是"歪打正着",还是另有"隐情"——-对一道高考题"优美解"的质疑

题目 (2009年高考全国卷Ⅰ理第22题)设函数fx=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].     

标答应尽可能切合学生实际--兼谈一道"希望杯"赛题的别解

4月18日刚刚举行的第15届"希望杯"全国数学邀请赛第2试初一的压轴题为:     

是命题"巧合"?还是命题人"有意"凸现?——对连续两年全国高考数学卷Ⅱ"同类同型"试题的解析与思考

1 问题的提出 高考过后,笔者认真研读2010年全国高考数学卷Ⅱ时发现了特熟悉的"题",文(理)科第12、15题这两道题是文理同题(文理同题在选择题中占6道、填空题中占2道、解答题中占4道),又是2009年、2010年连续两年全国高考数学卷Ⅱ"同类同型"试题,在高规格的选拔赛中,仅此一点,就值得探究,这样做既能把握高考趋势,又能促进教学能力的提升.     

与"三角形外心"有关问题的求解方法

与三角形的内心、外心、重心、垂心有关的数学问题在前几年经常被选入各级各类竞赛试题中,随着当今高考试题变知识立意为能力立意,这类题目便出现在全国各省市高考模拟试题中,特别是2003年,全国、北京、上海的高考试题都以大题的形武出现,充当"把关题"的重要角色.这类问题涉及知识面广,极富思考性和挑战性,学生求解起来颇感困难,考试时经常弃而不答,令人惋惜!     

"黄金椭圆"的性质探求

全日制普通高级中学教科书(试验修订本)·数学(第二册(上))中讲述了一般椭圆的性质.本文则讨论一类特殊椭圆的性质,而这些性质在中学数学教学及解题过程中常会涉及到.为了下文表述的方便,我们给出规定:连接任一椭圆四个顶点的四边形是菱形,则称此菱形为“椭圆菱形”.如下图1所示的菱形ABCD即为椭圆菱形.图1研究其方程知:若已知椭圆方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),则其菱形方程为｜x｜a ｜y｜b=1;反之,若已知椭圆菱形的方程为｜x｜a ｜y｜b=1(a>b>0),则与之对应的椭圆方程为x2a2 y2b2=1,从图形与方程间的联系,我们可以欣赏椭圆与其菱形间的简单…     

二次函数与"存在性问题"的探究

存在性的问题大多以函数图象为载体来研究事物的存在性,解题的技巧性和综合性也较强,对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高,所以是几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目.     

突出函数主线把握"交汇"热点

函数是高中数学的重点 ,也是高考的考查重点 .函数的内容丰富多彩 ,其应用广泛、灵活 .因此 ,我们应把函数的概念和性质把握好、运用好 .尤其是综合复习时更应以函数为主线串联其他各知识点 ,使之形成知识网络 .这样就能“以纲带目 ,纲举目张”,就更有利于扩展知识面 ,拓宽解题思路 .既能深化概念的理解 ,提高思维层次 ,又能强化以函数为主干的知识网络的整体意识及应用意识 ,因而也就更有助于培养和提高学生分析问题、解决问题的综合能力及创新能力 .下面围绕函数部分的热点问题 ,以 2 0 0 1年全国各地模拟试题为例 ,分类评析 .1　函数与方…     

不等式"搭台"导数"唱戏"

用导数解决函数的单调性问题一直是全国各地市高考及高考模拟试题的重点,利用导数证明不等式便是近年高考最热衷的题型之一,此类问题的特点为:问题以不等式形式呈现,而"主角"往往却是导数,因此构造函数成为证明不等式的良好"载体".构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系在通过转化变换之后与某些函数结构特征吻合.……     

圆锥曲线中"张角为直角的弦"问题概述

圆锥曲线的弦对一些特征点(顶点、中心、焦点等)张角为直角的问题,是圆锥曲线中非常典型的问题,蕴涵着解析几何丰富的思维方法和思想精髓,近年来全国各地的高考对这方面内容的考查也方兴未艾、精彩不断.本文试图对历年的高考数学试卷中的这类问题罗列、归纳与思考,以便于我们的高考复习作些参考.1与顶点的张角为直角的弦试题1(2007年山东省高考数学试题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l∶y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径…     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

