三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

还有一种情况

初中《几何》第二册复习参考题六的第2题是;已知△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求角平分线AE的长。教参给出的图形(如图1)和提示:用勾股定理求得BD=9,DC=16,再应用角平分线性质     

对一道初中联赛平面几何题的研究

<正>1992年第九届全国初中联合竞赛试题第二试的第2小题是:题目1如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BAC=∠BED=2∠CED,求证:BD=2CD.这是一道较难的平面几何题,究其原因在于所给的条件不是很容易联系在一起,组委会所提供的证明方法借助于△ABC的外接圆.在对这个题目的证法研究中,我们意外地发现BD=2CD等价的结论:BE=2AE.     

一道课本题目的变式探究

<正>波利亚曾说:"拿一个有意义但又不是复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域."图1引例人教版《数学八年级上册》第50页的例1:如图1:在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC各角的度数.这道题就是一道有意义但不复杂的题,我们可以在各个方面挖掘,把学生引入一个完整的领域.解∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=     

直线与平面平行证明方法探究

<正>立体几何解答题是历年高考必考题型,重在考查空间想象、多角度地发现问题和解决问题的能力,突出发散思维和创新能力.现以2016年山东文科数学18题为例,通过一题多证,探究如下.题目(2016年山东文18题)在如图1所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥BD.(Ⅰ)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;(Ⅱ)已知G、H分别是EC和BF的中点.求证:GH∥平面ABC.解析(Ⅰ)由EF∥BD可知EF与BD     

对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

一道初中数学竞赛题的多种证明和拓展

<正>2015年全国初中数学联赛四川赛区决赛第12题如图1,在等腰三角形ABC中,O为线段AB的中点,线段OC与以AB为直径的☉O交于点D,射线BD交AC于点E,若AE=CD,求证:∠BAC=90°.图1这是一道圆与直线型的综合题,是几何题的压轴题,具有一定的难度,我们深入探究此     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

一道全国初中数学竞赛题的多种证法

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题的第17题是: 　　如图1,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:(1)∠CAD=2∠DBE;(2)AD2-AB2=BD·DC.……     

开拓思维 妙证几何题

人教版初中几何第二册P68的例3:已知:点D、E在△ABC 的边BC上,AB= AC,AD=AE.求证: BD=CE. 教材中给出的证明是: 证明作AF⊥BC,垂足为F,则AF ⊥DE. ∵AB=AC, AD=AE,AF⊥BC, AF⊥DE,     

一道全国初中数学竟赛题的多种证法

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题的第17题是:如图1,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:(1)∠CAD=2∠DBE;(2)AD2-AB2=BD·DC.     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

一道习题的引伸

现行初中《几何》第一册P205第30题:在△ABC中,如果AB=30cm,BC=24cm,CA=27Cm,AE=LF=FB,EG∥FD∥BC,FM∥EN∥AC如图1,求阴影部分三个三角形周长的和(解略) 由此题可引伸出下面儿个命题: 命题1,在△ABC中,AE=EF=FB,     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

一道试题解法的精彩演绎

一、原题呈现例1(1)如图1,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积;(2)如图2,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积;(3)如图3,在四边形ABCD中,若AC=m,BD=n,对角线AC、BD交于O点,它们所成的锐角为β,求四边形ABCD的面积.说明:这是《中学数学》(下)2014年第8期文1给出的一道关于三角函数方面的复习题.评析:本题源自高中课本,主要目的是引导学生经历从特殊到一般的过程去探索并发现三角形的面积公     

以一道习题证明方法的探究

题目(山东教育出版社《九年义务教育四年制初级中学基础训练》几何二册,第3页A组第8题)如图1,已知在△ABC中,AB=AC,F为AC上一点,在BA的延长线上,取AE=AF.     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

从课本中的例题到托勒密定理

九年义务教育三年制初级中学几何第三册例2．如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：AB·AC=AE·AD．连结BE，由△ABE△ADC可证明本题．连结EC，由△ACE△ADB也可以证明本题．由△ABE△ADC，还可以得到由△ACE△ADB，还可以得到由②十①得AB·EC＋AC·BE=AE·BD＋AE·DC=AE（BD＋DC）=AE·BC．对四边形ABEC来说，这正是回内接四边形的托勒囵定理：国内接四边形对角线的积等于两组对边积的和．使我们不能满足的是它是托勒路定理的特殊懂况，一条对两线是圆的直径．对于例2的研究，我们知道，…     

对一道课本习题的思考

《苏科版(义务教育课程标准实验教科书)》八年级上册第40页第16题如下:(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA点E在BC的延长线     

一题多解一例

<正>题目如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC的延长线上,且CD=AB,∠CBD=30°,求证:AC·BD/AB²为定值.该题源自本刊一文,作者用余弦定义与余弦定理巧妙结合的方法来解恰到好处,但显得冗长繁锁.笔者探究的几何解法更为简单,且易为同学们接受,现介绍于后供赏折.为方便起见我们不妨设AC=x,BD=y,