Une méthode numérique pour les problèmes d'équilibre de corps hyperélastiques compressibles en grandes déformations

Résumé Cet article applique les techniques de Lagrangien Augmenté à la résolution numérique des problèmes d'équilibre de corps hyperélastiques compressibles soumis à de grandes déformations. La méthode obtenue est illustrée par plusieurs exemples numériques.

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A numerical method for solving equilibrium problems of compressible hyperelastic bodies in large deformations

Summary This paper uses Augmented Lagrangian techniques for the numerical solution of equilibrium problems of compressible hyperelastic bodies subjected to large deformations. The resulting method is illustrated by several numerical examples.

     

Anatomy of the Shape Hessian

Summary The computation of the Shape Gradient with respect to domain perturbations plays a central role in the theory and numerical solution of Shape Optimization problems. In 1907 J. Hadamard introduced a method which has been and still is widely used to obtain many useful results for applications. The mathematical limitation of his method rests in the fact that the deformations of the domain are a function of the smoothness of the normal to the boundary (hence the smoothness of the boundary). New developments by the Nice School (J. Cea and J. P. Zolesio) using arbitrary velocity fields of deformation relaxed the condition that the deformation be carried by the normal to the boundary. Finally the use of «Shape Lagrangians» by Delfour and Zolésio made it possible to obtain Shape Gradients by a simple constructive method which does not require the derivative of the state with respect to the domain. In this paper we apply this last method to semi convex cost functions. This extension makes it possible to compute the «Shape Hessian» or «Shape directional second derivative». We give several expressions for the «Shape Hessian» and a set of equations characterizing its kernel.

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Résumé En Optimisation de forme le calcul du gradient par rapport aux déformations du domaine joue un rôle central dans la théorie et la résolution numérique de ces problèmes. C'est en 1907 que J. Hadamard montra comment obtenir ces gradients par une méthode originale de perturbations du domaine portées par la normale à la frontière du domaine. La «méthode d'Hadamard» a permis jusqu'à nos jours de traiter ces problèmes et d'obtenir de nombreux résultats utiles pour les applications. La limitation mathématique de cette méthode réside dans le fait que les déformations sont liées à la régularité de la normale (donc celle de la frontière). De nouveaux développements utilisant la méthode des champs de vitesse de déformation de l'École niçoise (J. Céa et J. P. Zolésio) ont permis de séparer les contributions respectives de ces deux variables. Enfin l'utilisation du «lagrangien de forme» par Delfour et Zolésio a permis d'obtenir les gradients de forme par une méthode simple et constructive ne nécessitant pas la dérivée de l'état par rapport au domaine. Dans cet article nous appliquons cette dernière méthode à des fonctions coût semi convexes ce qui permet d'obtenir l'«hessien de forme» ou derivée directionnelle seconde par rapport aux domaines. On donne plusieurs expressions de cet hessien ainsi que des équations caractérisant son noyau.

     

Asymptotic solution of the unsteady boundary layer equations

Summary An extension of the Meksyn asymptotic method to unsteady boundary layers in laminar, incompressible flow is investigated. The results indicate that unsteady boundary layers can be calculated by the Meksyn asymptotic method with comparable accuracy to that obtained for steady flows. Several differences from the well developed steady-flow application exist and require further work before general problems can be treated. The calculation technique is more straight-forward for cases involving acceleration because three or four terms in the expansions may then yield sufficient accuracy. The form of the governing equation required by the Meksyn method indicates that it is most useful for unsteady stagnation boundary layers since some basic unsteady flows are not directly accessible in their simplest form from that equation. The effect of unsteadiness on the rate of asymptotic convergence is assessed by detailed comparison of a similar solution for unsteady, stagnation flow with analogous results from the Falkner-Skan equation and of reliable numerical results for both cases.

