n=3时的費尔馬問题

华罗庚教授在其所著“数论导引”一书中,借域R(ω)(R是有理数域,ω为1之三次原根)証明了方程 x~3+y~3+z~3=0,xyz≠0无整数解。本文给出一个比较初等的証法,而无需涉及复数域。先証以下引理: 引理1.不定方程 x_1x_2…x_n=w~3(x_1,x_2,…,x_n两两互质) (1)之一切整数解均可由公式 x_1=α~3,x_2=β~3,…,x_n=τ~3,w=αβ…τ (2)表出,其中α,β,…,τ两两互质。 証.由(2)确定的x_1,x_2,…,x_n,w显然适合(1).今设x_1,x_2,…,x_n,w为(1)之一组解,令 x_1=α~3x′_1,x_z=β~3x′_2,…,x_n=τ~3x′_n,使x′_1,x′_2,…,x′_n为不再含有立方因数之正数。因x_1,x_3,…,x_n两两互质,故α,β,…,τ与x′_1,x′_2,…,x′_n皆两两互质。由(1)知α~3β~3…τ~3|w~3,即αβ…τ|w;设w=αβ…τw_1,代入(1),便得x′_1x′_2…x′_n=w_1~3。若w_1有质因数p,则应有p~3|x′_1x′_2…x′_n。因x′_1,x′_2,…,x′_n两两互质,所以p~3整除某x′_s,这与x′_s沒有     

分式方程(组)的几种特殊解法

解分式方程(组),一般都是两边同乘以各个分母的最简公分母,把分式方程化为整式方程再求解。但在分式方程(组)中,还有一些习题直接利用这一般方法来解是很繁杂的,因此需要探究一些特殊解法。现归纳九种方法,供参考。一、换元法这种方法较为常用,课本也作了介绍。这里简单举例说明。例1、解方程x~2 3x-(20/(x~2 3x))=8〔《代数》第三册P_(152)) 解:比较两个式子,含有未知数的项都有x~2 3x,令y=x~2 3x,则原方程化为y-20/y=8。∴y~2-8y-20=0 得y_1=-2,y_2=10。由x~2 3x=-2,解得x_1=-1,x_2=-2, 由x~2 3x=10,解得x_3=-5,x_4=2。经检验这四个值都是原方程的根。     

应用平均值换元巧解方程

本文通过举例说明平均值换元在解一类方程中的妙用。 例1 解方程 (x~2 2x-2)(x_2 4x 6)=3(x 4)~2 解 设t=1/a[(x~2 2x-2) (x~2 4x 6)]=x~2 3x 2,则原方程化为[(t-(x 4)]·[t (x-4)]-3(x 4)=0 t~2-4(x 4)~2=0,即[t 2(x 4)][t-2(x 4)]=0,     

巧求直线方程一例

例题已知抛物线x~2=2py上的不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x~2 6x 4q =0(q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则x_1~2=2py_1,x_2~2=2py2．∵A,B的横坐标是方程x~2 6x 4q=0的两个实根,     

第一章 幂函数、指数函数、对数函数

1.集合的概念一、选择题 1.若集合m={x|x-1/x-2≥0},N={x|(x-1)(x-2)≥0},P={x|2~((x-1)(x-2))≥1}则( )。 (A)M=N=P (B)MNP (C)MNP (D)MN=P 2.设p={x_1,x_2,x_3}是方程x~3=1在复数集C中的解集,Q={x_1X_2,x_2x_3,x_3x_1},那么P与Q的关系是( )。 (A)PQ (B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ 3.设全集1={x|x为小于20有奇数},若     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

根有某种关系的两个一元二次方程系数间的关系及其应用

几个定理设有两个一元二次方程a_1x~2+b_1x+c_1=0 (a_1≠0) (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (a_2≠0) (Ⅱ) 定理1 方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍的充要条件是。 (?) 证明必要性:设x_1、x_2是方程(Ⅰ)的两个根,若方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍,则有 (a_2k~2x_1~2+b_2kx_1+c_2)·(a_2k~2x_2~2+b_2kx_2+c_2)=0此式左边展开后,经整理可得 a_2~2k~4(x_1x_2)~2+a_2b_2k~3x_1x_2(x_1+x_2)     

在多元式中选定主元

例1 解方程 x~4-10x~3-2(a-11)x~2 2(5a 6)x 2a a~2=0. 分析:这是关于x的四次方程,不易求解;但方程中a的最高次幂是2,看作关于a的二次方程来解就容易了。解把方程按a的降幂改写如下: a~2-2(x~2-5x-1)a (x~4-10x~3 22x~2 12x)=0. 解之得a=x~2-6x.或a=x~2-4x-2. 再反过来解关于x的方程,得: x_(1,2)=3±9 a~(1/2),x_(3,4)=2±6 a~(1/2). 所谓“主无法”:就是在处理含有多个变量的数学问题时,常选择其中一个变量为主元素,其余各量视为常量,使之出现我们所熟悉的结构形式。例2 设a,b,c为绝对值小于1的实数,求证:ab bc ac 1>0.     

