Elongational behaviour of a low density polyethylene melt

Summary In addition to earlier findings ofMeißner on a low density polyethylene that in the linear range of deformation the time-dependent elongational viscosity is three times the shear viscosity the validity of the relationship could be demonstrated where and describe the compliances in elongation and shear, respectively. In the nonlinear rangeJ(t) was found to increase with stress whereasD(t) decreases. The nonlinear viscosity-time behaviour is different in shear and elongation, too. The shear viscosity obtained by relating the stress to the rate of viscous strain decreases with shear from the zero shear viscosity to its steady-state value. The elongational viscosity goes up with time from 3 ₀ to a higher steady-state value.The temperature dependence which was determined by measuring the steady-state elongational viscosities at different constant stresses as a function of temperature and by shifting the tensile creep compliancesD(t) measured at constant stress with respect to time, was found to be exactly the same as in shear. This result could indirectly be verified by some constant stretching rate tests. It was shown experimentally that the recoverable strain in the steady-state is independent of temperature if measured at constant stress.

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Zusammenfassung In Ergänzung früherer Ergebnisse vonMeißner an einem Polyäthylen niedriger Dichte, die im linearen Bereich der Verformung für die zeitabhängige Dehnviskosität das Dreifache der Scherviskosität ergaben, konnte die Gültigkeit der Beziehung gezeigt werden. und sind die Nachgiebigkeiten in Dehnung und Scherung. Im nichtlinearen Bereich steigtJ(t) mit zunehmender Spannung an, währendD(t) abfällt. Die Zeitabhängigkeit der Viskosität, definiert als der Quotient aus Spannung und Geschwindigkeit des viskosen Deformationsanteils, ist in Scherung und Dehnung ebenfalls unterschiedlich. Die Scherviskosität fällt von dem Wert der Nullviskosität ₀ mit wachsender Scherung auf einen stationären Wert ab, die Dehnviskosität dagegen steigt von 3 ₀ auf einen höheren stationären Wert an.Die Temperaturabhängigkeit wurde aus Messungen des stationären Wertes der Dehnviskosität bei konstantgehaltener Zugspannung und aus einer Verschiebung der bei unterschiedlichen Temperaturen, aber konstanten Spannungen gemessenen Nachgiebigkeiten in bezug auf die Zeit bestimmt. Sie ist dieselbe wie in Scherung. Dieses Ergebnis konnte indirekt durch Messungen mit konstanter Dehngeschwindigkeit bestätigt werden. Die reversible Dehnung im stationären Zustand wurde bei konstanter Zugspannung als von der Temperatur unabhängig gefunden.

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With 17 figures     

Ermittlung des dehnrheologischen Verhaltens thermoplastischer Kautschuke

Zusammenfassung Mit Hilfe eines einfachen Dehnrheometers wurden Dehnfließversuche mit thermoplastischen Kautschukblends (Ibuflex-SEH und Santoprene) durchgeführt. Die auf diese Weise erhaltenen Dehnviskositätsdaten wurden mit den von kautschukmodifizierten Thermoplasten (PVC, PE und PS) verglichen. Nach der Anlaufphase zeigt Ibuflex-SEH ein stationäres Fließverhalten, während die Dehnviskosität von Santoprene als Funktion der Zeit monoton ansteigt, ohne einen stationären Zustand zu erreichen. Die Ursachen des Unterschieds im Fließverhalten der untersuchten Polymermaterialien wurden diskutiert.

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Extensional flow experiments were carried out on a simple extensional rheometer with the thermoplastic elastomer blends: Ibuflex-SEH and Santoprene. The extensional viscosity data obtained were comparable with those of elastomer modified PVC, PE and PS. After the transient stage Ibuflex-SEH shows a steady-state flow behaviour, whereas the extensional viscosity of Santoprene as a function of time increases monotonically without reaching a stationary state. The causes for these differences were discussed.

Erweiterte Fassung eines Vortrags anläßlich der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft vom 13.–15. Mai 1985 in Berlin     

Elongational behaviour of polymer melts in constant elongation-rate,constant tensile stress,and constant tensile force experiments

Summary The extensibility of polymer melts is of great practical importance for polymer processing. On the basis of a single-integral constitutive equation with a straindepent memory functional verified for two similar well-characterized LDPE melts, predictions are made on material behaviour in uniaxial extension under constant strain-rate, tensile stress, and tensile force conditions. It is found that experiments at constant tensile force are more adequately described by assuming purely viscous response of the polymer melts than by assuming Maxwell-model type of behaviour.

