eine gleichmäßig über die Länge der Welle verteilte Belastung berücksichtigt. Es wird dabei sowohl die konservative Belastung (Eigengewicht) als auch die in der Wellenachse gelegene, tangential wirkende, nichtkonservative Belastung und schließlich der Fall einer Längskraft aus einem breitbandigem Gaußschen stochastischen Prozeß betrachtet.