2020年全国高中数学联赛一试A卷压轴题的解法探究

2020年全国高中数学联赛一试(A卷)压轴题(第11题)为:在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C在双曲线xy=1上,满足△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积的最小值.分析1注意到题中有三个未知量(A,B,C的横坐标a,b,c)以及两个等量关系(等腰、直角),所以最自然的想法就是利用两个方程进行消元,将三变量问题转化为单变量问题.不妨设A是直角顶点,考虑到A的特殊性,最终应该是将面积转化为关于a的函数,注意到B和C的地位对称性.     

多步最速下降法

A_1=B_1~TAB_1是对称正定n-1阶阵,b_1是常矢量,r是常数.因而问题(1’)和问题(1)是相同的,但其空间维数较原来低了一维.反复使用这种办法,重复上述手续,可以把问题(1)化成一个一维问题。 又注意到     

关于一类四阶变分不等式问题的C~1-有限元方法

问题(1)(2)反映了在纵向荷载作用下,弹性薄板当“线性化”的平均曲率受一定限制时的平衡问题。在数学形式上,可以看成是与弹塑性扭转相关的二阶变分不等式问题的推广。 注意到K是空间V=H_0~1(Ω)∩H~2(Ω)的闭、凸、非空子集,双线性泛函a(v,w)在     

关于循环级数的特征多项式

对于循环级数的特征多项式,人们似乎未注意到它的唯一性问题,而若是考察其唯一性,便会引出循环级数的许多有趣的性质。定理1 设P(x)=1-a_1x-a_2x~2-……-akx~k,而Q(x)是任何一个次数小于k的多项式,那末     

教室里的数学问题

同学们从上小学(或学前班)的第一天起，便与“教室”结下了不解之缘，直到大学毕业，在教室里一坐就是(至少)16年．天天坐在教室里看书学习，你有没有注意到，在教室这个自然环境里，蕴藏着许多数学问题?     

关于,■,,S_1~2,S_2~2相独立S_1~2证明性的注记

<正> 检验两正态总体的数学期望是否相等(设方差未知,但相等),这是在实际中常常遇到的问题,在诸多的教科书中也讨论了这个问题。众所周知,运用t一统计量就能解决问题。但笔者注意到,在诸多的教科书中,对随机变量     

对一道联考题的思考

近期在互联网上浏览部分重点中学的联考试卷,注意到如下的一道问题及解答:已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:若函数f(x)的定义域为D,对于任意的x1,x2∈D(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.     

非标准形式的指派模型在资源分配问题中的应用

资源平行分配问题就是将数量一定的一种资源(例如原材料、资金、设备、设施、劳力等),恰当地分配给若干使用者或地区,从而使目标函数为最优.许多文献介绍了动态规划方法和匈牙利方法.我们注意到这类问题的特点,给出了一种整数分拆结合非标准形式(人数与任务数不等)的指派模型进行求解的方法.     

一类中值定理双介值问题命题的注记

在中值定理类双介值问题的命题中,很多命题者没有注意到结论的平凡性.文章借助于微分Darboux定理,证明了对应的非平凡问题解的存在性.     

用解析法处理两平面点集的交集问题

在处理直角坐标系xog内的两点集 M=l(x, u)lf(x,妇二0,“A,好日, N二l(x, u)lg(x,妇=0,x〔c好口,的交集问题时,学生往往很容易想到用代数的方法考虑方程组是否有解。注意到在直角坐标系ao’b中,(l)式表示直线,(2)式表示圆面。因此,混合组有解的充要条件为直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离不大于12.(如图2)于是了(x,g)二0.口(x,刃二0,(I)(11)3(厅+5)诉于丰丁姜12在区域才七1(x,刃}x〔A门Cy(B门以内是否有解的问题,要在平面子区域月勺判断一个方程组是否有解,一般来说比在整个平面内判断要困难得多。如能充分注意到两点集从N的几何性…     

一个有趣的发现

在100以内的两位数中,末位为1的数有: 11,21,31,41,51,61,71,81,91共九个,其中21,51,81为合数．注意到合数21和81有如下写法:21=21×10 1,81=23×10 1,由此联想提出问题:形如an=22n 1×10 1(n∈N)的数是否也是合数呢?     