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Résumé On étudie une extension de la méthode asymptotique de Meksyn aux couches limites instables des écoulements laminaires de fluides incompressibles. Les résultats montrent que les couches limites instables peuvent être calculées à l'aide de la méthode asymptotique de Meksyn avec une précision comparable à celle obtenue pour les écoulements stables. Plusieurs différences existent par rapport à l'application, bien mise au point, aux écoulements stables; elles demandent encore du travail avant que les problèmes généraux puissent être traités. La méthode de calcul est plus directe dans les cas impliquant une accélération, car 3 ou 4 termes dans les développements assurent alors une précision suffisante. La forme de l'équation principale nécessaire à la méthode de Meksyn indique qu'elle est très utile pour les couches limites instables au repos; en effet, certains écoulements instables de base ne peuvent être atteints directement dans leur forme la plus simple à partir de cette équation. L'effet de l'instabilité sur la vitesse de convergence asymptotique est établi grâce à une comparaison détaillée d'une solution analogue pour un écoulement instable stagnant avec les résultats semblables obtenus par l'équation Falkner-Skan, et des résultats numériques sûrs obtenus dans les deux cas.

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This work was supported by the Energy Research and Development Administration.     

A method of parameter differentiation applied to flow in porous annuli

A general noniterative method of solution of nonlinear boundary value problems involving a parameter is presented. Through a parametric differentiation of the original system, the boundary value problem is converted into an initial value problem with the parameter as the independent variable and differentiation with respect to the original variable is completely eliminated. A step by step integration with respect to the parameter of the newly obtained initial value system yields a large family of solutions which may be of practical interest when the parameter chosen is of physical significance.The method is applied to study the effect of uniform wall suction and injection on the laminar flow in an annulus. The integration is carried out with respect to the transpiration Reynolds number and the deviation from the Poiseuille flow can be seen at each step of integration.

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Résumé Une méthode générale non itérative est développée pour résoudre des problèmes aux limites non linéaires contenant un paramètre. La dérivation du système différentiel par rapport au paramètre transforme le problème en un problème aux valeurs initiales, où la variable indépendante est le paramètre et où la dérivation par rapport à la variable d'origine est complètement éliminée. L'intégration du nouveau système par rapport au paramètre est menée pas à pas et conduit à une famille de solutions qui peuvent être d'intérêt pratique si le paramètre a une signification physique.La méthode est appliquée à l'étude de l'écoulement laminaire d'un fluide dans un tube annulaire à parois uniformément perméables. La variable d'intégration est le nombre de Reynolds de transpiration et la déviation par rapport à l'écoulement de Poiseuille peut être déterminée à chaque pas d'intégration.

     

On the numerical solution of Cauchy type singular integral equations and the determination of stress intensity factors in case of complex singularities

Summary A Cauchy type singular integral equation along a finite real interval and with a weight function with complex singularities at the end-points of the integration interval can be numerically solved by reduction to a system of linear equations, by using an appropriate numerical integration rule associated with the Jacobi polynomials, in exactly the same way used for the case of real singularities. For the numerical solution of such an equation arising in plane elasticity crack problems and the evaluation of stress intensity factors at crack tips, the Lobatto-Jacobi numerical integration rule is the most appropriate.

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Résumé Une équation intégrale du type de Cauchy singulière le long d'un intervalle fini réel et avec une fonction pondérante ayant des singularités complexes aux extremités de l'intervalle d'intégration peut être résolue numériquement par réduction à un système d'équations linéaires, en utilisant une règle appropriée d'intégration numérique associée aux polynômes de Jacobi, exactement de la même manière que dans le cas des singularités réelles. La façon la plus appropriée de trouver la solution numérique de cette équation telle qu'elle se présente dans les problèmes de fissure en élasticité plane et d'évaluer les facteurs de contrainte aux extremités da la fissure est la méthode d'intégration numérique de Lobatto-Jacobi.

     

On the deformation of elastic plates

Summary The purpose of the paper is to indicate some elementary applications of a method for the resolution of elliptic problems. The method consists in fitting solutions obtained in several subdomains and depending on arbitrary constants. One of the interests of the method is that it seems particularly efficient in the case of singularities. An application to the bending of triangular and parallelogramic plates is given.

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Résumé Les auteurs se proposent d'exposer sur quelques cas simples une méthode de résolution pour des problèmes elliptiques. La méthode, qui consiste à raccorder en certains points choisis diverses solutions obtenues dans des sous-domaines, semble particulièrement efficace pour traiter des problèmes présentant des singularités. La méthode est appliquée à titre d'exemple à la flexion de plaques triangulaires ou en forme de paralléllogrammes.