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Zusammenfassung Die Ausziehfähigkeit von Polymer-Schmelzen ist von großer Bedeutung für viele Prozesse der Kunststoffverarbeitung. Ausgehend von einer Zustandsgleichung vom Integraltyp mit einem deformationsabhängigen Gedächtnisfunktional, deren Gültigkeit für zwei ähnliche wohldefinierte Polyäthylen-Schmelzen niedriger Dichte nachgewiesen werden konnte, werden Aussagen gemacht über das Materialverhalten bei uniaxialer Dehnung. Dabei werden die folgenden Fälle betrachtet: Versuche bei konstanter Dehngeschwindigkeit, konstanter Zugspannung und konstanter Zugkraft. Es zeigt sich, daß Experimente bei konstanter Zugkraft besser beschrieben werden, wenn man ein rein viskoses Verhalten der Polymer-Schmelzen voraussetzt, als wenn man die Gültigkeit eines Maxwell-Modells annimmt.

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Paper presented at the Conference on Chemical Engineering Rheology, Annual Meeting of the Deutsche Rheologische Gesellschaft in Aachen, March 5–7, 1979.

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With 11 figures     

Tensile properties of an extruded polyethylene-melt

Summary Isothermal continuous stretching experiments with a Rheotens apparatus were carried out on an extruded polyethylene melt. Measurements of the tensile force, the thread velocity and the thread profiles for various mass flow rates resulted in the determination of the elongational viscosity as a function of the strain rate and the deformation time. It was found that the deformation time is a more suitable general parameter than the strain rate for the characterization of the elongational viscosity of extruded polymer melts.

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Zusammenfassung Experimente zum isothermen Schmelzspinnen wurden mit dem Rheotens an einer extrudierten Polyäthylenschmelze durchgeführt.Messungen von Abzugskraft, Abzugsgeschwindigkeit und Querschnittsprofil des extrudierten Stranges bei variierenden Ausstößen führten zur Bestimmung der Dehnviskosität als Funktion von Dehngeschwindigkeit und Deformationszeit. Es konnte nachgewiesen werden, daß die Deformationszeit besser als die Dehngeschwindigkeit zur Charakterisierung der Dehnviskosität von extrudierten Schmelzen geeignet ist.

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Vortrag, gehalten auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e.V., Universität Dortmund, 9. bis 11. März 1977.

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With 8 figures     

Die Dehnviskosität des Polypropylens

Zusammenfassung Es wurden die Dehnviskositäten von Polypropylen-Schmelzen bei 180°C im Dehngeschwindigkeitsbereich 0,02 bis 1,0 s^–1 gemessen. Dabei wurden Proben von drei verschiedenen Herstellern und mit sehr verschiedenen Molmassen untersucht. Sämtliche Proben zeigten einen monotonen Anstieg der Dehnviskosität mit der Zeit. Die durch Extrapolation gewonnenen Gleichgewichts-Dehnviskositäten betrugen in allen Fällen das Dreifache der Null-Scherviskositäten. In keinem einzigen Fall konnte eine Dehnverfestigung der Schmelzen beobachtet werden. Nur bei unvollständig aufgeschmolzenen Proben (168°C Meßtemperatur) ergab sich der triviale Fall einer Dehnverfestigung als Folge der Dehnkristallisation. Kontrollmessungen an verzweigtem Polyethylen (bei 150°C) ergaben die erwartete Dehnverfestigung, während diese, ebenfalls erwartet, bei linearem Polyethylen ausblieb.

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The elongational viscosities of polypropylene melts were measured at 180°C with different elongation rates between 0.02 and 1.0 s^–1 respectively. Samples were studied from three different manufacturers and some having markedly different molecular masses. All samples showed a monotonic rise of the elongational viscosity with time. The extrapolated steady-state elongational viscosities were always three times the values of the corresponding zero-shear viscosities. In no case strain hardening could be observed. Only incompletely molten samples (temperature of measurement 168°C) showed a kind of strain hardening as a consequence of strain crystallization. Control measurements with branced polyethylene at 150°C showed the expected strain hardening while this, also expected, was not observed in the case of linear polyethylene.

