关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

用辅助函数法解题

引入辅助函数以帮助解题是数学上的重要方法,引入辅助函数后,可以运用函数的增减性,定义域、值域、最值、连续、可导,可微、可积来帮助解题。现举几例加以说明: 例1 求证(|a+b|)/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 分析:由于0≤|a+b|≤|a|+|b|、把|a+b|,(|a|+|b|)作为一个变量的两个不同的值,设x_1=|a+b|、x_2=|a|+|b|。原不等式化为x_1/(1+x_2)≤x_2/(1+x_2),因此只要证明函数f(x)=x/(1+x)在x≥0是增函数即可,用研究函数的增减性来代替不等式的证明。     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

一类绝对值问题的解题途径

本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和.     

数形结合巧解绝对值方程

定理对于方程|x-a|+|x-b|=c,(1)当|x-a|+|x-b|<|a-b|时,方程无解.(2)当|x-a\+|x-b|=|a-b|时,方程的解为min{a,b}≤x≤max{a,b}.(max{a,b)表示a、b中较大的数,min{a,b}表示a、b中较小的数)(3)当|x-a|+|x-b|>|a-b|时,方程     

复数模的性质应用举例

现行高中代数中,论述复数模的性质有以下几个命题: 1.|Z|~2=||~2=Z·(?)≥0,|R_e(Z)≤|Z|, |R_I(Z)|≤|Z|;2.|Z_1·Z_2|=|Z_1|·|Z_2|,|Z_1/Z_2|=|Z_1|/|Z_2|(Z_2≠0)|Z~n|=|Z|~n; 3.||Z_1|-|Z_2||≤|Z_1±Z_2|≤|Z_1|+|Z_2| 当且仅当argZ_1=argZ_2时,|Z_1+Z_2|_max=|Z_1|+|Z_2|;|Z_1-Z_2|_min=||Z_1|-|Z_2||;当argZ_1=argZ_2±π时,|Z_1-Z_2|_max=|Z_1|+|Z_2|;|Z_1±Z_2|min=||Z_1|-|Z_2||。     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

二项展开式系数绝对值最大项的一个公式

定理设a、b是非零实常数,x、y为变数,在(ax+by)~n的展开式中系数绝对值最大的项是第(?)+1项(?)则即r为不超过|b|/|a|+|b|·(n+1)的最大整数证明:(ax+by)(?)展开式的通项为 T_(k+1)=C_n~k(ax)~(n-k)(by)~k(k=0,1,2,…,n)其系数的绝对值|t_(k+k)|=C_n~k|a~(n-k)b~k| 在展开式中第(?)+1项的系数绝对值最大的充要条件是     

活用|a·b|≤|a|·|b|解题举例

向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用.例1若a,b∈R且a1-b2 b1-a2=1.求证:a2 b2=1.证明记a=(a,b),b=(1-b2,1-a2),由已知条件知a·b=1,又|a|=a2 b2,|b|=2-a2-b2,由|a·b|≤|a||b|得(a2 b2)(2-b2-a2)≥1,化简得(a2 b2-1)2≤0,故a2 b2=1.例2(1957年北     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

绝对值恒等式的应用

<正>近几年绝对值问题一直是浙江省高考的热点,因而各地的模拟卷里绝对值问题自然而然也成了"常客",而在解决这些问题的过程中经常出现下面一对绝对值恒等式的倩影:max{|a+b|,|a-b|}=|a|+|b|和min{|a+b|,|a-b|}=||a|-|b||,用它来解决与绝对值有关的问题往往可以做到事半功倍的功效.下面笔者通过具体的例题来解析这对恒等式的应用.     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.     

构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

2004年高考数学模拟训练试题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 .1.设集合M ={x|x =4k± 1,k∈Z} ,N ={x|x =2k +1,k∈Z} ,其中Z表示整数集 ,则下列各项错误的是 (　　 )(A)M∪ (CZN) =Z .　 (B) (CZM )∩N = .(C)M =N . (D)M∪N =Z .2 .已知a ,b是两个单位向量 ,下列命题中错误的是 (　　 )(A) |a|=|b|.(B)a·b =1.(C)a与b方向相反时 ,a +b =0 .(D)a与b方向相同时 ,a =b .3.设命题 p :3≤ 4 ,q :5 6∈ [6 5 ,+∞ ) ,则三个复合命题 :“p且q” ,“p或q” ,“非 p”中 ,真命题的个数为 (　　 …     

再谈“两相交直线所成角的平分线方程”

本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广　当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为…     

教材中一些不等式的向量证法

教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明　构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即　a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2　求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明　构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有　 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3　已知a …