The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

---

Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Variational principles in elastostatics

Summary In a previous paper three new variational principles of elastostatics in the theory of small displacements were added to the four principles previously known: that of the minimum potential energy, of Menabrea-Finzi, of Reissner and of Hu-Washizu. This paper presents another new principle plus a variant of Reissner's principle and of its dual and reviews all the principles of elastostatics known to date.

---

Sommario In una precedente nota sono stati presentati tre nuovi principi variazionali dell'elastostatica nella teoria dei piccoli spostamenti che vanno ad aggiungersi ai quattro principi precedentemente noti: quello della minima energia potenziale, di Menabrea-Finzi, di Reissner e di Hu-Washizu. In questa nota è presentato un nuovo principio, viene segnalata una variante al principio di Reissner e al suo duale e infine viene data una visione globale su tutti i principi attualmente noti dell'elastostatica.

---

---

This work has been done under the auspices of the Research Group no. 34 of C.N.R.     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

---

Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

---

---

Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Rigid-plastic structures subject to dynamic loads

Summary The one-degree-of-freedom response of rigid-plastic structures is investigated for a variety of single-parameter dynamic loading-functions. Specific results, valid for any structure under the set assumptions, are obtained for single-pulse and periodic loading. The possibility of linear strain-hardening or reduction of strength with deformation is introduced. In the concluding section, the results are reviewed, and possible future researches are indicated.

---

Sommario Si sviluppa uno studio teorico del comportamento di strutture rigido-plastiche sottoposte a vari tipi di carichi dinamici; sia la deformazione che il carico si suppongono dipendenti da un singolo parametro, funzione del tempo. Si approfondisce lo studio dei carichi impulsivi e periodici, per cui si forniscono risultati più dettagliati (p. es. riguardo alla più pericolosa forma dell'impulso, ed allastabilizzazione delle oscillazioni sotto carichi periodici), validi per qualsiasi struttura che rispetti le ipotesi. Si introduce quindi la possibilità di variazione (in aumento o in diminuzione) della resistenza con la deformazione, e si studia in particolare la possibilità di completocollasso. Infine, nel paragrafo conclusivo si riassumono e discutono i risultati ottenuti, e si indicano alcuni possibili sviluppi di questa ricerca.

---

---

(on leave at the Division of Engineering, Brown University, Providence, R. I., 1968/69).     

On shakedown of elastic plastic solids

Summary Making reference to elastic perfectly plastic solids subjected to cyclic loads, the problem of the shakedown load factor is considered and the relevant Euler-Lagrange equations are discussed. It is proved that the solution to these equations describes the gradient, with respect to the load multiplier, of the steady-state response of the solid body to the cyclic loads at the shakedown limit, and that it thus enables one to predict the nature of the impending collapse. These results are then extended to the more general case of loads varying within a given load domain.

---

Sommario Facendo riferimento a un solido elastico perfettamente plastico soggetto a carichi ciclici, si considera il problema del moltiplicatore dei carichi ad adattamento e si studiano le equazioni di Eulero-Lagrange ad esso associate. Si trova che la soluzione di queste equazioni descrive il gradiente, rispetto al moltiplicatore dei carichi, della risposta stazionaria del solido ai carichi ciclici al limite di adattamento, e che quindi essa consente di predire la natura del collasso incipiente, Questi risultati vengono quindi estesi al caso più generale di carichi variabili in un dato dominio.

---

---

This paper is part of a research project sponsored by the National Research Council (CNR) of Italy.     

On the dynamic shakedown stability

Summary Starting from a Benvenuto's sufficient stability Criterion, in the elastic-plastic range, on the load paths which will systematically exclude elastic returns in the actual state, and adopting a suitable incremental formulation of the Ceradini's theorem on the dynamic shakedown, the dynamic shakedown stability property may be proven, if the comparison material is assumed absolutely stable.

---

Sommario Partendo da un noto risultato di Benvenuto circa un criterio sufficiente di stabilità elastoplastica su percorsi dei carichi che sistematicamente escludono ritorni elastici nello stato attuale, e adottando una opportuna formulazione incrementale del teorema di Ceradini sull'adattamento dinamico dei materiali, è possibile provare la stabilità dell'adattamento dinamico se il materiale fittizio di confronto è in fase stabile.

     

A variational theorem for Mises' solids based on stress potentials

Summary A theorem is given which provides variational formulation for compatibility and plasticity conditions in rigid-perfectly plastic solids, through the most general stress functions. The relation existing between this theorem and a known variational principle of limit analysis is shown. The type of boundary value problems governed by the proposed theorem is illustrated by means of a simple example at the end.