Herrn Professor Dr. Rolf Sammet zum 65. Geburtstag gewidmet     

Uniaxial extension of polystyrene at true constant stress

Summary An apparatus for extension of polymers in the fluid and high-elastic states under constant true stresses is described.Determinations are made of the total, high-elastic and flow deformations and their rates in the course of extension of polystyrene having a viscosity-average molecular weight of 3 X 10⁵ at 130 °C under various constant true stresses. The stress relaxation and elastic recoil after the cessation of extension are investigated at various values of deformation. Refore the steadystate flow is attained the viscosity and relaxation characteristics of polystyrene passes through a maximum. As was to be expected, the values of longitudinal viscosity under steady flow conditions correspond to the viscosity values determined during the extension at a constant deformation rate.

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Zusammenfassung Es wird eine Anlage zum Strecken von Polymeren im flüssigen und hochelastischen Zustand bei konstanten effektiven Spannungen beschrieben.Es wurden die Veränderungen der allgemeinen, hochelastischen und irreversiblen Deformation sowie deren Geschwindigkeiten während des Streckprozesses von Polystyrol mit einem Viskositätsmittel des Molekulargewichtes von 3 · 10⁵ bei 130 °C und unterschiedlichen konstanten effektiven Spannungen bestimmt. Untersucht wurden die Spannungsrelaxation und Rückbildung nach Abschluß des Streckprozesses bei verschiedenen Deformationswerten. Bis zur Erreichung einer konstanten Strömung verlaufen die Viskositätsund Relaxationscharakteristiken des Polystyrols in Abhängigkeit von der Deformation über ein Maximum. Die erhaltenen Längsviskositätswerte entsprechen bei konstanter Strömung den Viskositätswerten, die beim Strecken mit konstanter Deformationsgeschwindigkeit bestimmt wurden.

     

Response of bulk polymer under motion with constant stretch histories

Summary An experimental investigation of the behavior of a polymer specimen for a constant stretch history has been conducted for both strip biaxial extensional flow and simple extensional flow. It had been shown previously that the stress functional of a non-Newtonian fluid under motion with constant stretch history reduces to a function of the threeRivlin-Ericksen tensors. Here it is shown that the second order approximation of a simple fluid is not capable of describing the steady-state viscosity in both types of flow under very slow motion. By considering higher orders, however, one may obtain the material constants necessary to describe steady-state non-Newtonian viscosity for both strip biaxial extensional flow and simple extension flow.Steady-state viscosities have been determined at various constant stretch histories using undiluted polyisobutylene.Newtonian viscosity in pure shear flow and simple extensional flow are also compared. To describe the transient state, a new model is used to incorporate elastic behavior into the theory.

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Zusammenfassung Eine experimentelle Untersuchung des Verhaltens einer Polymerprobe unter konstanter Dehnungsgeschwindigkeit wurde für ein- und zweiachsige Beanspruchung durchgeführt. Es wurde früher gezeigt, daß das Spannungsfunktional einer nicht-Newtonschen Flüssigkeit unter konstanter Dehnung auf eine Funktion von dreiRivlin-Ericksen-Tensoren reduziert werden kann. Hier wird gezeigt, daß die Näherung zweiter Ordnung für eine einfache Flüssigkeit nicht fähig ist, die stationäre Viskosität in diesen beiden Verformungstypen mit sehr langsamer Bewegung zu beschreiben. Unter Berücksichtigung der Glieder höherer Ordnung kann man jedoch die zur Beschreibung der stationären nicht-Newtonschen Viskosität nötigen Materialkonstanten für beide Verformungsarten erhalten.Stationäre Viskositäten wurden für einige konstante Dehngeschwindigkeiten an unverdünntem Polyisobutylen bestimmt.Newtonsche Viskosität bei reiner Schubverformung und einfacher Dehnströmung wird auch verglichen. Ein neues Modell wird für die Beschreibung des nicht-stationären Zustandes benötigt, um elastisches Verhalten in die Theorie einzubeziehen.

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This paper represents one phase of research performed by the Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology sponsored by the National Aeronautics and Space Administration, Contract NAS7-100.

