谈谈斯坦纳树

谈谈斯坦纳树堵丁柱中国科学院应用数学研究所１０００８０）１费尔马的问题最短网络是项历史悠久的数学课题．它的历史可以追溯到费尔马．１６４０年，费尔马提出如下问题：于平面上给出Ａ，Ｂ，Ｃ三点，求一点Ｓ使距离和ＳＡ＋ＳＢ＋ＳＣ达到最小．该问题引起了许多人的...     

一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

加权斯坦勒尔问题

加权斯坦勒尔问题贝清泉（汕头大学数学系５１５０６３）平面上有三城市Ａ、Ｂ、Ｃ，求点Ｐ的位置以设立公共机场，要使三城市通向机场的公路网之长为极小．这样一个问题导致下述费马问题或称斯坦勒尔问题；即求ΔＡＢＣ所在平面上一点Ｐ，使Ｐ到三顶点距离之和：ＰＡ＋Ｐ...     

费马点到三角形各顶点的距离公式

费马点到三角形各顶点的距离公式０６３３１３河北丰南黑沿子镇中学高庆计到△ＡＢＣ三个顶点距离之和最小的点Ｐ，称为费马点．若ｍａｘ｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝＜１２０°，则Ｐ在△ＡＢＣ内且同各顶点张等角；若ｍａｘ｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝≥１２０°，则Ｐ是其最大角的顶点。本文给出...     

立体几何中最值问题荟萃

立体几何中最值问题是近年来高考的热点 .它涉及的知识面广 ,属灵活性大、综合性强的问题 .为了能使学生全面地、系统地掌握此类问题 ,现将其分为四类进行探究 .以飨大家 .1　最短线长问题1.1　多面体表面上最短线长图 1　例 1图例 1　一只蚂蚁从正三棱锥Ｓ ＡＢＣ形物体的Ａ点出发沿侧面爬行 ,经过棱ＳＢ上一点Ｍ、ＳＣ上一点Ｎ、再爬回到Ａ处 .已知∠ＡＳＢ =4 0° ,ＳＡ =3ｃｍ .求蚂蚁爬行的最短路线长为多少 ?解　沿侧棱ＳＡ剪开 ,将正三棱锥Ｓ ＡＢＣ的侧图 2　例 1解答用图面展开成平面图形ＳＡＢＣＡ′ .如图 2 .由平面几何知识知 ,…     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…     

用割补法求解析几何中图形面积的尝试

解析几何中 ,由于二次曲线的方程皆为二次方程 ,在涉及到与它们有关的面积问题时 ,如果采用常规思路 ,即求边长 ,求高 ,往往运算量较大 .如果运用我们熟知的面积割补法来处理 ,有时会收到事半功倍的效果 .例 1　如果Ｃ是椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1上第一象限内的任一点 ,Ａ ,Ｂ分别是椭圆与ｘ轴 ,ｙ轴正半轴的交点 ,求Ｓ△ＡＢＣ的最大值 .图 1　例 1解答用图简析 :此题有多种解法 ,如因为ＡＢ之长是定值 ,只需求出Ｃ到ＡＢ之距的最大值 ,设出Ｃ的参数坐标 (ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,利用点到直线的距离公式将其转化为一个函数问题 .还可利用…     

与费马问题相关的几何不等式

与费马问题相关的几何不等式续铁权（青岛教育学院数学系）下列问题称为加权责马问题：已知三个正数ａ１ｂ１，ｃ１，在△ＡＢＣ所在平面上求Ｐ点，使ａ１·ＰＡ＋ｂ１·ＰＢ＋ｃ１·ＰＣ最小．如果这样的Ｐ点存在，称之为△ＡＢＣ关于ａ１，ｂ１，ｃ１的费马点，简称费马...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０８１有四个城市处在正方形的四个顶点，求一种方案（或一种网络）联通这些城市，使路程最短．解引理：任意三角形内一点Ｏ，当且仅当∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝１２０°时ＡＯ＋ＢＯ＋ＣＯ达最小．...     