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Dédié au Professeur E. Stiefel, avec notre entière reconnaissance     

Application of the Cauchy theorem to the location of zeros of sectionally analytic functions

Summary A new method for the derivation of closed-form formulae for the zeros of sectionally analytic functions in the complex plane is proposed. This method is based on the Cauchy theorem in complex analysis (in a generalized form) and it does not require the solution of any boundary value problem along the discontinuity interval. As an application, the classical transcendental equationw=tanh (p w+q), appearing in a physical problem, is solved in closed form. Numerical results are also presented.

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Résumé Une nouvelle méthode pour la dérivation de formules analytiques pour les zéros des fonctions analytiques par morceaux dans le plan complexe est proposée. Cette méthode se base sur le théorème de Cauchy dans l'analyse complexe (sous une forme généralisée) et elle n'a besoin de la solution d'aucun problème à valeurs aux limites le long de l'intervalle de discontinuité. Comme une application, l'équation transcendentale classiquew=tanh (p w+q), apparaissante dans un problème physique, est résolue analytiquement. Des résultats numériques sont présentées aussi.

     

A kinematical study of Kirchhoff-Rayleigh flow

Summary A method of calculating the separated flow of a viscous fluid is proposed, which allows to split up properly the boundary condition problem from the viscous phenomena. The theory is developed for the flow past a plate and yields wakes of finite extension having an underpressure which depends directly on the amount of vorticity diffusion and dissipation occurring in the fluid. Application of the method to real flows shows good agreement between the calculated and the measured velocity distributions in front of the plate and in the wake.

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Résumé Une méthode de calcul de l'écoulement décollé d'un fluide visqueux est proposée qui permet de séparer clairement le problème aux limites des phénomènes visqueux. La théorie est développée pour l'écoulement autour d'une plaque et donne des sillages de longueur finie ayant une dépression de culot directement dépendante de l'intensité de la diffusion et dissipation de la vorticité se produisant dans le fluide. L'application de la méthode à des écoulements réels montre une bonne concordance entre les répartitions de vitesse calculées et mesurées sur le devant de la plaque et dans le sillage.

     

The reduction of boundary value problems to Fredholm integral equations of the second kind

Résumé Une méthode générale est obtenue pour réduire une classe de problèmes aux limites à la résolution d'une équation deFredholm de seconde espèce. La méthode et un secteur d'une sphère évidé situé (a) entre deux plans parallèles et (b) dans un cylindre circulaire. Le problème hydrodynamique du flux dans un cylindre contenant un disque et le problème électrostatique pour un secteur d'un sphéroïde allongé sont aussi examinés.     

Algorithms for the solution of stochastic dynamic minimax problems

In this paper, we present algorithms for the solution of the dynamic minimax problem in stochastic programs. This dynamic minimax approach is suggested for the analysis of multi-stage stochastic decision problems when there is only partial knowledge on the joint probability distribution of the random data. The algorithms proposed in this paper are based on projected sub-gradient and bundle methods.

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Résumé Dans cet article, nous proposons des algorithmes pour la solution du problème du minimax dynamique stochastique. Ce problème se présente par exemple lorsque, dans un problème de décision dynamique stochastique, l'information disponible au sujet des distributions de probabilité des paramètres est incomplète. Les algorithmes proposés sont fondés sur la méthode de sous-gradient projeté et la méthode des faisceaux.

     

Application of the generalized Siewert-Burniston method to locating zeros and poles of meromorphic functions

Summary The generalized Siewert-Burniston method for the determination of the zeros of an analytic function inside a simple closed contourC in the complex plane is modified to be applicable to the determination of both the zeros and the poles of a meromorphic function insideC. The method is based again on the solution of a homogeneous Riemann-Hilbert boundary value problem onC and the values of the meromorphic function onC are sufficient for the application of the method.

