两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)(1)而2004年美国第33届数学奥林匹克试题第5题[2]的证明包含下列不等式(a3 2)(b3 2)(c3 2)≥(a b c)3(2)其中a,b,c∈R .本文对此类不等式进行了统一推广,构造了一个含有三个参数的不等式,并且给出了一些重要应用(推论).定理对于a,b,c∈R ,λ,μ,γ∈R ,n∈R ,则有(1λa3 2n)(1μb3 2n)(1γc3 2n)≥3n2(a b c)3λ μ γ(3)为证明定理需要引用两个引理.引理1对于a,b,c∈R ,n∈R ,有(a3 2n)(b3 2n)(c3 2n)≥3n2(a3/2 b3/2 …     

用初等方法解决一个猜想

文[1]末的猜想1为：若a^n b^n=2，n，b∈R，n∈N，n≥2，则a b≤2，ab≤1．最近，文[2]用导数证明了此猜想成立，并给出了a b及ab的下界，得到命题若a^n b^n=2，a，b∈R，n∈N，n≥2．     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

一道考研题的反思

本文利用二重积分的变量变换和欧拉积分推导了曲面ax2 m+by2n+cz2p=1(m,n,p∈N+,a,b,c0)所围立体的体积公式.     

Banach空间中渐近非扩张映射的不动点迭代

设D是一致凸Banach空间X的非空闭凸子集 ,T∶D→D是渐近非扩张映射且kn ≥ 1 ,∑ ∞n =1(kn- 1 ) <∞ .设T的不动点集F(T) ≠ ,T是全连续的 (X满足Opial条件 ) ,{xn},{yn},{zn}由定义 2给出 ,如果 ∑∞n =1cn <∞ ,∑ ∞n =1c′n <∞ ,∑ ∞n =1c″n <∞ ,且下列条件之一满足 :(i)b″n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈ [0 ,β];bn ∈[0 ,α],αβ β <1 ;(ii)b′n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b″n ∈ [a ,1 ];bn ∈ [0 ,b];(iii)bn ∈[a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈ [a ,1 ],则 {xn},{yn},{zn}强收敛于T的不动点 .( {xn}弱收敛于T的不动点 ) .     

两个数学问题的统一

《数学通报》2 0 0 3年第 5期、第 9期数学问题栏中第 1 4 35题、1 4 54题分别是 :( 1 ) a、b∈ R ,求证aa 3b bb 3a≥ 1 1( 2 ) a、b >0 ,求证aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 2将 2式的结论变形为a2a2 3b2 b2b2 3a2 ≥ 1 3观察不等式 1、3的结构特征 ,可将这两个不等式作出统一的指数推广 .推广　 n∈ N,a、b∈ R ,则　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 4证明　∵　 ( a3 n4 b3 n4) 2 - ( a3 n4) 2=b3 n2 2 a3 n4b3 n4=b3 n4( b3 n4 a3 n4 a3 n4)≥ b3 n4. 33 a3 n4. a3 n4. b3 n4=3an2 . bn4. b3 n4=3an2 bn.∴　 ( a3 n4 …     

关于一个不等式命题

本刊文 [1 ]给出了如下命题 :设 a、b、c∈ R ,n∈ N,则　 anb c bnc a cna b≥ (a b c) n-12 .3n-2 . (1 )但是 ,原文中对此命题的证明是不正确的 .这里 ,我们简捷地证明一个较上述命题更为深刻的结论 .定理　设 a、b、c∈ R ,n≥ 1 ,则　　　 anb c bnc a cna b　　≥     

一个不等式及应用

1．一个不等式 定理1设m、n∈N＊，a、b∈R，则当m、n奇偶性相同，或m、n一奇一偶并a＋b〉0时，总有     

定积分的一个性质在证明不等式中的应用

高等数学中证明不等式的方法很多,本文介绍用读者熟知的定积分的如下性质,证明不等式的一些例子.性质 如果函数f(x),g(x)都在闭区间〔a,b〕上连续,且f(x)≤g(x)(X∈〔a,b〕),则integral from n=a to ∞(f(x)dx)≤integral (?)((x)dx);当且仅当f(x)=g(x)(X∈〔a,b〕)时,等式成立.     

函数y=a/sin n/m x＋b/cos n/m x最小值的初等巧解

文[1]给出了函数y=a/sin n/m x＋b/cos n/m x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,m,n∈N）最小值一种初等解法,本文给出另一种更简巧解,供参考．     

BMO与弱核条件下的Calderón-Zygmund算子交换子的有界性

本文证明了BMO与弱核条件下Calderón-Zygmund奇异积分算子的交换子 [B,T]f=BTf-T(Bf)的L2有界性,这里B ∈BMO,T对增生的b1,b2,满足 T(b1)∈BMO,T*(b2)∈BMO,b2Tb1∈WBP．     

两个三角公式及其证明

利用线性变换思想可证明三角公式：sum from i=0 to ｜n｜-1 （cos（i.（2π）/n）=0,sum from i=0 to ｜n｜-1（sin（i.（2π）/n））=0,n∈Z,n≠0,±1.     