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With 12 figures     

Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens von Kunststoffen unter Belastung mit konstanter Dehngeschwindigkeit

Zusammenfassung Für die mathematische Beschreibung des viskoelastischen Verhaltens von Kunststoffen unter Dehnung mit konstanter Dehngeschwindigkeit führt eine Prony-Dirichlet-Reihe zu guten Ergebnissen. Erfaßt man die Abhängigkeit der Parameter dieser Reihe von der Dehngeschwindigkeit bzw. der Versuchsdauer, so kann das nichtlineare viskoelastische Verhalten des Werkstoffes in einer relativ breiten Spanne von Dehngeschwindigkeiten, wie es Beispiele zeigen, mit sehr guter Genauigkeit wiedergegeben werden.

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Summary A good mathematical representation of the viscoelastic behaviour of plastics under constant strain rate tension is obtained by using a Prony-Dirichlet series. If the dependence of the parameters of the series from the strain rate an the duration of the test is established, then the nonlinear viscoelastic behaviour of the material can be described with a good accuracy in a relatively wide range of strain rates, as shown in some examples.

Mit 5 Abbildungen und 1 Tabelle     

Linear viscoelastic theory and the understanding of orientation,recoverable strain and mechanical properties resulting from thermoplastic processing

Summary The concept of recoverable strain is discussed and measured in connection with extrusion, injection molding and uniaxial tensile deformations at constant jaw speed. The data are treated phenomenologically according to the theory of linear viscoelasticity with a subsequent non-linearization. Recoverable strain for the case of extrusion is given in terms of the shear rate and capillary dimensions together with a knowledge of independently determined material parameters. Estimates of the high shear rate values of the equilibrium elastic compliance,J _e , are given.

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Zusammenfassung Das Konzept der elastischen Dehnung wird diskutiert, und diesbezügliche Messungen werden in Verbindung mit Extrusion, Spritzgießen und einachsiger Verstreckung bei konstanter Verstreckgeschwindigkeit durchgeführt. Die Ergebnisse werden phänomenologisch diskutiert unter Anwendung der Theorie der linearen Viskoelastizität und nachfolgender Nicht-Linearisierung. Die elastische Dehnung bei der Extrusion wird in Abhängigkeit von der Schergeschwindigkeit und den Kapillardimensionen, sowie von einigen unabhängig bestimmten Materialparametern angegeben. Schätzwerte der GleichgewichtskomplianzJ _e für hohe Schergeschwindigkeiten werden mitgeteilt.

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In partial fulfilment of the Teknisk Licentiate degree.

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With 16 figures and 5 tables     

Rheological properties of wheat flour doughs

Summary Creep and creep recovery tests in simple tension were made on a dough of 45.8% water absorption prepared from a medium strength baking flour. Within the experimental uncertainty, the creep compliance was found to be the same at stresses from about 2 to 3.2 mbar (2000 to 3200 dynes/cm²). Values of the steady-state viscosity and the steady-state compliance derived from the creep data were in close agreement with those from the recovery data; the average values are 1.2 × 10⁸ poise and 2.7 × 10^–5 cm²/dyne. These observations show that the dough exhibited linear viscoelastic behavior. They also indicate that no structural changes are produced by stress, over the covered range, and thus that the dough does not behave like a material crosslinked by covalent bonds.

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Zusammenfassung Kriech- und Kriech-Erholungsversuche wurden durch einfache Dehnung an einem Teig mit 45,8% Wasserabsorption durchgeführt, der aus einem Backmehl mittlerer Stärke hergestellt wurde. Innerhalb der experimentellen Genauigkeit war die Kriechkomplianz bei Spannungen zwischen 2000 bis 3200 dyn/cm² gleich. Die aus den Kriechdaten ermittelten stationären Viskositätswerte und die stationäre Komplianz stimmten mit den aus den Erholungsdaten ermittelten Werten gut überein. Die mittleren Werte betragen 1,2 · 10⁸ Poise und 2,7 · 10^–5 cm²/dyn. Die Beobachtungen ergaben, daß der Teig ein linear viskoelastisches Verhalten zeigt. Ebenso zeigen sie, daß durch die Spannung im betrachteten Bereich keine Strukturänderungen hervorgerufen werden. Demnach verhält der Teig sich wie ein vernetztes Material.

