三点共线的向量表示及其应用

<正>三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等(斜率存在)证明;在立体几何里,可以利用公理2(若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线)加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.向量作为"数"与"形"的结合体,为处理三点共线的问题也提供了一个非常重要的依据.     

梅涅劳斯定理的推广

在同一直线上的许多点称为共线点,或称这些点共线．研究多点共线问题可转化为研究三点共线问题,而证明三点共线最常用的方法就是利用三角形的梅涅劳斯定理．本文旨在将三角形的梅涅劳斯定理推广为多边形的梅涅劳斯定理．     

三点共线的向量表示及其应用

三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等（斜率存在）证明;在立体几何里,可以利用公理2（若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线）加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.     

判别“三点共线”的一种新方法

判别“三点共线”的一种新方法２４６１４２安徽省怀宁江镇中学黄全福文［１］曾从六个方面较系统地讨论了＂三点共线＂问题．这里再提供一种本人近期发现的证明＂三点共线＂的新方法，算是对文［１］内容的一点补充．观察图１，两条直线Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２相交于Ｏ点，点...     

数学问题2492的另证、溯源及拓广

文[1]提出了一个涉及三点共线的几何命题,并利用面积法进行证明,技巧性强.本文从点共线问题出发,分别利用Menelaus定理和角元Ceva定理重新证明数学问题2492,并溯源分析其本质,探究得出拓广的结论.数学问题2492已知,如图1,CD,BE交于G,并分别交AB、AC于J、K,DK交AB于H,EJ交AC于I,DI与EH交于F,证明:A、F、G三点共线.     

向量法解立体几何中点线面的位置关系问题

为适应高中数学教材改革的新情况 ,需要研究用向量方法求解立体几何的各种问题 .本文举例说明如何用向量方法解决立几中点、线、面的位置关系问题 .以此强化“向量”的应用价值 ,激发学生学习向量的兴趣 ,从而达到提高探索和创新能力之目的 .现举例说明如下 .1　根据共线向量定理证点共线欲证点共线 ,通常先构造共始点的向量 ,再根据共线向量定理证明 .图 1　例 1图例 1　已知 ,如图 1,长方体ＡＣ1中 ,Ｍ为ＤＤ1的中点 ,Ｎ在ＡＣ上 ,且ＡＮ :ＮＣ =2 :1,Ｅ为ＢＭ的中点 .求证 :Ａ1,Ｅ ,Ｎ三点共线 .证　ＡＢ =ａ ,ＡＤ =ｂ ,ＡＡ1=ｃ,则Ａ1…     

两个“三点共线”问题的妙证

<正>问题一^([1])如图1,已知两直线l_1与l_2不平行,A、B、C是l_1上的三点,D、E、F是l_2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.证明如图1所示,设直线KH分别交直线AE、CF于点G_1、G_2.则欲证G、H、K三点共线,     

有关平面向量三点共线问题的求解

<正>平面向量是高中数学学习的重要内容,也是数形结合思想应用的典范,灵活性强、难度高,是高考数学命题的热点;在高三复习平面向量知识时发现学生碰到有关平面向量三点共线问题时,找不到解题思路,不知从何下手,学生感到困难并有畏惧心理.本文以运用平面向量三点共线来求解有关平面内点的轨迹、三角形面积、最值等问题,供大家参考.一、有关点的轨迹问题的求解     

平面有限点集问题初探

国内外数学竞赛中有不少关于平面有限点集的试题,这类问题处理起来往往使人感到困难,常有不知从何做起的感觉。本文尝试着探讨解决这类问题的几种常见方法。一、“极端性”原则平面有限点集的元素是有限的,所以解决这类问题时,可以考虑从某些在数量上达到极端值(最大值或最小值)的元素作为分析问题的出发点,来寻求问题的答案。例1 给定平面上n(≥4)个点,其中无三点共线,证明:存在以已知点为顶点的三角形使得其余n-3个     

利用组合解决射影几何问题

在射影几何里,有一类问题要用笛沙格定理来证明,本文对这类问题给出相当简单的证明方法;用笛沙格定理证明的问题,一般是证明三点共线、三线共点、或可归结为这两种类型的问题;而这两类问题有时又可以相互转化;例如：要证明Ａ１Ａ２,Ｂ１Ｂ２,Ｃ１Ｃ２三线共点,可转化为证明Ａ１,Ａ２,Ｂ１Ｂ２∩Ｃ１Ｃ２三点共线;反之亦然;笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上;笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点;１　证明三线共点问题在证明三线…     

平面向量在三点共线问题中的应用

<正>有关平面向量求值问题好多学生非常困惑无从入手,老是感觉题目所给的条件不足无法求解.其实是忽视了题目中三点共线这个条件,若考虑到三点共线问题就迎刃而解了.三点共线或题目直接给出,或隐含在题目叙述中,或就在题目所给的图形中.三点共线常用到的定理有:平行向量基本定理——如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

三点共线问题的多种解法

<正>"三点共线"是解析几何中的常见问题,本文通过一道课本习题,借以说明证明三点共线的几种常用方法.题目(新教材第二册（上）P₄₄,T₆)求证:A （1,3）,B（5,7）,C（10,12）三点在同一条直线上.这是一道很常规的题目,但是它却能将许多知识联系起来,解决这个问题对锻炼我们多角度思考问题很有帮助.     

两个数学问题的面积法妙证

<正>问题1^([1])如图1,PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q,若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.证明如图1所示,设直线MN分别交直线AB和CD于点P_1和P_2,则欲证P、M、N三点共线,须证点P_1与P_2重合,     

用面积法解数学竞赛中的平几题

对于平面几何问题,借助于有关面积知识以使问题中几何量的关系变得明瞭,甚至使问题得到解决,是常用的证明方法之一。让我们来看下面的例题. 例1 AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE,使AM:AC=CN:CE=r,如果B、M.N三点共线,求r(第23届IMO竞赛题). 解由题设B、M、N三点共线,得等式     

关于三点共线的一个结论

向量共线定理和平面向量的基本定理不仅是坐标运算的理论基础,也是证明三点共线的理论依据.因此两个定理的理解和应用是同学们学习的重点,也是高考命题的热点.笔者通过细研定理的内涵总结出了一个结论,下面是结论及其证明.     

一类圆锥曲线内切问题中的自我完备性

本文从一道关于圆内切于椭圆的高考试题谈起,探究其一般的情况,接着分别让椭圆内切于圆中、椭圆内切于另外一个椭圆中,探究“切线、弦长、三点共线”之间的内在联系,即以其中任意两个为条件,均能推出另外一个.在这三种不同圆锥曲线内切问题下,一共可以得到九个结论,从而构筑“切线、弦长、三点共线”这三个量之间的自我完备体系.     

巧用三点共线证明三线共点

<正>在平面几何中,证明某一类型命题时,如果能捕捉到相关类型命题的有关信息,那么我们就能另辟蹊径.例如在证明三线共点这类命题时,其中一种方法就是利用三点共线去证请看下面几例.例1证明三角形的三条中线共点.已知:AD、BE、CF为△ABC的三条中线.     

借助三点共线定理解决向量中的双参数问题

对于向量中的双参数问题,如果借助三点共线定理来解决,往往能起到化繁为简的作用,并且体现出问题的本质,本文介绍三点共线定理及其在双参数问题中的应用.     

证三点共线的多种方法

“三点共线”是解析几何中常见的问题,这类问题比较简单,解题的思路也比较广泛.通过一题多解,既可以比较系统地复习直线的方程部分的知识,又可以培养发散思维和创新思