分数阶Cahn-Hilliard方程的高效数值算法

给出了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的一个高效数值算法.首先,利用Laplace变换将时空分数阶Cahn-Hilliard方程转化为空间分数阶Cahn-Hilliard方程;然后,结合Fourier谱方法和有限差分法得到一个时间二阶、空间谱精度的高效数值格式;最后,通过数值实验验证本文数值算法的有效性,并验证其满足能量耗散性质和质量守恒定律.     

一类时间分数阶偏微分方程的解

考虑一类时间分数阶偏微分方程,该方程包含几种特殊情况：时间分数阶扩散方程、时间分数阶反应-扩散方程、时间分数阶对流-扩散方程以及它们各自相对应的整数阶偏微分方程． 通过Laplace-Fourier变换及其逆变换,该方程在空间全平面和半平面内的基本解可以求出,但其表达式则是通过适当的变形来求．另外,对于有限域上的初边值问题,则可由Sine(Cosine)-Laplace变换导出该方程的一种级数形式的解,并通过两个数值例子来说明该方法的有效性．     

有限区间上的分数阶扩散-波方程定解问题与Laplace变换

求解了如下的分数阶扩散-波方程定解问题0Dαtu=2ux2,00,0<α≤2,u(0,t;α)=0,u(1,t;α)=θ(t),u(x,0+;α)=0,当1<α≤2时,还有ut(x,0+;α)=0.其中θ(t)是Heaviside单位阶跃函数,0Dαt为关于时间t的α阶Caputo分数阶导数算子,u=u(x,t;α)为时间t的因果函数(即t<0时恒为零的函数).利用Laplace变换的复围道积分反演和离散化反演及FoxH函数理论,给出在计算上对大的t和小的t分别适用的解的表达式.     

非光滑时间分数阶齐次扩散方程的修正

当初值不光滑时,时间分数阶齐次扩散方程数值方法的精度会下降.为了得到高阶时间收敛格式,提出加权移位的Griinwald-Letnikov的修正格式,运用Lubich的修正方法,得到非光滑时间分数阶齐次扩散方程的收敛阶仍为O(k2).最后,通过数值算例验证了数值计算结果与理论计算结果一致.     

Haar小波方法求解分数阶Poisson方程的数值解

借助Haar小波正交函数的分数阶积分算子矩阵,通过离散未知变量,将待求Poisson方程转化为大型的线性代数方程组,然后利用Matlab软件进行编程求解,即可求得原问题的未知系数矩阵,代入原方程,从而求得数值解.数值结果表明,当Haar小波采取很小的级数项展开时,即可获得满意的数值精度,而且算法比较稳定,有很强的实际应用价值.     

分数阶光滑函数线性和二次插值公式余项估计

本文在局部分数阶导数定义的基础上给出了高阶局部分数阶导数定义,并据此得到了一般形式的分数阶Taylor公式.用该公式给出了分数阶光滑函数线性和二次插值公式余项的表达式,并进一步导出了分段线性插值的收敛阶估计.针对分数阶导数临界阶计算困难的问题,本文利用线性插值余项设计了一种外推算法,能够比较准确地求出函数在某点的局部分数阶导数的临界阶.最后通过编写算法的Mathematica程序,验证了理论分析的正确性,并用实例说明了算法的有效性.     

一致分数阶导数意义下NLS方程和CNLS方程的精确解

在一致分数阶导数意义下,利用新的复变换研究了二阶NLS方程和CNLS方程,得到了两类带约束条件的薛定谔方程复值函数形式的新精确解.通过图像模拟,给出了两类方程的精确解在特定参数条件下随时间和空间变化的模值函数三维坐标图,实部三维坐标图和虚部三维坐标图.     

移动热源作用下基于分数阶应变的三维弹性体热-机响应

基于分数阶应变理论,研究了移动热源作用下三维弹性体的热 机动态响应.将分数阶应变理论下的控制方程应用于三维半空间模型,通过Laplace积分变换、双重Fourier变换及其数值反变换对控制方程进行求解,得到了不同热源速度和不同分数阶参数下,无量纲温度、应力、应变和位移的分布规律.结果表明,分数阶应变参数对机械波影响显著而对热波影响有限,热源速度对热 机械波影响显著.     

分数阶Fourier变换的测不准原理

该文参考Fourier变换的性质研究了离散分数阶Fourier变换的测不准原理以及连续分数阶Fourier变换在Lebesgue测度下的测不准原理,使得分数阶Fourier变换的测不准原理性质更一般化.     

Euler公式在积分变换中的应用

该文系统地小结了Euler公式在计算卷积、Fourier变换和Laplace变换中的应用,值得借鉴.     

A Discrete Analog of the Poisson Summation Formula

The first part of this paper is concerned with the proof of a discrete analog of the Poisson summation formula. In the second part, we describe an elementary proof of a functional equation for the function , based on the summation formula derived in the paper.     

Euler求和公式的一种推广和应用

将只适用于有限区间上具有连续微商的函数的Eu ler求和公式推广到一般的连续函数,并应用此公式推出对于满足L ipsch itz条件的函数普通数值积分的梯形法、矩形法与S im pson法.     

分数阶微分方程的比较定理

本文给出了非线性Riemann—Liouville分数阶微分方程和Caputo分数阶微分方程与相应的非线性Volterra积分方程的等价性,并在此基础上建立了分数阶微分方程的比较定理．     

A Discrete Analog of Euler's Summation Formula

In this paper, we prove a discrete analog of Euler's summation formula. The difference from the classical Euler formula is in that the derivatives are replaced by finite differences and the integrals by finite sums. Instead of Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials, special numbers P_n and special polynomials P_n(x) introduced by Korobov in 1996 appear in the formula.     

分数(k,q)阶差分方程的解

本文首次提出了一种分数阶差分,分数阶和分以及分数阶差分方程的定义,并利用Z变换理论,给出(k,q)阶常系数分数阶差分方程的具体解法.     

(2,q)阶分数差分方程的解

首次提出了一种分数阶差分,分数阶和分以及分数阶差分方程的定义,并给出(2,q)阶常系数分数阶差分方程的具体解法.     

The perturbed compound Poisson risk model with two-sided jumps

In this paper, we consider a perturbed compound Poisson risk model with two-sided jumps. The downward jumps represent the claims following an arbitrary distribution, while the upward jumps are also allowed to represent the random gains. Assuming that the density function of the upward jumps has a rational Laplace transform, the Laplace transforms and defective renewal equations for the discounted penalty functions are derived, and the asymptotic estimate for the probability of ruin is also studied for heavy-tailed downward jumps. Finally, some explicit expressions for the discounted penalty functions, as well as numerical examples, are given.     

Riemann—Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法

本文在Riemann-Liouville分数阶导数的广义Taylor公式的基础上,建立了求解Riemann-Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法.本文所建立的基于Riemann-Liouville分数阶导数微分变换方法给求解Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程提供了一种新工具。     

A Method of Solution for the One-Dimensional Heat Equation Subject to Nonlocal Conditions

The problem of solving the one-dimensional heat equation /t - ²/x² = f(x, t) subject to given initial and nonlocal conditions is considered. It is solved in the Laplace transform domain by taking the Laplace transform of the unknown function with respect to time t. The physical solution is recovered with the help of a numerical technique for inverting the Laplace transform.AMS Subject Classification (1991): 35K20.