由费马点引出的若干竞赛问题

费马点及其性质如果Ｆ为△ＡＢＣ的费马点,ａ、ｂ、ｃ和Ｓ分别为△ＡＢＣ的三条边长和面积,ＦＡ＝ｘ,ＦＢ＝ｙ,ＦＣ＝ｚ,ｆ＝ｘ＋ｙ＋ｚ（下同）,那么费马点Ｆ有下述性质：定理当△ＡＢＣ的三内角均小于１２０°时,ｆ＝２２ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３Ｓ（１）当△ＡＢ...     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

数学问题解答

20 0 2年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 5 6　正△ＡＢＣ的内切圆圆心为Ｉ,半径为ｒ,在⊙Ｉ内任取一点Ｐ ,设Ｐ点到ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,ｒ3,求证 :以ｒ1 ,ｒ2 ,ｒ3为边可以构成一个三角形 ,且其面积为 34 ｒ2 -ＰＩ2 .(山东枣庄市立新学校　孔令恩　 2 771 0 1 )证明　设正△ＡＢＣ边长为 1 ,则ＩＡ =ＩＢ =ＩＣ=2ｒ =33 ,由Ｓ△ＡＰＢ∶Ｓ△ＣＰＡ =ｒ3∶ｒ2 ,可见ＢＤ∶ＤＣ =ｒ3∶ｒ2 .由ＤＰ∶ＤＡ =Ｓ△ＢＰＣ∶Ｓ△ＡＢＣ =ｒ1 ∶ (ｒ1 +ｒ2+ｒ3) ,可见ＤＰ∶ＰＡ =ｒ1 ∶ (ｒ2 +ｒ3) .分别在△ＢＩＣ…     

研究性学习的一个案例

任务　对如下问题 1图 1　问题 1图问题 1　已知 :(如图1所示 )正三角形ＡＢＣ的边长为 1 0 ,点Ａ在平面α内 ,点Ｂ ,Ｃ与平面α的距离分别是 4 ,2 ;点Ｂ ,Ｃ在平面α的同侧 ,且Ｂ1,Ｃ1分别是Ｂ ,Ｃ在平面α的射影 ,求 :平面ＡＢＣ与平面α所成的角θ .1 .能用几种方法解决这道问题 ?并请你书写解答过程 .2 .请在查阅数学资料的基础上添加或删减原题中的条件 ,改变问题的结论 ,形成新的数学命题 .3.把你所改编的数学问题给出其尽可能多的不同解答 .4 .在你所改编的或解答的数学问题中 ,可以用到哪些基础知识 ?能列出吗 ?(以上作业必须用书面…     

从"费马点"谈起

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出这样-个问题:在已知△ABC所在的平面上求一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小.这个问题中所求的点被人们称为"费马点".类似这样的最值问题令人着迷,催人思考,在平面几何中占居一席之地实施新课改以来,古老的最值问题以崭新的姿态频频出现在各地中考试卷上,笔者以近几年中考数学试题为例,介绍几种不同类型的线段最值问题及解题策略,仅供参考.     

利用圆锥模型解一类直线计数问题

若圆锥ＳＯ的母线与轴所成角为α ,则过Ｓ点且与直线ＳＯ所成角为α的直线都在该圆锥曲面上 ,即过Ｓ点与直线ＳＯ所成角为α的直线的集合是圆锥ＳＯ曲面上的所有母线 .例 1　异面直线ａ ,ｂ ,所成角α =50°,过空间一点Ｐ作直线ｌ,使ｌ与ａ ,ｂ所成角 β都为 30° ,问符合条件的直线有几条 .分析　过Ｐ点分别作直线ＡＢ ,ＣＤ ,使ＡＢ∥ａ ,ＣＤ∥ｂ,则根据等角定理 ,过Ｐ点与ＡＢ ,ＣＤ都成 30°角的直线 ,就是符合条件的直线 ,而过Ｐ点与ＡＢ成 30°角的直线的集合是以Ｐ点为顶点 ,ＡＢ为轴 ,母线与轴夹角为 30°的圆锥曲面上的所有母线 ;…     

浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

错在哪里

学生王灵在做高考仿真模拟训练题时 ,遇到这样一道题 .题目　如图 1 ,已知双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2=1 (ｂ >ａ >0 )的实轴两端点为Ａ ,Ｂ ,若双曲线Ｃ在第一象限图象上存在一点Ｑ (ｘ ,ｙ) ( ｙ≥ｘ) ,使∠ＡＱＢ =6 0° ,求双曲线Ｃ的离心率ｅ的取值范围 .通过分析 ,他给出如下解法 .图 1　题目用图解　由题意知Ａ( -ａ ,0 ) ,Ｂ(ａ ,0 ) .∴ｋＡＱ=ｙｘ +ａ,　ｋＢＱ=ｙｘ -ａ.　ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｋＢＱ-ｋＡＱ1 +ｋＢＱ·ｋＡＱ.又ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｔａｎ6 0°=3,∴ 3=ｙｘ -ａ- ｙｘ +ａ1 + ｙｘ -ａ· ｙｘ +ａ,化简得 3=2ａｙｘ2 + …     

数学问题解答

20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366　如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学　沈建平　 2 1 5 0 0 6)证明　设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△…