     

Zum Einfluß von Füllstoffen auf das rheologische Verhalten von hochmolekularen Polyethylenschmelzen I. Das Fließverhalten in Scher- und Dehnströmungen

Zusammenfassung Das Fließverhalten von Polymersuspensionen in verschiedenen Strömungsformen wird anhand von mit isotropen und anisotropen Partikeln (Glaskugeln bzw. Glasfasern) gefüllten hochmolekularen Schmelzen untersucht. Zur Anwendung kommen dabei sowohl lineare als auch verzweigte Polymere, nämlich Polyethylene mit hoher Dichte (HDPE) und mit niedriger Dichte (LDPE).Alle untersuchten Systeme zeigen in der Scherströmung im Rotationsrheometer bei Zugabe von Füllstoff eine Verringerung der elastischen Eigenschaften. Solches Verhalten ist für Suspensionen isotroper Teilchen zu erwarten, bei Fasersuspensionen wird jedoch gewöhnlich ein verstärktes Anwachsen der ersten Normalspannungsdifferenz mit zunehmender Füllung gefunden. Bei höheren Schergeschwindigkeiten (Messungen im Kapillarviskosimeter) wird die durch die Füllstoffe bewirkte Viskositätserhöhung zunehmend geringer, die Suspensionen verhalten sich also mit zunehmendem Füllgrad stärker scherentzähend. Das Einsetzen der für das lineare HDPE typischen Instabilitäten (stick-slip, Wandgleiten) läßt sich durch den Ersatz von (elastischem) Polymer durch (starre) Kugeln nicht beeinflussen, diese Form des Schmelzenbruchs setzt bei gleichen Schubspannungen ein und ist so wegen der höheren Viskosität der Suspension sogar zu niedrigeren Durchsätzen hin verschoben.Um die Lücke zwischen den Messungen im Rotations- und im Kapillarviskosimeter (niedrige bzw. hohe Schergeschwindigkeiten) zu schließen, wurden Experimente bei oszillatorischer Scherbeanspruchung durchgeführt. Die bekannte Cox-Merz-Beziehung vermag das Verhalten der ungefüllten Schmelzen zwar recht gut zu beschreiben, versagt jedoch bei den Suspensionen gerade im Bereich niedriger Schergeschwindigkeiten, ebenso wie andere vorgeschlagene Korrelationen zwischen dynamischen und stationären Kenngrößen.Zur Bestimmung des Materialverhaltens bei uniaxialer Dehnbeanspruchung wurde ein Rotationsrheometer in geeigneter Weise modifiziert, so daß für die verwendeten sehr hochviskosen Stoffsysteme eine Messung möglich wurde. Die verschiedenen reinen Schmelzen zeigen ein wenig unterschiedliches Dehnverhalten mit ausgeprägten Verfestigungserscheinungen. Eine stationäre Dehnviskosität konnte in keinem Fall gemessen werden. Die Zugabe von Glaskugeln ändert die Dehnviskosität nicht wesentlich, der Zusatz von Glasfasern jedoch bewirkt eine merkliche Erhöhung der instationären Dehnviskosität im Anlaufbereich.

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The flow behaviour of suspensions is examined in different flow geometries using linear and branched high-molecular-weight polyethylene melts as suspension media containing isotropic (glass beads) and anisotropic (glass fibre) particles.In shear flow in a rotational rheometer, all suspensions show a decrease of the elastic properties with increasing filler content. While this behaviour has to be expected with suspensions of isotropic particles, fibre-filled polymer fluids usually show increasing normal stress differences with increasing fibre content. At higher shear rates (in a capillary viscometer) the particle-induced viscosity increase deminishes, hence the suspensions tend to be more shear thinning with increased filler content.The onset point of instabilities typically found with the linear HDPE is not shifted towards higher volumetric flow rates by replacement of elastic polymer by inelastic fillers as might be expected; on the contrary, the so-called stick-slip behaviour is initiated at constant values of shear stress and hence — because of the higher viscosity of the suspensions — at lower flow rates.Additionally, experiments were carried out with oscillating shear strain. Neither the well-known Cox-Merz relation nor similar relations, discussed in the literature, could properly correlate oscillatory and steady-state fluid behaviour of the suspensions, especially in the low shear rate range, whereas the former worked rather well for the unfilled melts.To allow for measurements of extensional properties, a rotational rheometer was slightly modified, thus being capable of determining the extensional viscosity of highly viscous polymeric materials. The pure melts showed only a slightly different behaviour with pronounced strain hardening. No stationary values of the Trouton viscosity could be obtained. While addition of glass beads was of little influence on material behaviour, addition of glass fibres showed remarkable increase of the extensional viscosity in the start-up region.