无理方程的间接验根法

无理方程的验根,大多可以采用直接验根的常规方法。然而,对于某些无理方程,直接验根有时很难奏效。这里,笔者介绍一种姑且称为“间接验根”的方法。使用这种方法的意义与思考途径,将结合例子予以说明。例解方程 (3(x+1))~(1/2)-(3x-1)~(1/2)-2((x-1)~(1/2))=0 (1) 解由方程(1)可得 (3(x+1))~(1/2)-(3x-1)~(1/2)-2((x-1)~(1/2))两边同时平方,整理得 x+3=(3(x+1)(3x-1))~(1/2))再两边平方,化简得8x~2=12,解得, x_1=6~(1/2)/2,x_2=-6~(1/2)2容易看出x_2使(1)的根式无意义,为增根。将x_1代入(1)检验,则方程(1)的右边出现的是一个很难、甚至不可能直接化简的根式。如果x_1是方程     

从一个方程談起

本文是围绕一个方程,做为一个高三学生汇报自己如何读数学书籍的初步体会,敬请老师们指正。试证含有x,y的不定方程: x~2-2y~2=1有无穷多组(正)整数解。现把“格点和面积”书中证明过程摘录如下: “显然x~2-2y~2=1有解x=3,y=2, 即 (3+2 2~(1/2)(3-2 2~(1/2))=1。平方并化简,得(17+12 2~(1/2))(17-12 2~(1/2)=1, 即 17~2-2×12~2=1。即 x=17,y=12,是另一组解。取立方,四次方……,即得无穷多组解。”这个证明,实际上提供了不定方程x~2-2y~2=1的解法。一开始,感到这种解法非常巧妙。仿照这种方法,试解了方程x~2-2y~2=-1。显然,x=1,y=1,是这个方程的一组自然数解(以下“自然数解”均写“解”)。随后发现,必须将原方程两边立方,才能得到第二组解x=7,y=5。以后便是五次方,七次方…。这样,便初步掌握了这种类型的方程的解法。在翻阅一本名叫《趣味的数和图》时,其中第一章“趣味的数字”里有一题:     

牛顿公式的一个初等证明

设x_1,x_2,…,x_n是一元n次方程x~n-σ_1x~(n-1)+σ_2x~(n-2)-…+(-1)~nσ_n=0的n个根,并设S_k=x_1~k+x_2~k+…+x_n~k(k=1,2,…),那么 当k相似文献   

关于非线性积分方程的机械求积解法的一点注记

最近有讨论线性积分方程的机械求积解法。本文来讨论非线性的情形。考非统性积分方程 x(s)-∫_o~1f(s,t,x(t))dt=0,(1)其中f(s,t,u)是0≤s≤1,0≤t≤1,|u|≤r上的连续函数。考非统性有穷方程组 (2)k=1其中t_k=(k-1)/n ,A_k=(k=1,2,…,n)。(3) 设有穷组(2)有解x~*=(x_1~*,x_2~*,…,x_n~*),且 max|x_i~*|≤r。(4)     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

问题与解答

一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984),     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

构造递推式求值

在1990年12月16日咸阳市举行的初中数学选拔赛试题中,其第二试第三题为: 设x_1,x_2是方程x~2 3x 1=0的二根,试求x_1~7 x_2~7的值。此题的次数7太高,不易入手。我们可先算出x_1~4 x_2~4,x_1~3 x_2~3的值,然后两式相乘就行了,这是通常解法。若令F(n)=x_1~n x_2~n(n∈N),由x_1 x_2=-3,x_1·x_2=1,易知F(1)=-3,F(2)=7。 f(n 2)=x_1~(n 2) x_2~(a 2)=(x_1 x_2)(x_1~(n 1) x_2~(n 1))-x_1·x_2(x_1~n x_2~n)     

方程 x~n px q=0有两个相等实根的充要条件及其应用

(一) 考察实系数一元n次方程 x~n px q=0(1) 我们有定理1 当n为偶数时,方程(1)有两个相等实根的充要条件是 q~(n-1)/(n-1)~(n-1)=p~n/n~n;并且,若p<0;则这两个相等的实根为 x_0=(q/(n-1))~(1/2)若p>0,则这两个相等的实根为 x_0=-(q/(n-1))~(1/n) 证明设方程(1)有两个根均为实数x_0,则可令x~m px q=(x-x_0)~2(x~(n-2) a_1x~(n-3) a_2x~(n-4) …… a_n-3x a_n-2)其中a_i∈R(i=1,2,…n-2)。展开,合并,比较系数,可得     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

关于计算重根的若干迭代程序

考虑具有重数为m的实根x~*的代数或超越方程 f(x)=(x-x~*)~mg(x)=0, (1)此处m为大于1的正整数,g(x)在含有x~*的某邻域内连续、可微、有界且异于零。我们知道,广义Newton-Raphson I.F。 x_(?+1)=X_n-λf(X_n)/f′(X_n),(n=0,1,2,…) (2)只当在使用时先测得所求根x~*的重数m,且令λ=m时,它所产生的序列{X_n}才能以平方敛速逼近x~*。但精确测定方程(1)的根x~*的重数m,是需要进行一些专门计算的。因此,人们常用在求根过程中已有的信息来测定根的重数m,这里通常是获得一个逼近m的序列。     

从两圆的交点弦到等幂线

这是教材上的一道习题: 求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0①和3x~2 3y~2 2x y=0②交点的直线方程。启蒙阶段,可先解交点,后求直线方程: 由①×3-②,可得7x-4y=0③又由①、②联立解之得:x_1=0,y_1=0;x_2=-4/13,y=-7/13。由此得所求的直线方程:7x-4y=0 ④比较③、④,发现由③到④是条回路,于是回头研究式③为所求的道理;若(x_1、y_1)、(x_2、y_2)是两曲线的交点,则应同时满足①、②两式,从而满足③式。即方程③表示的直线过两曲线的交点,又因这样的直线只有一条,故直线③为所求。