Positive Solution of a Semilinear Elliptic Equation on RN

In this paper, we obtain the existence of positive solution of {-Δu = b(x)(u - λ)^p_+,\qquad x ∈ R^N λ > 0, |∇ u| ∈ L² (R^N),\qquad u ∈ L\frac{2N}{N-2} (R^N) under the assumptions that 1 < p < \frac{N+2}{N-2}, N ≥ 3, b(x) satisfies b(x) ∈ C(R^N), b(x) > 0 in R^N b(x) →_{|x|→∞}b^∞ and b(x) > \frac{4}{p+3}b^∞ for x ∈ R^N     

Universal sums of three quadratic polynomials

Let a,b,c,d,e and f be integers with a≥ c≥ e> 0,b>-a and b≡a(mod 2),d>-c and d≡c(mod 2),f>-e and f≡e(mod 2).Suppose that b≥d if a=c,and d≥f if c=e.When b(a-b),d(c-d) and f(e-f) are not all zero,we prove that if each n∈N={0,1,2,...} can be written as x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2 with x,y,z∈N then the tuple(a,b,c,d,e,f) must be on our list of 473 candidates,and show that 56 of them meet our purpose.When b∈[0,a),d∈[0,c) and f∈[0,e),we investigate the universal tuples(a,b,c,d,e,f) over Z for which any n∈N can be written as x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2 with x,y,z∈Z,and show that there are totally 12,082 such candidates some of which are proved to be universal tuples over Z.For example,we show that any n∈N can be written as x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2 with x,y,z∈Z,and conjecture that each n∈N can be written as x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2 with x,y,z∈N.     

Littlewood-Paley g-函数交换子的加权估计

设g_(φ,b)是Littlewood-Paley g-函数与b生成的交换子,ω∈A_1.证明了若b属于加权BMO空间BMO(ω),则g_(φ,b)是L~p(ω)到L~p(ω~(1-p))(1p∞)有界的;若b属于加权Lipschitz空间Lip_β(ω)(0β1),则g_(φ,b)是L~p(ω)到L~q(ω~(1-q))的有界算子,其中1pq∞,1/q=1/p-β/n.     

Toader型平均与几种经典平均的确界

给出了最佳参数α_1,α_2,α_3,β_1,β_2,β_3∈R,使得双向不等式α_1Q(a,b)+(1-α_1)G(a,b)0且a≠b成立.其中A(a,b)=(a+b)/2,H(a,b)=2ab/(a+b),G(a,b)=(ab)~(1/2),Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),C(a,b)=(a~2+b~2)/(a+b),T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2t+b~2sin~2)~(1/2)tdt分别是两个正数a和b的算术平均,调和平均,几何平均,二次平均,反调和平均和Toader平均.     

One-Sided Integral Approximations of the Generalized Poisson Kernel by Trigonometric Polynomials

We consider the generalized Poisson kernel Π _q,α = cos(απ/2)P + sin(απ/2)Q with q ∈ (?1, 1) and α ∈ ?, which is a linear combination of the Poisson kernel \(P(t) = 1/2 + \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {{q^k}} \cos kt\)and the conjugate Poisson kernel \(Q(t) = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {{q^k}} \sin kt\). The values of the best integral approximation to the kernel Π _q,α from below and from above by trigonometric polynomials of degree not exceeding a given number are found. The corresponding polynomials of the best one-sided approximation are obtained.     

Ginzburg-Landau Vortices in Inhomogeneous Superconductors

We study the vortex convergence for an inhomogeneous Ginzburg-Landau equation, -Δu = ∈^{-2}u(a(x) - |u|²), and prove that the vortices are attracted to the minimum point b of a(x) as ∈ → 0. Moreover, we show that there exists a subsequence ∈ → 0 such that u_∈ converges to u strongly in H¹_{loc}(\overline{Ω} \ {b}).     

局部域上的仿交换算子

本文的主要结果是:当A(ξ,η)满足A0,A1,A2,A3,A4时,则T_b在L~2(K)中有界的充要条件是b∈BMO(K).并用此结果推出带符号b的分数次积分交换子,奇异积分交换子在L~2(K)中有界的充要条件,和带符号b的乘子交换子在L~2(K)中有界的一个充分条件.     

A complete description of convex bodies possessing the Markov property

A necessary and sufficient condition is derived (in terms of supporting functionals) for a closed convex body in a partially ordered Banach space to possess “Markov's property:” ifa < c < b,a ∈ K, b ∈ K, then c ∈ Int K. Our criterion enables us to express certain analytic results in geometrical form.