均分线段

大家都知道,用尺规将线段均分成偶数段很容易,即在被分的线段上不断截取中点就行.怎样把线段均分成奇数段?下面给出简便易行的方法.例1把线段AB三等分.作图:1.如图1,以点B为圆心,线段AB为半径作圆,又以点A为圆心,线段AC为半径作圆(点C是AB中点),交圆B于D;2.作∠ADB的平分线交AB于E,则AE是AB的三分之一;3.以E点为圆心,线段AE为半径作弧,     

摆线、圆的渐伸线、星形线的作法

摆线、圆的渐伸线、星形线是高等数学教学中经常遇到的重要曲线.下面给出用几何画板(4.05版)作这些曲线的方法.1摆线的作法方法1用摆线的定义作图.设计要点:利用圆在直线上滚动的距离等于圆心移动的距离,用平移变换得到轨迹点.作法:1作线段AB,点C;以C为圆心,AB为半径作圆C1.2过     

一个平几命题的推广

命题1 设p为△ABC内点,过P作直线DE∥BC,交AB于D、AC于E;作FG∥CA ,交BC于F,AB于G 、HK∥AB,交CA于H,BC于K,则有此命题及其关联的图形被改编成数十道题目出现于国内外赛题,若P为平面任一点呢?把线段比改为有向线段比,仍然成立。命题2 设P为△ABC所在平面内任一点,过P作直线DE∥BC,交直线AB于D,CA于E;作FC∥CA,交直线BC于F,AB于G;作     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

均值不等式的图解

高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ　如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O…     

巧作圆周率π的密率

画法(1)角,使刀C“1,作直角三角形ABC,C为直7一8’ 一一 C A (2)在斜边妊B上截取BD=告。 (3)过D点作DE上BC于E,连接AB,过D点作D尸//且E交BC于F。 (仲延长CB至G,使BG=3。 则线段FG为所求。 证明由勾股定理知 AB=立里1全 8滩,.’ DE// ACBE BDBC AB.i准广一气 r二一】~一.’. BE二BC .BDAB二.,11入卜不~ 乙侧113 8 4亿113,: DF llA凡。BF_B丑’‘丽一丽,。BF_BD二丽一亘万.,. BF二BEZ二16113-因此FG二刀尸十刀G= 3=35511只.石一怜巧作圆周率π的密率@李铁烽$广州市师范学校~~…     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

2012年江苏省数学竞赛初赛第13题的解法初探

2012年全国高中数学联赛江苏省初赛第13题是一个非常优秀的试题,下面谈谈这道试题的几种解法.题目如图1,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点,在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

2005年全国高中数学联赛加试题及参考答案

试 题 一、(本题满分50分) 如图,在△ABC中,设 AB>AC,过A作△ABC的 外接圆的切线l,又以A为 圆心,AC为半径作圆分别 交线段AB于D;交直线l 于E、F． 证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一 个旁心． (注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切 的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心．)     

一道2007年高考题的推广及应用

问题1(2007年高考湖南卷,理20)已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.1)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求M的轨迹方程;2)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.问题1的2)正确结论为“在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数”.对此,本文作如下推广.定理1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c>0,c2=a2 b2),过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线相交于A,B两点,则在x轴上存在唯一定点C((a2-b2)t2 a2c22a2t,0),使CA·CB为常…     

一个三角形不等式的优美几何证明

设P为△ABC内部或边界上任意一点,从P分别向三边BC、CA、AB所在直线作垂线,垂足分别为D、E、F.设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c,内切圆半径为r,PD=r1,PE=r2,PF=r 3.文[1]证得如下结论:     

圆锥曲线一个有趣性质的统一简证与再推广

《数学通报》2012年第2期刊登的《圆锥曲线一个有趣性质的再推广》一文(文[1])给出了圆锥曲线一个统一的美妙性质(本文称之为定理): 定理设圆锥曲线E的一个焦点是F,相应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是E上任意一点,直线CA、CB分别与准线l交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.     

有心二次曲线的包络形成法

定理1 已知点A是定点，点曰是半径为尺的定圆⊙0上的动点，则线段AB的垂直平分线L的轨迹的包络线是①圆（当点A重合于圆心0时），参见图1；     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

另解课外练习题四则

<正>题1(2015年7月下中学生数学课外练习题初三(3))如图1,AB为半圆的直径,C是半圆上的一点,正方形DEFG的一边DG在AB上,另一边DE过△ABC内切圆的圆心I,且点E在半圆弧上,求证:S_(正方形DEFG)=S_(△ABC).解设△ABC内切圆半径IP=IQ=ID=r,AC=6,BC=a.由DE~2=AD·BD=(AC-PC)(BCCQ)=(b-r)(a-r)=ab-(a+b)r+r~2.     

直角三角形内接矩形对角线最短问题的拓展研究

我们先看如下典型的问题:问题如图1,在△ABCKH,∠C=90°,BC=a,AC=b,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,且DE//AC,DF//BC,求线段EF长的最小值.解析连接CD,作CH⊥AB于点H,则CD≥CH.