求二元函数极限的几种方法

在高等数学中,关于二元函数的极限,许多教材都只是在介绍了定义之后,给出几道证明函数在某点极限不存在或极限值为某数的例子,而未涉及如何求极限．因此,学生在具体来H元函数的极限时,觉得无从下手,特别象函数点的任何邻域内都存异于（0,0）点而不属于定义域的点,也存在异于（0,0）点而属于定义域的点,按教材的定义,函数在点（O,0）处的极限是不存在的,但可将极限定义稍加推广,使这样的点成为被考虑的对象．推广的极限定义如下：设点（X。,八）的任何邻域内都有异于（X。,儿）而属于八X,y）的定义域的点．若对于任何给…     

具有星形结点的三次系统的极限环

本文研究具有星形结点的三次系统ｘ＝ｘ＋Ｐ２（ｘ，ｙ）＋Ｐ３（ｘ，ｙ），ｙ＝ｙ＋Ｑ２（ｘ，ｙ）＋Ｑ３（ｘ，ｙ），引入函数ｇ４（θ）见（１．６）和Ａ（θ）（见４．４）），得到下述结论；若ｇ４有零点，则不存在包围原点在其内部的闭轨，特别地，若ｇ４＝０，则全平面不存在闭轨；若ｇ４定号，Ａ常号，则至多存在一个闭轨，若存在，它必包含所有在其内部，且为星形的；若ｇ４定号而Ａ变号，则给出了极限环不唯一的例子。     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

关于二元函数累次极限和方向导数的两点注记

二元函数的极限、连续、编导数、全微分等是多元函数微分学中的重要概念，它们是一元函数相应概念的推广，但因为变量多了、动点趋向定点的方式也比较复杂了，故二元函数的这些概念与一元函数的相应概念既有相似之处，也有明显的不同之处。现仅就两个容易混淆的概念加两个附记。注记一，二重极限存在不能保证累次极限一定存在。两个累次极限都不存在。这说明重极限和累次极限是两个截然不同的极限过程。但我们有如下结论（证明从略）：定理设！imf（x，y）一A，二重极限存在，且设对于任意固定的y值都存在！imf（，二y）一机y）。则有！1m9…     

一个特殊的二元函数

欧拉常数γ是以极限形式给出的，本文由此得到一个特殊的二元函数γ（x，y），并给出它的一些性质，最后给出它在求数列极限与数项级数和方面的应用．     

一类高考题的简解及探究

例1（2009年山东卷理科第22题）设椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,过M（2,√2）,N（√6,1）两点,0为坐标原点,（1）求椭圆E的方程;（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且蕊上魂？若存在,写出该圆的方程,并求｜AB｜的取值范围,若不存在说明理由．     

复变函数的罗必塔法则

复变函数的罗必塔法则蒋里强，潘忠玉，王桂花（郑州高炮学院）（郑州第一预备军人学校）众所周知，对实变函数中的＂未定式＂有罗必塔法则。那么对复变函数中的＂未定式＂是否有相应的罗必塔法则？一元实函数的极限ｌｉｍｆ（ｘ）只要求ｘ沿ｘ轴趋于两（或。），而复变函...     

两个二元函数之商的极限的探讨

在数学理论的研究和应用中，常常遇到这样的问题，设两个二元函数它们都在点（x0，y0）的某个邻域内连续（甚至于有更好的性质，例如可微），且（x0，y0）是它们的公共零点。当（x，y）→（x0，y0）时’此两个二元函数之商的极限是否存在？这是二元函数I型未定式的极限问题。与一元函数相比，二元函数未定式的极限问题要复杂得多和困难得多。引理1设函数g（x，y）在点（0，0）处可徽，且g（0，0）一0，匕radg（0，0）一1人IZ，。。。＿，2，。。、＿。。。＿＿。J。（0，0）。，＿＿＿。＿。nn。V。。。＿Vg‘Z（0，0）＋g’2（0，0）学0…     

二元函数条件极（最）值的曲线系解法

二元函数条件极（最）值的曲线系解法４６７２００河南省叶县高中尹建堂在约束条件ｆ（ｘ，ｙ）一０（或ＭＯ、＜二０）下，求二元函数Ｆ（ｘ，ｙ）的极（最）值的最基本方法是，先将该二元函数通过代入消元转化为一元函数ｙ－ｇ（ｘ），然后视其不同形式，采用不同的求极...     