Erster Teil einer vom Fachbereich Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation     

Das Verhalten eines elastischen Trägers mit nichtlinearen Randbedingungen bei Durchgang durch die Resonanz

Übersicht Es wird der Resonanzdurchgang der Schwingungen eines elastischen Trägers untersucht. Der Träger besitzt zwei elastische Auflager mit nichtlinearer Kennlinie und steht unter der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft mit konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz. Die Ergebnisse lassen zugleich auch das Verhalten dieses Systems im stationären Zustand erkennen.

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Summary The vibrations of an elastic beam passing trough the resonance frequency are investigated. The beam ist subjected to periodic forces with constant amplitude and varying frequency. The two bearings at the ends of the beam are assumed to be elastic with a nonlinear displacement characteristic. Some of the results indicate the properties of the system in the case of stationary vibrations.

     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

Forced convection heat transfer to an elastic fluid of constant viscosity flowing through a channel filled with a Brinkman-Darcy porous medium

An analysis is presented of fully developed flow and heat transfer in a channel confined by two parallel walls subjected to uniform heat flux in a highly porous medium saturated with an elastic fluid of constant viscosity. The Brinkman-extended Darcy model is used for studying the effect of the boundary viscous frictional drag on the heat transfer characteristics. The approximate integral method is employed to obtain a solution.

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Wärmeübergang bei Zwangskonvektion an ein elastisches Fluid konstanter Zähigkeit, das durch einen, von einem porösem Medium mit Brinkman-Darcy Charakteristik ausgefüllten Kanal fließt

Zusammenfassung Die Untersuchung bezieht sich auf die voll ausgebildete Strömung und den Wärmeübergang in einem von zwei parallelen Wänden begrenzten Kanal bei konstantem Wärmefluß am Rande. Der Kanalraum wird von einem hochporösem Medium ausgefüllt, das mit einem elastischen Fluid konstanter Zähigkeit getränkt ist. Der Einfluß des Reibungswiderstandes an den Kanalgrenzen auf das Wärmeübertragungsverhalten wird mit Hilfe des von Brinkman erweiterten Darcy-Transportgesetzes ermittelt. Die Lösung erfolgte unter Anwendung eines näherungsweisen gültigen Integralverfahrens.

     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

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Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

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Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

Zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeit der reibungs- und relaxationsfreien thermochemischen Gasströmung durch Rohr und Düse

Zusammenfassung Die kritische Geschwindigkeit der Rohr- bzw. Düsenströmung eines chemisch veränderlichen Gasgemisches wird unter den Annahmen des permanenten chemischen Gleichgewichts, der Reibungslosigkeit und stationärer Verhältnisse nach der Stromfadentheorie berechnet und mit der Schallgeschwindigkeit verglichen. Es zeigt sich, daß die kritischen Geschwindigkeiten mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit niederfrequenter Schallwellen über-einstimmen, in denen das chemische Gleichgewicht der Zustandsänderung ohne Verzögerung folgt.Die Rechnung wird am Beispiel der Strömung von CO₂ bei 2000° K und l Atm. unter Dissoziation in CO und O₂ erläutert. Hierbei ist die Schallgeschwindigkeit bei konstanter chemischer Zusammensetzung um etwa 0,5% höher als die kritische Strömungsgeschwindigkeit, was man mit dem höheren Wert der spezifischen Wärmen im Falle des Dissoziationsgleichgewichts erklären kann.     