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Résumé La méthode de Siewert et Burniston généralisée pour la détermination des zéros d'une fonction analytique à l'intérieur d'un contourC simple fermé dans le plan complexe est modifiée pour être applicable à la détermination des zéros ainsi que des pôles d'une fonction méromorphe à l'intérieur deC. La méthode se base encore une fois à la résolution d'un problème de valeurs aux limites de Riemann-Hilbert surC; les valeurs de la fonction méromorphe surC étant suffisantes pour l'application de la méthode.

     

A solution to boundary value problems with over-specified boundary conditions

Summary The problem of determining the unknown terms of a differential equation from over-specified boundary conditions is solved by means of the potential theory. The boundary values of compatibility functions adapting the differential equations to the prescribed boundary conditions are introduced as explicit unknowns in the system of linear equations. Two applications to fluid mechanics are presented, which demonstrate the efficiency of the method.

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Résumé Le problème de déterminer les termes inconnus d'une équation différentielle, à partir de conditions aux limites surdéterminées, est résolu au moyen de la théorie des potentiels. Les valeurs aux limites de fonctions de compatibilité adaptant les équations différentielles aux conditions aux limites prescrites sont introduites, comme inconnues explicites, dans le système des équations intégrales linéaires. Deux applications à la mécanique des fluides sont présentées, qui démontrent l'efficacité de la méthode.

     

Evaluation de l'erreur d'approximation pour une inéquation parabolique relative aux convexes dépendant du temps

Résumé On commence en posant un problème d'évolution avec contraintes unilatérales, dépendantes du temps, pour lequel on donne deux théorèmes de régularité.On fait ensuite l'approximation numérique par la méthode des éléments finis et on montre un algorithme de résolution pour les systèmes de complémentarité associés aux problèmes approchés.On obtient enfin une majoration de l'erreur d'approximation.     

La méthode de Kikuchi appliquée aux équations de von Karman

Resumé Le but de cet article est l'étude de l'approximation numérique des solutions non-triviales des équations de Von Karman pour le flambage d'une plaque mince encastrée. S'inspirant de la méthode de Kikuchi pour des problèmes quasi-linéaires du second ordre, on propose une méthode itérative d'éléments finis qui donne des approximations des solutions de norme «petite» qui bifurquent de la solution triviale au voisinage d'une valeur propre simple du problème linéarisé. On démontre la convergence et on obtient des estimations de l'erreur.

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Application of Kikuchi's method to the von Karman equations

Summary The aim of this article is to study the numerical approximation of non-trivial solutions of the Von Karman equations for the buckling of a thin elastic clamped plate. Following Kikuchi's method for second order quasilinear problems, we propose an iterative finite element method which produces approximations of non-trivial solutions of small norm which bifurcate from the trivial solution near simple eigenvalues of the linearised problem. The convergence is proved and error estimates are obtained.

     

A hybrid method for calculating vector fields subject to inhomogeneous boundary conditions

Summary A method for calculating vector fields is proposed, which associates the potential method and the finite difference or finite element method. The first is used for satisfying the boundary conditions whereas the second fulfils the local conditions of the vector field considered. In this way, maximum accuracy can be obtained, in most cases, with minimum computation time. An example of flow in a turbine cascade is presented, which demonstrates the efficiency of the method.

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Résumé Une méthode de calcul des champs de vecteurs est proposée qui associe la méthode des potentiels à la méthode des différences ou des éléments finis. La première est utilisée pour satisfaire les conditions aux limites alors que la seconde sert à tenir compte des conditions locales du champ vectoriel considéré. Cette façon de faire permet d'obtenir, dans la plupart des cas, une précision maximum avec un temps de calcul minimum. Un exemple d'écoulement au travers d'un aubage de turbine est présenté, qui démontre l'efficacité du procédé.

