2002年北京市中学生数学竞赛初赛高一年级试题及参考答案

一、选择题(满分36分) 1.已知A={(x,y)|2x 3y=4320,x,y∈N}, B={(x,y)|4x-3y=1,x,y∈N},则 (A)A是有限集,B是无限集 (B)A是无限集,B是有限集 (C)A是有限集,B是有限集 (D)A是无限集,B是无限集 2.2002年8月,将在北京召开国际数学家大会.大会会标如图1所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形 的面积是1/25,则cos3θ sin2θ的值等于     

对一道题目的探究

初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目　若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析　一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一　设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即　x2 -5kx + 6k2 =0 .因为　Δ =4,所以　 2 5k2 -4× 6k2 =4,即　k2 =4,所以　k =± 2 .所以所求的方…     

构造一次方程组 巧求阴影面积

一、解课本题例1(人教版九年义务教材初中几何第三册第180页第9题)如图,已知正方形的边长为a厘米,以各边为直径在正方形内画半圆,则半圆所围成的图形(阴影部分)的面积等于多少平方厘米?分析图中含有形状不同的两类图形,分别设为x和y,由图形特征知2个x和1个y组成一个半圆,而4个x和4个y组成一个正方形.     

初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

用“面积法”更简便

贵刊85年第4期载有这么一道习题: △ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3,DC=2。求△ABC的面积。原文先后用几何法,三角法求解。这里再介绍一种解法,过程更为简捷,能为初中学生掌握。解设AD=x则AB=(9 x~2)~(1/2) (图右),AC=(4 x~2)~(1/2) 由面积公式得 S_(△ABC)=(1/2)AB·ACsinA =(1/2)BC·AD 用数值代换后化简得 x~4-37x~2 36=0 解之得 x_1~2=36,x_2~2=1(舍去) 于是 S_(△ABC)=(1/2)(45)~(1/2)·(40)~(1/2)/2~(1/2)·2/2=15 此法用面积公式布列方程,称作面积法,它在几何问题中的应用相当广泛。如第三届AIME试题中有一题是: 在一个面积为1的正方形中构作一个小正方形如下:将单位正方形的每一条边作n等分,然后如图所示将每个顶点与它相对的顶点最接     

几何概型应用举例

几何概型,以其形象直观的特点,倍受人们青睐,尤其用几何概型解决古老的约会问题,让人们感受到数学美的思维之花.笔者就常见的几何概型举例如下.1“与数相关的几何概型”例1在区间(0,1)上随机取两个数u,v,则关于x的一元二次方程x2-vx u=0有实根的概率.图1例1图分析:设事件A表示方程x2-v x u=0有实根,因为u,v是从(0,1)中任意取的两个数,所以点(u,v)与正方形D内的点一一对应,其中D={(u,v)|0相似文献   

含[x]的一元二次方程的常用解法

同学们已经学习过一元二次方程的解法,在竞赛题中,我们还经常遇到含[x]的"一元二次方程"的问题,现通过一题多解来说明这类问题的解法,供参考.题目(2009年全国初中数学联合竞赛试题)用[x]表示不大于x的最大整数,则     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

再谈“一元二次方程求根公式的推导”

贵刊 2 0 0 3年 5月下载文“一元二次方程求根公式的推导”读后受益匪浅 .该文介绍了国外数学家的三种推导方法 ,笔者经过深入研究 ,得出另一种全新的推导方法 .对于方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当c =0时 ,方程的解是明显的 ,此时方程至少有一个零根 ;当c≠ 0时 ,方程无零根 ,即x≠ 0 .在方程两边同除以x得ax +b + cx =0 ,即ax + cx=-b ,设ax =-b2 +t,cx=-b2 -t,二式相乘得ac =b24-t2 ,t2 =b2 -4ac4.当b2 -4ac≥ 0时 ,t=± b2 -4ac2 ,将此代回所设 ,得ax =-b2 ± b2 -4ac2 =-b±b2 -4ac2 ,所以　x =-b±b2 -4ac2a .再谈“一元二次方程求根…     

争鸣

问题　　问题61　笔者在教学中,遇到了这样一个有趣的问题,同学们给出了三种不同的解法,都认为自己的解法有道理.然后,我们几个老师在一起讨论,也有所分歧.现请贵刊予以讨论.题目　设函数y=F(x) ,其定义域为[0 ,+∞) ,值域为R,已知F(x2 - 2 mx+ m+ 2 )的值域为R,求m的取值范围.解法1　令f(x) =x2 - 2 mx+ m+ 2 ,则可转化为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立.故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 )≤0 ,∴- 1≤m≤2 .解法2　由题意,y=f(x)的图象与直线y=0相切,即f(x)的最小值为0 (x∈R) .故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 ) =0 ,∴m=- 1或m=2 .解法3　由题意,只要保证f(x)能取遍…     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

构造一元二次方程巧解竞赛题

对于实数a,b,若满足:a+b=p且ab=q,则a,b是关于x的一元二次方程:x2-px+q =0的两个实数根,于是△≥0,即:(-p)2 -4q≥0,则p2≥4q.利用上述构造一元二次方程的方法,通过建立不等式,我们可简洁、有效地解答数学竞赛题,本文举例介绍其应用.     

