三角公式在递推数列中的代换功能

三角公式在递推数列中的代换功能李再湘（长沙市雅礼中学４１０００７）数列是高中教材的重点和难点，而递推数列则是难点中的难点．近几年来，在有关用递归关系给出的数列的竞赛题中，多数为探求数列的性质．而且．有许多问题可以借助三角公式进行代换从而得到巧解．众多...     

递推数列的求解策略

<正>如果数列{a_n}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.用递推公式表示的数列就叫做递推数列.递推数列是我们随时会碰见的数学问题,许多老师也会分门别类地给同学们罗列若干实战的解决方法,学生遇到类似的问题老想对号入座、依葫芦画瓢.殊不知,这样做有时反而使得学生难以适从.事实上,我们知道,不管题目形式怎样变,它们的解决方法或思想方法总是万变不离其宗,是有章可循的.况且,高考常     

含有根式的递推数列问题求解策略

某些含有根式的递推数列问题，用三角代换法使其根式脱去非常奏效，即借助于同角三角函数的平方关系式sin^2α＋cos^2α=1、1＋tan^2α=secα、1＋cot^2α=csc^2α以及倍角公式，将已知递推数列问题转化为角成等比数列问题，进而使问题迅速获解．观察递推公式的根式结构待征，选择恰当的三角函数将通项代换是解决问题的关键．     

含有根式的递推数列问题求解策略

某些含有根式的递推数列问题,用三角代换法使其根式脱去非常奏效,即借助于同角三角函数的平方关系式sin2α cos2α=1、1 tan2α=sec2α、1 cot2α=csc2α以及倍角公式,将已知递推数列问题转化为角成等比数列问题,进而使问题迅速获解.观察递推公式的根式结构待征,选择恰当的三角     

二元变系数递推数列的求解

运用矩阵理论给出一类二元变系数递推数列的求解公式,此方法适用于变系数分式递推式及m元变系数递推式的求解问题。     

借用递推数列求解一类概率竞赛题

<正>数列与概率都是高中数学的重要内容,在近几年的全国高中数学联赛的预赛中频频出现数列与概率的交汇题.其中一类题借用数列中的递推关系,是用有限的方法解决无限的问题,这也是解决一些概率问题行之有效的好方法.本文采撷几道数学竞赛题,权当抛砖引玉.     

竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略

递推公式背景下的数列型不等式一直是高中数学竞赛和高考考查的重点和热点.由于此类问题能比较和谐地融函数、三角和不等式等高中数学核心知识模块于一体,自然渗透常见的重要数学思想方法,对学生严谨的推理论证能力和良好的数学维品质的培养起着积极的作用,因此其一直被命者所青睐.本文主要以近年来的高中数学联赛试为例,就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解略作一探究和总结,以突破对该类问题的教与学瓶颈,供读者参考.     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

递推数列的非线性表达式的构造

A type of nonlinear expressions of Lucas sequences are established inspired by Hsu [A nonlinear expression for Fibonacci numbers and its consequences.J.Math.Res.Appl.,2012,32(6):654–658].Using the relationships between the Lucas sequence and other linear recurring sequences satisfying the same recurrence relation of order 2,i.e.,the Horadam sequences,we may transfer the identities of Lucas sequences to the latter.     

递推数列的通项公式求解方法探究

<正>根据数列所满足的递推关系,用累加或累乘的方法求出通项公式;或用转化与化归的数学思想及方程的思想构造出新的等差或等比数列,通过求得新数列的通项公式进而求出递推数列的通项公式.1.型如an+1=an+f(n)可作差累加求通项.若递推公式为a_(n+1)=a_n+f(n)型,则只需将原递推公式化为a_(n+1)-a_n=f(n),再以累加法可知a_n-a_1=g(n),于是a_n=a_1+g(n).     

