一道新定义“进取点”题目的解析与收获

<正>题目(北京市海淀区2023年七年级下学期期末考试第26题)在平面直角坐标系xOy中,对于不重合的两点P(x₁,y₁)和点Q(x₂,y₂),给出如下定义:如果当|x₁|>|x₂|时,有|y₁|≥|y₂|;当|x₁|<|x₂|时,有|y₁|≤|y₂|,则称点P与点Q互为“进取点”.特殊地,|x₁|=|x₂|时,点P与点Q也互为“进取点”.     

对一个折线距离问题的探讨

广东试题设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A,B）为ρ（A,B）=|x₂—y₂-y₁|.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,（1）若点C（x,y）是平面上的点,试证明ρ（A,C）+ρ（C,B）≥ρ（A,B）;（2）在平面.xOy上是否存在点C（x,y）,同时满足①ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）;②ρ（A,C）ρ（C,B）.若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析:（1）由ρ（A,C）=|x-x₁|+|y-y₁|,     

圆锥曲线中一个被忽视的结论及其应用

<正>众所周知,"设而不求"是解决直线与圆锥曲线的位置关系相关问题时十分有效的一种解题策略.设圆锥曲线上的点的坐标A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),联立直线AB与圆锥曲线的方程,利用韦达定理根与系数的关系表示出x₁+x₂,x₁x₂ (y₁+y₂,y₁y₂),这样的解题流程几乎被广大老师和学生视为"天经地义、理所当然".     

习题的探究

<正>题目过抛物线y²=2px,（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y₁,y₂;求证:y₁y₂=-p²,此题是人教社课本高二（上）册P₁₁₉页第7题,本题内涵十分丰富,笔者从以下几方面进行探究与反思.     

一道2019年高中数学联赛预赛题的探究

<正>一、题目呈现(2019年全国高中数学联赛江西省预赛第9题)设椭圆C的两焦点为F₁,F₂,两准线为l₁,l₂,过椭圆上的一点P,作平行于F₁F₂的直线,分别交l₁,l₂于M₁,M₂,直线M₁F₁与M₂F₂交于点Q.证明:P,F₁,Q,F₂四点共圆.二、证法探究证法1设椭圆方程为x²/a²+y₂/b²=1(a> b>0),据对称性知,点Q在y轴上(如图1).记P(x₀,     

一道2019年高考抛物线最值题的探究与变式

<正>一、试题题1 (2019年高考浙江卷21题)如图1,已知点F(1,0)为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积为S₁,S₂.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求S₁/S₂的最小值及此时点G的坐标.     

一道导数模拟题的深入思考与变式

<正>1试题呈现与反思例1 (2023届湖北新高考联考协作体高三起点考试第22题)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x²-1.(1)求证:当a≥1/2时,|f(x)|≤a|g(x)|;(2)已知函数h(x)=|f(x)|-b有3个不同的零点x₁,x₂,x₃(x₁23),     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

聚焦中考二次函数压轴题的定值“情结”

二次函数中考压轴题由于综合性强,难度大,对很多学生来说往往起到区分的作用,常常望而生畏,尤其是一类定值问题的证明,使得学生望而却步,本文对此作一总结,以期对学生的复习备考有所帮助.一、长度定值例1（2013年湖北荆门卷）如图1,已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图像与关于x的一次函数y=kx+1的图像交于两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）（x₁2）.（1）当k=1,m=0、1时,求AB的长;     

自相似集的球密度性质

本文讨论利用上、下球密度计算自相似集的Hausdorff中心测度与填充测度的问题.设E是满足强分离条件的自相似集,s为其Hausdorff维数,μ为定义于E上的自相似测度,则有如下结论:(1)如果存在x₀∈E,使得x₀关于μ的上球密度■(μ,x₀)=■,则对μ-几乎所有x∈E,有■(μ,x)≥■;(2)如果存在y₀∈E,使得y₀关于μ的下球密度■(μ,y₀)=■,则对μ-几乎所有y∈E,有■(μ,g)≤■.运用这一结论,对自相似集的测度计算问题进行了讨论.     