---

Sommario Viene presentato un teorema che fornisce una formulazione variazionale per le condizioni di compatibilità e di plasticità nei corpi rigido-perfettamente plastici attraverso le più generali funzioni di sforzo. Viene anche mostrata la relazione esistente tra tale teorema ed un noto principio variazionale dell'analisi limite. Un semplice esempio di applicazione ad un caso assialsimmetrico piano illustra il tipo di problemi al contorno governati dal teorema qui presentato.

---

---

The results presented in this paper are part of a research supported by the (Italian) National Research Council (C.N.R.).     

On the formal structure of continuum mechanics Part I: Deformation theory

Summary The purpose of this and of following papers is to give an operator form to the equations of statics of continuous media in the case of small deformations (linear case) and of large deformations (non linear), aiming to obtain a unitary view of many known results in linear and nonlinear mechanics. In this paper an operator version of compatibility equations for large deformations, is given introducing a nonlinear operator that will be shown to be of the potential type. Some new results follow, namely a variational formulation of compatibility conditions extending a similar result obtained by the author in the small deformation theory. This formulation in three-dimensional space is similar to that of Einstein describing the gravitational field in space-time. An operational version of Bianchi's identities and a construction of boundary compatibility conditions are also given.

---

Sommario In questa nota e in altre che seguiranno ci si propone di dare una versione operatoriale delle equazioni della statica dei continui deformabili sia a piccole deformazioni (caso lineare) che a deformazioni finite (non lineare), al fine di ottenere una visione unitaria di molti risultati noti nella meccanica lineare e non lineare. In questa nota si dà forma operatoriale alle condizioni di congruenza per deformazioni finite, introducendo un operatore nonlineare che sarà mostrato essere di tipo potenziale. Di qui seguono alcuni risultati nuovi: la formulazione variazionale delle condizioni di compatibilità che estende un risultato precedente dell'autore nella teoria delle piccole deformazioni. Questa formulazione nello spazio geometrico tridimensionale è del tutto identica a quella di Einstein che descrive il campo gravitazionale nello spazio-tempo. Si da altresì interpretazione operazionale alle identità di Bianchi e una costruzione delle condizioni di congruenza al contorno.

---

---

This work has been supported by C.N.R.     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

---

Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

---

---

Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

Constitutive equations for no-tension materials

Summary For a material which is incapable of sustaining tensile stresses (no-tension material, NTM), the local stability postulate is utilized in order to derive the appropriate equations which relate, within general 3D situations, cracking strain states and stress states to each other. Several alternative forms of these equations are discussed, either in terms of stress and strain components, or in terms of stress and strain invariants. The results obtained improve known results regarding the NTM's.

---

Sommario Per un materiale non resistente a trazione in stati di tensione e deformazione triassiali viene utilizzato il postulate di stabilità locale per ottenere appropriate equazioni che mettono in relazione gli stati di deformazione fragile (o fessurativa) con gli stati di tensione. Sono discusse alcune forme alternative di queste equazioni espresse in termini di componenti di tensione e di deformazione, oppure in termini di invarianti delle tensioni e delle deformazioni. I risultati ottenuti comprovano e arricchiscono noti risultati riguardanti i materiali che non resistono a trazione.

     

Extension to continua of some minimum theorems in elastoplastic theory

Summary A study of the response of a continuum to given loads is carried out assuming a piecewise linear yield locus, normality, non-interacting yield planes and linear strain bardening. Minimum properties are determined for the plastic strain rates in the incremental case and for plastic strains satisfying holonomic and non-holonomic stress-strain laws, thus extending to continua the minimum properties determined elsewhere for discrete structural linear hardening systems.

---

Sommario Si studia la risposta di un generico continuo soggetto ad assegnati carichi quando per il materiale sì assumano le ipotesi di assenza di interazione e di normalità. Introdotto un funzionale delle deformazioni plastiche incrementali e delle deformazioni plastiche soddisfacenti leggi di scorrimento olonomo ed anolonomo, si determinano delle proprietà di minimo che estendono al continuo alcuni teoremi di minimo per sistemi strutturali discreti.

---

---

Study supported by the C.N.R. (Plasticity Group).     

A unified approach to quasi-static shakedown problems for elastic-plastic solids with piecewise linear yield surface

Summary The paper concerns shakedown analysis of elastic-plastic bodies subjected to quasi-statically varying loads within a given domain. Using a perturbation method, a general inequality is given, from which, by simply specializing the perturbing terms, the generalized Melan theorem as well as bounds on various deformation parameters (such as displacements or plastic strain intensities) are derived. The solution of the «perturbed» shakedown problem in finite or holonimic terms permits the bound to be the most stringent and expressible in «local» terms instead of integral terms. A simple application concludes the paper.