     

Flow in an occluded circular cylindrical tube with permeable wall

Résumé L'éoulement d'un liquide dans un tube à paroi perméable se rencontre dans plusieurs problèmes d'ingénieur, tels que la purification de l'eau, l'osmose inverse, l'écoulement dans un milieu proeux, etc. Cet exposé traite un problème physiologique, à savoir, l'écoulement du sang dans les plus petits vaisseaux sanguins, les «capillaires».L'expérience de «micro-occlusion» de Landis (1927) était un pas important dans le problème du transport fluidique à travers un vaisseau sanguin. Récemment, Zweifach et Intaglietta (1966, 1968) ont obtenu des données importantes grâce à une expérience perfectionnée du type de celle de Landis. L'interprétation de ces expériences se fonde sur l'hypothèse de Starling de l'interaction des pressions osmotique et hydrostatique. Dans cet ouvrage, on étudie un modèle simplifié du transport fluidique à travers la paroi d'un vaisseau sanguin capillaire. On donne une méthode analytique pour étudier l'appliation de l'hypothèse de Starling au mouvement d'un fluide visquex dans un tube circulaire occlu. On suppose que les pressions hydrostatique et osmotique de l'espace extérieur entourant le tube aient les mêmes valeurs d'équilibre avant et après l'occlusion, de sorte que l'écoulement de masse à travers la paroi du tube, conformément à l'hypothèse de Starling, est simplement proportionnel au changement de la pression hydrostatique à travers le paroi. La solution démontre que, quand la constante de perméabilité dépasse une certaine valeur, l'éoulement axial amont détermine le mouvement fluidique; et que l'écoulement à travers la paroi du tube est plus ou moins indépendant de la perméabilité de la paroi. Quand la constante de perméabilité est petite, l'écoulement à travers la paroi est proportionnel à la perméabilité.L'hypothèse de Starling étant applicable à la dialysation des membranes, la présente démonstration a d'autres domaines d'application pour l'ingénieur. Cette méthode d'analyse peut être appliquée pour résoudre un type général du problème de valeur de limite associée à l'équation de Stokes dans laquelle deux conditions indépendantes sont données pour la surface et l'une des extrémités de la région cylindrique circulaire.     

Nonuniform supersonic flow past wedges

Summary The problem of steady, inviscid, nonuniform, supersonic flow past pointed wedges with attached shock waves is considered. The solution is obtained by the one-strip approximation of the method of integral relations. The results agree well with experimental data.

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Résumé Le problème de l'écoulement supersonique non-uniforme non-visqueux stationnaire autour d'un dièdre est considéré dans le cas des ondes de choc attachées. La solution est obtenue par la première approximation de la méthode des relations intégrales. Le rapport entre les résultats théoriques et expérimentaux est bon.

     

Graphical solution of axially symmetric problems of plastic flow

Résumé Une méthode graphique de solution des problèmes dans le cas de symétrie axiale a été proposée pour des corps rigides, parfaitement plastiques, obéissants au critère d'écoulement de Coulomb-Tresca et à l'hypothèse du potentiel plastique. Deux cas ont été considérés: d'une part des régimes de Haar-Kármán pour lesquels la contrainte circonférencielle est égale à l'une des contraintes principales contenues dans le plan axial, et d'autre part des régimes duor lesquels l'une des vitesses de déformation principales dans le plan axial est nulle.     

A singular perturbation analysis of two-dimensional wind tunnel interferences

Summary Wall interference on an airfoil model in a wind tunnel has been treated as a singular perturbation problem for both subsonic and transonic flows. This problem is formulated within the framework of small perturbation theory. It is shown that the classical interference solution consists of the outer boundary condition for the inner boundary value problem.

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Résumé Dans une étude de l'effet des écoulements subsonique et transsonique dans une soufflerie, on a traité l'interférence de la paroi de la soufflerie sur une maquette de profil aérodynamique comme une perturbation singulière dont la définition est donnée dans la théorie des petites perturbations. Il a été démontré que la solution classique au problème de l'interférence fait intervenir la condition aux limites extérieures du problème de la valeur aux limites intérieures.

     

Numerical integration of an orbit and its concomitant variations by recurrent power series

Résumé Lorsqu'il s'agit de calculer tout en une fois une orbite et la résolvante de ses équations aux variations dans le problème restreint des trois corps, l'intégration par séries de puissances récurrentes s'avère nettement plus avantageuse que d'autres procédés numériques. A précision égale, les développements en séries ne prennent que 30% du temps mis par les méthodes à pas multiples, et seulement 12 à 15% du temps employé par la méthode deRunge-Kutta-Nystrom.