Formulierung des mechanischen Werkstoffverhaltens bei zeitabhängiger Spannung-Verformung-Beziehung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Rechenverfahren untersucht, mit deren Hilfe das mechanische Verhalten nichtlinearer viskoelastischer Werkstoffe bei unterschiedlicher Beanspruchungsart beschrieben werden kann.Da der einachsige isotherme Kriechversuch am einfachsten Auskunft über das zeitabhängige Werkstoffverhalten gibt, sind mehrere empirische Kriechgesetze angegeben. Eine zweckmäßige Funktion für Kurzzeitbeanspruchung ist der multiplikative Potenzansatz nachNutting. Zur Verringerung des experimentellen Aufwands werden unter Verwendung verschiedener Annahmen die Ergebnisse unterschiedlicher Belastungsgeschichten denen des Kriechversuchs mit konstanter Spannung zugeordnet.Unter der Voraussetzung der Existenz einer mechanischen Zustandsgleichung wird nachgewiesen, daß die meisten empirischen Kriechgesetze zu einer allgemeinen Zustandsgleichung führen. Die Übereinstimmung zwischen der Rechnung nach dieser Gleichung und den Ergebnissen aus Zugversuchen mit konstanter Dehngeschwindigkeit läßt die Existenz einer mechanischen Zustandsgleichung auch für die untersuchte Gruppe von Werkstoffen vermuten, allerdings nur für Sonderfälle der Beanspruchung.Der Vergleich einiger Kriechhypothesen für variable Belastungsgeschichte zeigt, daß eine nichtlineare Erinnerungsfunktion das zeitabhängige Verhalten nichtlinearer viskoelastischer Polymere bei Kurzzeitbeanspruchung richtig wiedergibt. Damit und im Vergleich mit Meßergebnissen ist eine geschlossene Darstellung des Werkstoffverhaltens bei unterschiedlicher Beanspruchungsart erreicht worden.Eine Methode zur Vorhersage nichtlinearer Spannungsrelaxation aus den Ergebnissen einachsiger Kriechversuche mit jeweils konstanter Spannung wird angegeben. Bei Verwendung der Zeitverfestigungshypothese und einer Näherungsfunktion kann das Relaxationsverhalten auch bei mehrstufiger Dehnungsgeschichte in guter Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen beschrieben werden.Über die Theorie des plastischen Potentials können empirische Kriechgesetze für den mehrachsigen Spannungszustand verallgemeinert werden. Die sich daraus ergebenden Beziehungen werden zur Berechnung des Kriechverhaltens bei kombinierter Zug-Torsions-Beanspruchung mit spontaner Spannungsänderung verwendet.Keine der untersuchten Kriechtheorien beschreibt das Werkstoffverhalten vollständig. Schon im Zustand mechanischer Stabilität werden unterschiedliche Rechenverfahren benötigt. Jedoch hat dieses Konzept den Vorteil, daß allein die Ergebnisse einer Beanspruchungsart in Verbindung mit einfachen Näherungsmethoden genügen, um das Werkstoffverhalten in anderen Beanspruchungssituationen zu berechnen.

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Summary In this paper calculation procedures are investigated in order to formulate the mechanical behaviour of nonlinear viscoelastic materials at different loading history.Isothermal creep under constant uniaxial stress is the easiest way of gathering relevant data of time-dependent materials. Therefore various empirical expressions for creep are presented. A useful function for short loading times is theNutting equation. As it is desirable that other loading forms are related to this test some alternative theories are employed.Assuming the existence of a mechanical equation of state it is proved that a general equation can be derived from most of the empirical creep laws. The agreement between the prediction of this equation and the tension test data at different strain-rate lends support to the existence of a mechanical equation of state also for this group of materials, but only for a special case of loading form.A comparison of some creep theories for variable stress indicates that a nonlinear hereditary function represents the memory dependent behaviour in the short time range. A close agreement between the experimental response to different loading histories and the response predicted by the hereditary representation is found.A method is described for predicting nonlinear stress relaxation from nonlinear creep data under constant uniaxial stress. This method utilizes the time hardening theory and as a first approximation an inversion of the function describing creep at constant stress. Using this concept and the hereditary representation the behaviour during a multistep strain history is computed and found to be in good agreement with relaxation data.By employing a yield criterion based on the plastic potential uniaxial creep laws may be generalized to represent creep under combined stress. The relations deduced are applied to predicted creep behaviour in combined tension-torsion loading with abrupt changes in stress.For variable loading history none of the theories which have been described is totally satisfactory. In the absence of thermal softening and structural changes the results indicate that different calculation procedures are necessary to compute the mechanical behaviour of nonlinear viscoelastic materials But this concept has the advantage that the results from one test form and simple curve fitting technique alone are sufficient to formulate the behaviour of a material under another situation where the stress or strain are different.