---

Sommario La memoria considera problemi di analisi a shakedown (o adattamento) relativamente a solidi elastoplastici sottoposti a carichi quasi-statici i quali variano restando all'interno di un dato dominio. Mediante l'uso di un metodo di perturbazione si fornisce una disuguaglianza generale dalla quale — particolarizzando opportunamente i termini della perturbazione — si deducono il teorema di adattamento di Melan nonché delimitazioni a priori su alcuni parametri della deformazione (come spostamenti o intensità delle deformazioni plastiche). La soluzione del problema perturbato, espressa in termini olonomi, consente di rendere tali delimitazioni stringenti al massimo possibile ed esprimibili in termini locali anziché in termini integrali. Una semplice applicazione conclude il lavoro.

---

---

The results presented in this paper were obtained in the course of a research project sponsored by the National (Italian) Research Council, C.N.R., PAdIS Committee.     

On the role of the adjoint problem in dissipative,nonconservative problems of elastic stability

Summary The asymptotic stability of linear isotropic Kelvin-Voigt solids subjected to external damping and noncon-servative surface tractions which are linear functions of displacements and displacement gradients is considered. The boundary value problem that is adjoint to the original system is derived, and a variational principle from which these two boundary value problems may be generated is stated. The variational principle serves as a basis for an approximate method (similar to the Ritz method) for solving nonconservative stability problems in which the effects of internal and external damping are present. The method is applied to determine the value of the critical load intensity Q_cr in a cantilever and a clamped-simply supported beam subjected to a linearly distributed tangential load as well as to internal and external damping forces. Plots of the variation of Q_cr with the two damping parameters are given, and it is shown the nature of the boundary conditions can have a significant effect on the manner in which Q_cr varies as a function of the damping parameters.

---

Sommario Si considera la stabilità asintotica di solidi isotropi e lineari di Kelvin e Voigt sollecitati da forze smorzanti proporzionali alla velocità e carichi superficiali non conservativi, i quali sono funzioni lineari di spostamenti e derivate di spostamenti. Si deduce il problema ai limiti che è aggiunto al sistema originario di equazioni di campo, e si imposta un principio variazionale dal quale si generano questi due problemi ai limiti. Il principio variazionale serve come base per un procedimento approssimato (simile al metodo di Ritz) per risolvere problemi non conservativi di stabilità elastica nei quali sono presenti gli effetti di smorzamento interno ed esterno. Si applica questo procedimento per constatare il valore critico del parametro dell'intensità del carico, Q_cr, in una mensola e una trave con un estremo incastrato e l'altro incernierato, caricate da una distribuzione continua di forze di modulo che varia linearmente con la coordinata di posizione e retta d'azione solidale con la deformata del l'asse della trave. Si mostrano grafici dell'andamento di Q_cr con i due parametri di smorzamento, e si nota che il tipo di vincolo alle estremità della trave può avere un effetto significante sulla maniera in cui Q_cr varia come una funzione dei parametri di smorzamento.

     

Objective constitutive relations in elasticity and viscoelasticity

Summary The compatibility between the objectivity principle and affine constitutive equations for the elastic Cauchy and Piola-Kirchhoff stress tensors with non-zero residual stress is examined. It is found that the Cauchy stress is allowed to be only a constant tensor, proportional to the identity tensor, while the Piola-Kirchhoff stress may be a linear function on the deformation gradient thus generalizing previous results by Fosdick and Serrin. The same conclusions are arrived at also by starting from viscoelasticity. Finally, in the case of Maxwell-like materials, the solutions to the objective evolution equations are shown to be objective functionals.

---

Sommario Si esamina la compatibilità tra il principio di obiettività ed equazioni costitutive affini per i tensori di stress elastici di Cauchy a Piola-Kirchhoff con stress residuo non nullo. Generalizzando risultati di Fosdick e Serrin si prova che il tensore di Cauchy può essere soltanto un tensore costante, proporzionale al tensore identità, mentre il tensore di Piola-Kirchhoff può essere una funzione lineare del gradiente di deformazione. Alle stesse conclusioni si perviene anche partendo dal funzionale della viscoelasticità. Infine si mostra che, per materiali tipo Maxwell, le soluzioni di equazioni di evoluzione obiettive sono funzionali obiettivi.

     

On the forces transmitted to a vibrating cylinder by a blowing fluid

Summary The measuring apparatus used for experimental wind tunnel studies is described together with the test procedure and salient results. After an analysis of the results, a mechanical model is developed to explain the nature of the phenomenon.