递推数列通项公式常用求解方法探讨

<正>数列知识是高考中的重点内容,也是必考内容,其中递推数列是数列问题的重中之重.掌握求递推数列的通项公式的转化方法与规律,对于解决数列通项公式问题具有重要作用.由递推数列求通项,形式多变、解法灵活、技巧性强,解法的关键是将递推关系式转化为我们熟知的等差型、等比型、累加型、累乘型等数列形式,然后求出数列的通项公式.此类问题主要有以下     

双连环递推数列通项的求解策略

两个数列的连环递推，我们称之为“双连环递推”，其一般特征是：两个数列的通项由它们的首项和两个相互联系、相互制约、相互依存的递推关系联合限制给出。     

数学竞赛中的递推数列问题

在各级各类的数学竞赛中 ,大量的数列问题都是由递推关系给出的 .建立递推关系是研究数列的各种性质以及许多综合数学问题的有效手段 (例如某些组合数的计算问题 ) .因此 ,运用递推关系解决问题是一种非常重要的途径 .本文我们讨论处理递推关系的一些常用方法 .1　迭代法　迭代法就是反复运用题设所给数列 {ａｎ}的递推关系进行代换 ,每代一次 ,脚标ｎ就往下降 ,直到能用初始值表示ａｎ 为止 .但是在大多数情况下 ,迭代之后不能写成简单的形式 ,因此迭代不出任何结果 ,这时也可考虑进行适当的变换 ,然后再进行迭代 .例 1　 (1996年全国高中…     

递推数列问题的再探究

<正>数列是高中数学的难点,是高考的热点,同时它也是一类特殊的函数,它广泛地存在于科学研究、工程技术、日常生活中.已知数列的递推公式,求数列的通项公式是高考常考的内容,但是由于数列的表现形式各异,有些数列     

数列及其递推

数列就是按照一定次序排列的一列数.就其本质来说,数列实际上就是一类以自然数为自变量的函数。因此,它也具有函数的一些性质,如单调性,有界性,周期性等等。 由于各种数、式、函数、方程、不等式等均可以数列形式出现,所以数列问题所涉及的知识面十分广泛,我们在学习数列时不能拘泥于几个公式和性质,而是要在理解的基础上把握住这些公式与性质的本     

倒数递推数列

本文给出了倒数递推数列的定义，求出了它的通项公式，并指出它与二阶线性差分数列的内在联系。     

常见的非线性递推数列通项公式求法

我们经常遇到含有分式根式或二次式等非线性递推关系．如何根据这些非线性递推关系求数列的通项公式呢？     

利用直线y=x模型求解递推数列题

1.求解“图象”型递推数列题例1(05辽宁)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式an 1=f(an)得到的数列{an}满足an 1>an(n∈N),则该函数的图象是(G)图1分析:如图1,过点(a1,0)作与y轴平行的直线交曲线于点B1,过点B1作与x轴平行的直线交直线y=x于点A2,此时,由于B1的纵坐标是a2,从而A2的横坐标是a2.按此方式不断进行.则得到一单调递增的收敛数列{an},如图知:an 1>an(n∈N)且lni→m∞an=1.用同样的方法可说明B、C、D是错误的,故选A.2.求解“直线”型递推数列题例2(02全国)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此…     

寻找递推关系 巧解数列问题

<正>很多数列是可以利用初始值(如首项,第二项等)和递推关系来表达的,例如等差数列可以利用首项a1和递推关系an+1=an+d(其中d为常数,n∈N*)表达.当给出一个数列的初始值和递推关系,我们就有可能求出其通项公式.但有些数列模型的问题,直接求解有困难时,如果采用迂回战术,即先求出递推关系,     

骨牌覆盖问题与一类递推数列

问题用n个2×1的矩形(这种矩形我们称之为骨牌或多米诺)覆盖2×n的棋盘,有多少种不同的盖法? 下面的讨论用图1表示一张骨牌. 1.原问题的解决 1.1特例探讨 当n=1时,显然只有一种盖法(图1); 当n=2时,有两种盖法(图2); 当n=3时,有三种盖法(图3);