同一问题的三副面孔

在平面几何中,把问题的条件稍加改变, 就能构造出面貌一新的另一问题.反之,只要 留心观察、分析,也容易发现一些问题同出一 辙.注意到这一点,我们很容易将一个问题的 解法迁移到另一个问题之中去. 例1 (第18届普特南数学竞赛,第14 届爱尔兰数学竞赛试题)如图1,AD为 △ABC的高线,P为AD上任意一点,设直 线BP交AC于E,直线CP交AB于F.     

有趣的对应

现行高级中学课本《立体几何》(甲种本)多面角的性质一节中在P133写到: “这里我们注意到,如果使三面角的面(角)与三角形的边对应,三面角的二面角与三角形的内角对应,那末三面角的一些性质与三角形类似。因此,有些三面角的问题常归结为三角形问题来研究。”下面列出这部份一些有趣的对应定理,为节省篇幅,将具证明略去。三角形任意两边的和大于第三边。三角形任意两边的差小于第三边。     

运用导数研究函数单调性要注意的问题

<正>导数作为一种重要的解题工具,在处理高中数学的函数问题中有着不可替代的作用.运用导数探求由含参数的函数f(x)的单调性,求其参数的取值范围这一类问题时,很多同学都很容易忽视以下两项注意而导致解题不严密甚至错误.这给我们敲响了警钟,应引起大家的重视.1.注意到可导函数f(x)在区间I上单调递     

源于基础 开拓思维——一道习题的解法与联想

“解析几何是用代数方法来研究几种问题的一门数学学科.”用代数方法解决几何问题确实方便.但是注意到几何本身的性质,加强数与形的结合,将更有利于解析几何的教与学.高中(解析几何课本)甲种本第126页第24题为:过圆外一点P(a,b),引圆x~2+y~2=R~2的两条切线,求经过两切点的直线方程. 解法(1):设过P点圆的切线方程:     

与直线有关的对称性问题

对称性问题是数学中的一个重要环节，如果我们在审题时能注意到这个方面，对我们下一步解题会有很大的帮助，下面举例加以说明．     

对原始卡鲁扎-克莱因理论的一些意见

本文严谨地探讨了卡鲁扎-克莱因理论的根据,指出:五维空间的形式不能以原来企图用的方法来运用.并解释了原来没有注意到这个问题的原因.     

关于广义线性最小二乘问题的扰动分析

1问题 在应用统计中，常用的参数估计方法之一是广义线性最小二乘min(Cx-y)~TW~+(Cx-y).(1.1)其中C为m×n矩阵，W为m×m对称半正定矩阵，上标+代表Moore-Penrose广义逆Paige~[1]注意到：从统计观点看，W一般未必可逆，且通常具有对称满秩分解W=BB~T，因而，把问题改述为下述形式更合适     

椭圆几何性质教学设计

人们对事物的认识多是从直观到抽象 ,从感性到理性 ,中学生的数学学习过程更是如此 .现行《解析几何》教材对椭圆 (双曲线 )几何性质的编排 ,缺乏感性的铺垫 ,一开始就严格遵循“用方程研究曲线性质”的解析思想 ,这就不太符合学生认知发展的先后顺序 ,学生学起来感到“突然”,不能自然流畅 .从直观和感性的角度入手考虑问题时 ,多数同学首先注意到椭圆的对称性而不是它的范围 ,其次是椭圆的“扁圆”程度 ,最后在位置、大小的比较之下注意到椭圆的范围 .笔者按着这样的认知顺序设计了如下“观察——判断——证明 (或反驳 )、定义”的教学程…     

锥、台体截面面积的一个通式

统编高中数学第二册《空间图形》部分,导出了棱台中截面(与两底等距离的截面)面积公式:S_0=(S′~(1/2) S~(1/2)/2)~2(S_0表示中截面面积,S′、S分别表示上、下两底面面积)。注意到:S_0只与棱台上、下底面积及截面与上、下两底面距离之比有关,而不依赖于台体的高度。对这个问题有兴趣的读者自然会提出这样的问题: (1)截面与上、下两底面的距离比为λ(不一定是中截面)时,其面积“S_0”的表达式怎样? (2)截面分棱台上、下两部分的侧面积