---

Sommario Si descrive l'apparato di misura utilizzato per le ricerche sperimentali eseguite in camera a vento al fine di determinare le forze esercitate da una vena fluida su un cilindro libero di vibrare. Si espongono le modalità di prova ed i risultati più salienti. Dopo un'analisi dei risultati si elabora un modello meccanico per interpretare la natura del fenomeno.

---

---

This study forms part of a project that has been carried out jointly by A. Salvi & C. SpA and the Institute of Applied Mechanics, Milan Polytechnic. The Institute of Applied Mechanics received a CNR subsidy to take part in this project.     

Limit analysis and design of structures having elements with random distribution of yield stresses,with associated and non-associated flow laws

Summary A generic structure is considered, made up of elements with rigid perfectly plastic standard material and random plasticity constant, however distributed around the average value. The limit load of structures having elements of average plasticity constant is shown to be greater than or equal to the average value of the limit loads of all the feasible structures, thus generalising a theorem [1] formulated for framed structures.The minimum volume of structures having elements of average plasticity constant is then shown to be less than or equal to the average value of the minimum volumes of all the feasible structures. Then the earlier theorems are extended to take in non standard materials.

---

Sommario Si considera una generica struttura composta da elementi di materiale rigido-plastico standard a costante di plasticità aleatoria e comunque distribuita attorno al valor medio.Si dimostra che il carico di collasso della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è maggiore o uguale al valor medio dei carichi limite di tutte le strutture possibili, generalizzando un teorema [1] formulato per le travature reticolari. Si dimostra poi che il minimo volume della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è minore o uguale al valor medio dei minimi volumi di tutte le strutture possibili. Si estendono quindi i teoremi precedenti al caso di materiali non standard.

---

---

This work has been sponsored by C.N.R. (the Italian Council of Research).     

On balance equations for materials with affine structure

Summary The equations of balance of mass, inertia, momentum and generalized moment of momentum for materials with affine structure are derived as consequences of the invariance under change of observer of a postulated law of energy balance.

---

Sommario Si deducono le equazioni di bilancio di massa, inerzia, quantità di moto e momento generalizzato della quantità di moto per materiali con struttura affine, come conseguenze dell'invarianza al cambiamento di osservatore di un conveniente principio di bilancio dell'energia.

     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

---

Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

---

---

Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

Upper and lower bounds for the optimum design of structures with random resistance

Summary The expected value of the minimum weight of material necessary for a structure in order to support assigned loads is considered, when the « resistance » of each element is a random quantity.By going back to a theorem which gives a lower bound for this expected value, a way to compute an upper bound is shown.A way of evaluating the variation of the interval of the existence of the average is then set out.Such bounds are functions of random variables but are evaluated on the basis of a deterministic limit design.

---

Sommario Richiamato un teorema[4] che fornisce un minorante del valore medio del volume minimo di strutture soggette a carichi noti e dotate di elementi costituiti da materiale a resistenza aleatoria, si dimostra l'esistenza di un maggiorante.Si dimostra poi come sia possibile stabilire un maggiorante ed un minorante della varianza del minimo volume, e quindi come si possa apprezzare il rischio d'errore connesso alla aleatorietà delle resistenze, nella valutazione del volume minimo.I limiti indicati, benchè derivati da elaborazioni statistiche sulle resistenze, risultano da un progetto ottimale sviluppato con soli calcoli deterministici.

---

---

Study supported by the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Probable collapse mechanisms in indefinite plates on an elastoplastic continuum

Summary With reference to a theory expounded in a previous note [2] on the limit state behaviour of plates resting on an elastoplastic continuum subject to distributed loads, probable collapse mechanisms are considered in order to supplying more tractable solutions for technical practice. As the case is a general one, it is shown that the results obtained are suitable for following the load carrying capacity of plates and the relative collapse mechanism as the limit resistance of the soil and the spread of the load acting on it vary.Some examples are worked out to illustrate the applicational procedure.

---

Sommario Con riferimento ad una teoria esposta in una nota precedente [2] sul comportamento allo stato limite delle piastre su mezzo elasto-plastico continuo soggette a carichi diffusi, si esaminano delle schematizzazioni di probabile collasso allo scopo di fornire soluzioni di più facile impiego nel campo della pratica tecnica.Trattando quindi un caso di carattere generale, si mostra come i risultati ottenuti si prestano ad essere utilizzati per seguire la capacità portante della piastra ed il relativo meccanismo di collasso al variare della resistenza limite del suolo e della estensione del carico su di essa agente.Alla fine, a chiarimento del procedimento applicativo, si sviluppano alcuni esempi.

---

---

This work was supported by CNR (Italian Research Council).