这种解法锚在哪里?

题目 方程√(x+1)2+√(x-1)2+y2=1所表示的曲线是什么? 　　解法1 　　所给方程的几何意义即动点(x,y)与两个定点(-1,0)、(1,0)的距离之和等于常数1,所以动点(x,y)的轨迹是以这两个定点为焦点,长轴长为1的椭圆.……     

帮你认识2~(1/2)

你认识2~(1/2)吗?1.2~(1/2)的代数意义:2~(1/2)是2的算术平方根;2.2~(1/2)的几何意义:将边长为4的正方形纸片的四个角向中心对折,如右图.阴影部分的正方形的面积为2.由此得到:2~(1/2)是面积为2的正方形的边长;是边长为1的正方形的对角线.3.2~(1/2)的值是多少呢?我们做如下的探讨.(1)因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来越大,所以2~(1/2)大于1而小于2;     

一特殊不定方程的拓展

《中学生数学》2011年4月(上)期刊登了《一道特殊不定方程的六种解法》,文中对不定方程2(x+y)=xy的正整数解提出了6种解法.读后受益匪浅,于是进一步思考,能否对此不定方程进行拓展呢?即能否求出不定方程4(x+y+z)=xyz的正整数解呢?这个方程的几何意义就是长方体的棱长总和与它的体积     

巧用根的判别式解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac在解题中有广泛应用.巧妙利用根的判别式可化繁为简,找出解题的捷径.下面介绍两种方法,供同学们参考.一、巧用判别式,确定一元二次方程的解法一元二次方程的解法有多种,对某个方程选择何种解法,需要认真分析方程的特点,选准突破口,往往事半功倍.特别是对一些有理系数的一元二次方程是用公式法解简便还是用因式分解法解简便?很多同学常拿不定主意,浪费解题时间.巧用根的判别式可为我们确定有理系数的一元二次方程的解法.那么如何借助判别式来确定方程的解法呢?本文就教材中用配方法解ax2+b…     

一道高考三角题的求解策略

授一2 题目在△ABc中,sinA+。。sA一螟,Ac ~~一一--一一”---一’一一-一2’-一 一2,AB一3,求tanA的值和△ABC的面积. (2004年高考北京卷) 评析此题非常典型,常规,解法多样.是 一道不错的基础中档题.本文从不同的角度来 探求此题的解法,供同学们参考. 策略二构造一元二次方程求解. 二.,.__,_办 田511】才飞州广CUS才飞一兀丁- ‘ ,,.‘.1 得sin-A·coSA一亩, 可知SinA,cosA是一元二次方程x’一 1‘_._.‘._鱼 分价。△ABc一万八七’八月s1叭,ta叭一4 _涯一派 4 sinA eosA ,因此,解决问题的关键是先求出sinA 一。的两个根二,一返牛…     

如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

求方程整数解的六种方法

<正>方程在中学数学中占有重要地位,而求方程的整数解又是其重要的一种问题类型.本文就这类方程的解法进行探索,找到了六种解法.1解法介绍(1)建立不等式(组)法(1)主元法偽例1 已知x²+xy+2y2+xy+2y²=29,x,y为整数,求x,y.分析方程中含有两个未知数,不妨把x当成主元,y看成常数,则利用一元二次方程的判别式大于等于零,可求得y的取值范围,就可以求整数y的值.     

如何理解一元二次方程的概念

学习一元二次方程时,容易产生一些模糊的认识,要真正弄懂学好,应注意以下几点: 1.一元二次方程是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.这告诉我们: ①一个方程是不是一元二次方程,要根据整理以后的结果来定.如方程x(x 2)=x2 3x 2就不是一元二次方程而是一元一次方程.注意:对方程的整理一般只限于“去括号,移项,合并同类项”这样的恒等变形.如:分式方程1/x=x 1去分母进行整理;无理方程(x 1)～(1/(x 1))=x两边平方进行整理均可化为一元二次方程,但原方程都不是一元二次方程.