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Vortrag, gehalten auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.

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Mit 13 Abbildungen und 2 Tabellen     

Untersuchungen zur Dynamik von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen

Übersicht Es werden Methoden entwickelt, mit deren Hilfe man das dynamische Verhalten von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen untersuchen kann. Ausgehend von einer Analyse des Fahrzeugs, der Magnetstellglieder und des Fahrwegs wird in systematischer Weise das mathematische Modell des Gesamtsystems aufgebaut. Es ergeben sich lineare Zustandsgleichungen mit periodisch zeitvariablen Koeffizienten und springenden Zustandsgrößen. Sie bilden die Grundlage für die Berechnung der Stabilitätsbedingungen und der stationären Lösung sowie für eine numerische Simulation. Die Leistungsfähigkeit der Methoden wird anhand eines Beispiels demonstriert.

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Summary Methods are developed to investigate the dynamical behaviour of magnetically levitated vehicles on flexible guideways. Starting with the analysis of vehicle, suspension and guideway the mathematical model of the closed-loop system is obtained in a systematic way. The results are linear state equations with periodically time-varying coefficients and jumping states. They underlie the evaluation of stability conditions and steady-state responses as well as numerical simulation procedures. The efficiency of the methods is demonstrated by an example.

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Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Bundesministeriums für Forschung und Technologie gefördert.     

Measurements in a natural convection loop

Fluid temperature measurements are reported for a natural convection loop operating in the steady state regime. Averaged and fluctuating measurements were made for a toroidal thermosyphon oriented in the vertical plane that was heated over the lower half and cooled over the upper half. The measurements were made along the tube diameter at the entrance and exit of the heating sections for heat inputs from 1400 to 8410 w/m². The amplitude of the temperature fluctuations exceeded 10 °C near the inner walls indicating the effects from recirculating flow regions at the entrances to the heating and cooling sections.

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Messungen in einem Kreislauf mit Naturumlauf

Zusammenfassung Es wird über Messungen der Fluid-Temperatur in einem mit freier Konvektion stationär betriebenen Kreislauf berichtet. Die Messungen wurden bei leichten Fluktuationen an einem toroidalen Thermosyphon mit vertikaler beheizter Platte durchgeführt, bei dem die untere Hälfte beheizt und die obere gekühlt war. Die Temperaturenmessungen wurden über den Rohrdurchmesser am Eintritt und Austritt der beheizten Strecke für Wärmestromdichten von 1400-8410 w/m² durchgeführt. Die Amplituden der Temperaturfluktuationen überstiegen 10 K in der Nähe der inneren Wand und zeigten dabei Rezirkulationseffekte der Strömung am Eintritt des beheizten und des gekühlten Abschnitts an.

     

Stresses in bonded half-plates weakened by a circular hole

Summary The problem is solved by the well established method of using a dislocation distribution on the perimeter of the hole to reduce it to a singular integral equation. Appropriate numerical techniques are applied and accurate evaluation of the stresses can be effected anywhere in the region of the bonded plates. As examples a constant uniaxial tension applied at infinity and an internal pressure within the hole are considered for selected material pairs. For these examples the stresses on the perimeter of the circular hole and on the interface are reported for a range of values for the geometric parameters of the problem.

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Die spannungen in zusammengefügten halbscheiben mit kreisloch

Übersicht Zur Lösung wird eine Versetzungsverteilung auf dem Umfang des Lochs eingeführt, wodurch das Problem auf eine singuläre Integralgleichung zurückgeführt wird. Bei Anwendung geeigneter numerischer Verfahren können genaue Spannungswerte an beliebigen Punkten der verbundenen Scheiben ermittelt werden. Als Anwendungsbeispiele werden die Fälle konstanter einachsiger Zugspannung als Fernfeld sowie von Innendruck im Loch für verschiedene Materialparameter betrachtet. Für eine Reihe geometrischer Parameter des Problems werden die Umfangsspannungen am Loch und die Spannungen in der Verbundfuge angegeben.