两道高考题的统一推广

2010年高考全国卷Ⅰ和全国卷Ⅱ有如下两道题： 例1（全国卷Ⅰ理科第16题）椭圆a^2^-x^2＋b^2^-y^2=1（a〉b〉0）的左焦点为F,上顶点为B,BF的延长线交椭圆于D,     

"转盘"中的概率学问

研究2008年和2009年全国各省市高考模拟题发现:以"转盘"为载体的概率与统计题频频出现,此类问题情境新颖别致、自然流畅,极富思考性、挑战性和趣味性,令人赏心悦目、拍案叫绝.下面采撷五例并予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.……     

一道引领教学走出"题海战术"的好题——评析2005年全国高考数学卷第22题

2005年全国高考数学卷第22题为(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x (1-x)log2(1-x)(0相似文献   

赋予新内容 用递推公式简

题目（2013年高考全国大纲卷（文科）2）已知抛物线C：y^2=8x与点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若MA·MB=0，则k=（ ）．     

一道"高失分题"的调查研究

1 问题提出 问题如图,直角坐标系x'Oy所在的平面为β,直角坐标系xOy所在的平面为α,且二面角α-y轴-β的大小等于30°.已知β内的曲线C'的方程是3(x'-2√3)2+4y2-36=0,则曲线C'在α内的射影的曲线方程是__.(答案:(x-3)2+y2=9)     

正确结果下的"危机"--"研究性学习"案例一则

“研究性学习”是指学生在教师指导下 ,从学习生活和社会生活中选择并确定研究专题 ,用类似于科学研究的方式 ,主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动 ;“研究性学习”实质上是指学生要像科学家从事科学研究那样进行学习 ,其本质是对科学研究的模仿和模拟 ,是“像”而不是“就是”科学研究活动[1] .为增强学生的代数推理能力 ,在高考数学复习教学中我选编了如下问题 :已知二次函数 f ( x) =ax2 + bx + 1 ( b是实数 ,a是正数 ) ,设方程 f ( x) =x的两个实根为 x1、x2 .( 1 )如果 x1<2 相似文献   

关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨

文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1　已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2　已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3　已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 …     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

正多边形的推广——"分数"多边形

1正多边形定义的推广———“分数”多边形图1将圆周五等分,画出正五边形和五角星.而五角星也是“五条边相等、五个顶角相等”的几何图形,它“符合”正多边形的定义中各边相等,各角相等的条件,但不是凸多边形.易求出它的顶角为36°.将36°代入正多边形内角公式:36°=(n-2)n×180°,则n=52.我们将五角星定义为“正25边形”:将圆周五等分,等分点为A,B,C,D,E.从等分点A开始,间隔2段弧,连接AC,依此类推,连接相应的等分点,形成五角星.我们将“正pq边形(q>2p,p,q为自然数)”定义为:将圆周q等分,得到q个等分点:A0,A1,A2,A3,…,Aq-2,Aq-1,(1)…     

共轭双曲线"渐准点"的若干性质

文[1]介绍了有关双曲线“渐准点”的若干性质,受此启发,笔者继续研究了共轭双曲线“渐准点”的一些性质.为行文方便,如图,我们记横向双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的左准线x=-a2c与渐近线的交点为P,纵向双曲线y22b-x2a2=1(b>0,a>0)的下准线y=-b2c与渐近线的交点Q,那么渐准点P,Q有下列几个性质:性质1 PF1=baQF1;性质2 tan∠F1PF2·tan∠F1QF2=4;性质3|PQ|=a b;性质4 PF1·PF2 QF1·QF2=-c2;性质5 S梯形PQF1F1′=(a b)22;性质6 SΔPOF2=SΔQOF′2.下面一一证明之.性质1的证明:不难得到P(-a2c,abc),Q(abc,-2bc),F1(-c,0),F2(c,0…