破解不等式恒成立问题的十大策略

含参不等式恒成立问题一直是每年高考和联赛的热点问题,长盛不衰.由于这类问题常常在知识网络交汇点处设置,渗透着函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等重要数学思想,能有效检测学生对数学思想方法的领悟程度和综合、灵活运用知识的能力.因此,各类考试往往将其作为考查学生分析、解决问题能力和创新意识的重要题型.本文结合典例探讨破解不等式恒成立问题的化归策略及运用技巧,供参考.     

例说函数、方程、不等式思想

<正>"含参一元二次不等式的多种解法"(贵刊2016年12月上第551期(高中)第43页)一文的深入思考,发现其解题的思维本质是函数、方程、不等式思想:"不等式问题可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答;函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题;函     

用函数的观点审视不等式

<正>众所周知,不等式与函数有非常紧密的联系,尤其是对于只含单个变量的不等式来说,我们很容易想到,是否可以借助函数的单调性来解决问题.事实上,函数的性质是多层面的,如函数的值域,单调性,奇偶性,图像等.因此,     

一个不等式的推广研究

不等式作为高中数学的一个重要内容,常常与函数、数列、解析几何等知识综合考查,不仅对学生的基础知识有较高要求,还能体现学生应用意识和创新意识.但就学生熟知的不等式而言,均值不等式与简单的不等式性质远不及考试要求.笔者对一个基本不等式进行推广研究,诠释不等式的内涵价值.     

函数不等式的解题技巧(连堂讲稿)

[复习说明 ]函数不等式既具有函数的抽象性又具有不等式的灵活性 ,对能力和潜能的考查具有独特作用 ,因此倍受命题者青睐 ,近几年高考试题就是很好的例证 .本专题复习的重点是 :函数与不等式的合理转化 ;难点是 :函数性质与不等式性质的综合运用 .[内容提要 ]1 .求解函数型不等式的基本方法 :构造函数、变更主元、特值转化、系数代换、判别式法、单调性及数形结合等 .2 .常用化归方式 :利用条件结合函数性质、不等式性质 ,将问题化归为函数问题或不等式问题 .[范例精选 ]例 1　设 f ( x) =ax2 bx　且1≤ f ( - 1 )≤ 2 ,　 2≤ f ( 1 )≤ …     

高考专题复习系列讲座（4）——不等式

1．考点透视 不等式是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，也是高考的考查重点，不仅考查有关不等式的基本知识、技能和方法，而且注重考查逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力．近几年的高考中，单独考查不等式的试题越来越少，不等式与其他知识的综合交汇题成为热点．从内容上看，选择题和填空题主要考查实数大小的比较、不等式的基本性质、不等式的解法、重要不等式的应用、求含参变量问题中参数的取值范围、求函数的最值等；解答题主要是不等式与函数、数列、三角、向量、解析几何、概率等知识的综合题，考查解不等式、证明不等式的基本方法，讨论含参数的方程与不等式，研究数列的性质或者解决实际应用问题．     

含参不等式恒成立问题的三种解法对比

<正>含参不等式恒成立求参数范围是高考的热点问题,它综合考察函数的导数、函数的最值、函数的图象及不等式等问题,渗透着函数与方程、函数与不等式、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法.对这种问题的求解,同学容易找到求解问题的方法,但稍不注意会将求解过程弄得很烦或很抽象.本文从一     

辅助函数在不等式证明中的应用

将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题.掌握不等式证明的一种函数思想方法,从而提高分析问题与解决问题的能力.     

一道期末试题的背景揭示与破解研究

以拉格朗日乘数法为背景命制的二元最值问题历来是高考和竞赛考查的热点问题.试题一般是函数、方程与不等式知识的综合应用,难度较大.消参减元转化是解决这类问题的基本原则,初等解法可从方程有解,函数最值(三角代换或导数),不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式),几何直观等途径寻找解题突破口,解法灵动多变,妙趣横生.     

例谈不等式恒成立问题的解题策略

<正>在不等式恒成立的条件下求参数范围是历届高考的热点,此类问题重点考查导数的应用,借助导数研究函数的性质,将函数、方程与不等式有机地统一起来,突出转化与化归、分类讨论等思想方法的应用.而"如何构造目标函数"是这类问题的关键,下面结合一道典型试题,谈谈解决问题常用的几种方法.     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.     