二元函数累次极限的应用

二元函数累次极限的应用陆春辉（蚌埠教育学院）二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在定点（ｘ０，ｙ０）处的二重极限ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）与累次极限ｌｉｍｌｉｍｆ（ｘ，ｙ），Ｈ～ＯＩ”Ｈ０ｙ－ｙｏ，．”，’０ｔｉｍｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）ｌ’ＩＵ的关系是比较复杂的ｃ但有一个定理把...     

一类平面五次系统的极限环

研究了一类生化反应模型得到了极限环不存在或存在唯一的如下条件：１）若Ｐ＜０，则系统（１）存在唯一稳定的极限环．２）若Ｐ≥０．则系统（１）不存在极限环．     

怎样求二元函数的极限

本文将系统介绍求二元函数极限或者判断二元函数极限不存在的方法。一、利用连续函数的定义及初等函数的连续性．如果是的连续点,则有解是初等函数,是它的连续点,所以二、利用极限的性质,如四则运算及央通准则等．夹逼准则,设在的邻域上有,三、转化为含参变量的一元函数极限问题,利用一元函数求极限的方法,有些情况下可以借助于极坐标化为一元函数．四、利用无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量．五、利用基本极限,一元函数中的两个重要极限可以推广为如下的形式：六、消委林子公开中概明＊O的田于七、利用等价无穷小代换．一元函…     

二元函数求极限时常见的几种错误

<正> 同学们在求二元函数极限时,常出现错误。我们将其归纳为以下三种,今写于此,以供参考。I 第一种错误是把沿在平面上过(x_0,y_0)点的射线方向,代替沿任何方向     

数形结合(待续)

数形结合（待续）晨旭（接上期）例１０（１９９０年理科）设函数ｙ＝ａｒｃｔｇｘ的图象沿ｘ轴正方向平移２个单位所得到的图象是Ｃ，又设图象Ｃ＇与Ｃ关于原点对称，那么Ｃ＇的对应函数分析：与图象Ｃ对应的函数是Ｃ＇与Ｃ关于原点对称，所以，与Ｃ’对应的函数应解选（...     

关于“二元函数求极限时常见的儿种错误”一文的商榷

<正> 工科数学1988年第一期上刊登了孙桂云,万复生合作的“二元函数求极限时常见的几种错误”一文,对于大学生准确地理解二元函数的极限概念及求极限之方法是有裨益的,但在举例阐述笔者认为仍有许多不妥之处,不利于学生去掌握二元(多元)函数极限论的实质,兹提出以下几点供讨论。     

浅谈二重极限与累次极限

在学习二元函数极限的过程中,一般的高等数学教材,只介绍二重极限的概念及求法,即当P(x,y)→P_o(x_o,y_o)时,函数Z=f(x,y)的极限,记作(?)或(?).但有些初学者会提出这样的问题:若先将y固定,让x→X_0,然后再让y→y_0,这是什么类型的极限呢?与(?)有何区别?下面就这个问题作一点讨论.对任一给定的y(y≠y_o),若极限(?)存在,结果是y的函数,不妨记作v(?)(y)=(?);又假设极限(?)存在,则称A为f(x,y)先对x后对y的累次极限,记作(?).类似地可以定义先对y后对x的累次极限(?).求累次极限,实质上每一次都是先固定一个变量后对另一个变量求极限.二重极限的定义虽然形式上与一元函数极限的定义相似,但它是一元函数极限概念的推广.     

泰勒公式的应用

（一）导教的近似计算与误差分析对于函数y=f（X），当f（X）用表达式给出，并且f’（X）不太复杂时，可以直接用f’（X）的表达式求此函数的导数值。但是在一些工程问题中，函数往往是用表格形式结出的（即所谓离散形式），例如，或者yk=f（xk）易求而f’（xk）不易求，怎样求f’（Xk）的近似值？在以下的讨论中，我们假定y=f（x）在X=X0附近具有适当高阶的连续导数。在学习导数概念时，遇到过三个极限式我们引入三个记号：把西人V人如分别叫做函数人X）在X处的、步长为h的一阶向前差分，一阶向后差分、一阶中心差分。根据极限和无穷小…     

二元函数未定型的定值法

<正> 求二元函数未定型极限一般是很困难的,下面介绍几种方法。1 二元函数的罗必塔法则二元函数的罗必塔法则是一元函数罗必法则的推广。为了得到此法则,首先介绍一个引理。引理(一元函数柯西中值定理的推广).若函数f(x,y)及F(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内连续,且偏导     

二元分式在原点的极限

给出了二元分式在原点是否存在极限的一些判定法.     

二元分式在原点的极限

给出了二元分式在原点是否存在极限的一些判定法.