摭谈“点差法”在解析几何中的应用

<正>关于圆锥曲线的中点弦问题,通常采用方程思想,通过联立直线和圆锥曲线的方程,并借助于判别式、韦达定理、中点坐标公式来进行运算,但由于这种解法计算量较大并不受学生欢迎."点差法"是一条可选择的有效路径,何为点差法?设直线l与圆锥曲线C的两个交点分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),把这两点坐标代入圆锥曲线的方程后对所得到的两式进行作差处理,于是可得到一个与弦AB的中点和斜率有关     

二次曲线中极点与极线性质的初等证法

<正>一、问题提出大约自2010年起,在全国各地高考与模考的解析几何试题中,许多题目都蕴含高等几何中"极点与极线"背景.从研究角度讲,这类问题的解决将涉及下面的背景问题:如图1,点P(x₀,y₀)不在二次曲线Γ:F(x,y)=0上,其中F(x,y)=ax²+&b;y+cy²+dx+ey+f.经过点P的两条直线分别交曲线Γ于点A,B,     

间断和脉冲激励

本文讨论由于脉冲和间断激励所引起的含有Dirac函数和Heavisde函数微分方程的求解问题。首先,按照微分方程理论,我们建议把方程解表达为x(t)=x₁(t)+x₂(t)H(t-a);然后,利用广义函数性质,导出x₁(t)和x₂(t)方程,通过求解x₁(t)和x₂(t)来得到原来方程解x(t)。最后,对周期脉冲参数激励问题进行了深入讨论。     

对一道重庆预赛试题的深入探究

题目(2018年全国高中数学联赛重庆赛区预赛第9题)设椭圆C的左,右顶点为A(-a,0),B(a,0),过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BQ的斜率分别为k₁,k₂.试证:k₁/k₂为定值,并求此定值(用a的函数表示)在文[1]中,代银老师将结论推广到一般的圆锥曲线,在文[2]中,刘南山老师将焦点F变为在x轴上的任意点.     

回归函数本质解函数综合题

<正>2019年的北京市丰台区初三期末考试中有一道函数综合题,着实难住了一些同学,下面就是这道题:在平面直角坐标系xO y中,抛物线y=ax²+bx+3a过点A (-1,0).(1)求抛物线的对称轴;(2)直线y=x+4与y轴交于点B,与该抛物线对称轴交于点C,如果该抛物线与线段BC有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.此题的第(1)问比较容易,不再赘述.第(2)问的得分率明显降低.在考试后的访谈中,     

以直线参数方程视角审视圆锥曲线中点问题

<正>直线参数方程是高考中的选考内容.我们知道,过点M₀ (x₀,y₀),倾斜角为α的直线l的参数方程可表示为■(t为参数).相对于直线的直角坐标方程,直线的这种形式的参数方程,由于参数的鲜明几何意义,使得在求解圆锥曲线中点有关问题时,有其在探寻思维路径、简化运算过程中的独特作用.有感于此,本文拟从以下三个方面予以概括,以资参考.     

Long Time Asymptotics Behavior of the Focusing Nonlinear Kundu-Eckhaus Equation

The authors study the Cauchy problem for the focusing nonlinear KunduEckhaus(KE for short) equation and construct the long time asymptotic expansion of its solution in fixed space-time cone with C(x₁, x2, v₁, v₂) = {(x, t) ∈ R²: x = x₀ + vt,x₀ ∈ [x₁, x₂], v ∈ [v₁, v₂]}. By using the inverse scattering transform, Riemann-Hilbert approach and ■ steepest descent method, they obtain the lone...     

2023年新高考数学Ⅱ卷第21题的探究

<正>1试题呈现(2023年新高考Ⅱ卷第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为■,离心率为■(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A₁、A₂,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M、N两点,M在第二象限,直线MA₁与直线NA₂交于点P,证明:点P在定直线上．     

对一道高考解析几何试题的推广与探索

<正>1问题的提出(2019年浙江省数学高考试题第21题)如图1,已知点F (1,0)为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧,     

“异侧和最小,同侧差最大”在解析几何中的应用

一、问题提出题1（2009年四川高考题理科第9题）已知直线l₁:4x-3y+6=0和直线l₂:x=-1,抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（）（A）2（B）3（C）5/11（D）16/37解析如图1,直线l₂:x=-1为抛物线y²=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l₂的距离PB等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离PF,故本题化为在抛物线y²=4x上找一个点P,使得