不等式的性质和证明

本单元的重点是：实数大小的比较，不等式的基本性质，重要不等式，不等式的证明方法，不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用之中，它是不等式变形的重要依据，不等式的证明是应用化归思想完成从已知到待证结论的一个转化过程，在转化过程中一般要利用不等式的基本性质、重要不等式、函数的单调性等。     

不等式的解法，含绝对值的不等式

1 本单元重、难点分析。解不等式是不等式这一章的重点，也是多年来高考的热点，解不等式的过程实质上是不等式的同解变形过程，把原来比较复杂的不等式（组）转化为与之同解的不等式（组），以达到化简求解的目的．正确地进行同解变形是解不等式（组）的关键，而不等式的性质和各类函数的性质是进行同解变形的主要依据．同解变形的途径通常为：高次不等式转化为低次不等式；分式不等式、超越不等式转化为整式不等式；无理不等式转化为有理不等式；含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式．     

巧“数”“形”切入，妙变式拓展——一道不等式恒成立问题的探究

<正>含参不等式恒成立问题是一类极具综合性与创新性的复杂应用问题,是历年高考数学试题中常见的一类难题,有时以小题形式出现,有时也以解答题形式出现.此类问题合理沟通函数与不等式等相关知识,知识融合性强,背景变化多端,问题创新性强,切入思维多样,能有效考查学生各方面的知识、思想方法与能力,具有较好的选拔性与区分度,倍受命题者青睐.     

不等式恒成立问题

<正>高中数学中恒成立问题是一个广阔的课题,它涉及很多的数学知识和思想方法,从现在高考试题中对恒成立的热点,主要包括以下三种:一、含参立求参数范围问不等式恒成立问题;二、方程恒成立问题;三、函数恒单调问题.1.分离参数此方法适用于不等式中参数和主元可分离的情况,方法要点是:把参数项和主元项分别移到不等号的两边,再转化为函数求最值     

一道高考导数题的思考与探索

函数与导数及其应用在高中数学的学习中占有举足轻重的地位,并且与其他知识点融合性强,近几年的高考中,对函数与导数及其应用的考题屡见不鲜且常考常新,较为全面地考查了数学学科核心素养.含参数的不等式恒成立,求解参数范围,解题的一个基本方法是以函数的视角来考虑与解决问题,本质上是将其转化为函数最值或函数值大小比较的问题.本文以2020年新高考I卷(山东卷)数学第21题为载体,探讨含参不等式恒成立问题中参数范围的常见解题策略.     

不等式

1.本单元重、难点分析本单元的重点:不等关系与不等式的基本性质;一元二次不等式、二元一次不等式(组)的解法及应用;简单的线性规划问题;基本不等式a+b2≥槡ab(a≥0,b≥0).本单元的难点:不等式的基本性质的理解及应用;简单的线性规划问题的求解;基本不等式的灵活应用.     

三、不等式

知识要点］本章内容包括不等式的性质,不等式的解法,不等式的证明,含有绝对值的不等式及不等式的应用．不等式的性质是解不等式与证明不等式的依据,是全章知识的基础,解不等式与证明不等式是全章的重点．解含参数的不等式,需对参数分类讨论;含绝对值的不等式,需去...     

突破参数不等式问题的策略

<正>高考中导数大题往往以含参数的不等式恒成立、有解等形式出现,最终走向求解参数取值范围问题.而其问题核心往往是函数、方程、不等式之间的相互转化^[1],而解决以上问题通常有三种策略,即:"带参讨论"、"参变分离"、"数形结合",这三种策略在解决含参问题中又各自有着不同的优势.本文仅从两道高考试题的三种不同解法出发,阐述总结了"三策     

不等式

1　本单元重、难点分析不等式是研究数学问题的重要工具 ,是培养推理论证能力的重要内容 .它渗透在高中数学的各个部分 ,特别是与函数、数列、复数、三角有着密切的联系 .它又是数学思想的载体 ,突出体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等重要思想 ,因此本单元既是教学重点 ,又是高考的热点 .不等式的六个基本性质定理及四个推论是不等式其它性质的基础 ,又是证明不等式和解不等式的依据 ,因此它是本单元的一个重点 .不等式的证明是本单元的主要内容 ,因此证明不等式的常用方法 (比较法、综合法和分析法 )是本单元的第二个重点 …