抛物线光学性质的三种证法

本文介绍抛物线的一个光学性质的3种证法.设F是抛物线的焦点,M是抛物线上任意一点(如图1),MT是抛物线在点M处的切线,MN是法线,ME是平行于抛物线的轴的直线,那么法线MN必平分∠FME,即φ1=φ2.图1证法1取坐标系如图1,这时抛物线方程y2=2px.设点M的坐标为(x0,y0),则法线MN的方程是     

抛物线焦点弦的性质探究

设抛物线的方程为y^2=2px（p〉0）,过焦点F（p/2,0）作倾斜角为a的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容．下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考．     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…     

抛物线中一个特征三角形的探索

抛物线是高中数学圆锥曲线的一个重要组成部分 .本文从抛物线的定义出发 ,找出抛物线的一个特征三角形 ,并从计算和证明两个方面浅析该特征三角形的性质和应用 .图 1　抛物线我们知道 ,平面内与一个定点F和一个定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 .点F叫做抛物线的焦点 ,直线l叫做抛物线的准线 .如图 1 ,点M在抛物线上 ,MN垂直于准线l于点N ,由此得到一个等腰△MFN(点M与原点重合时除外 ) ,我们称这个三角形为抛物线的一个特征三角形 .当点M和原点重合时 ,△MFN退化为线段FN .当点M不和原点重合时 ,我们有如下结论 .性质 1　过顶…     

抛物线焦点弦的性质探究

<正>设抛物线的方程为y2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)作倾斜角为α的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容.下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考.     

对抛物线性质的一点探究

设过抛物线y^2=2px的焦点F的直线交抛物线于A（x1,y1），B（x2，y2）两点。如图1所示，以A,B为切点作抛物线的两条切线（由于它与焦点有关，所以我们暂且叫它抛物线的焦切线）相交于点M，几何画板的作图表明．点M似乎在准线x=-p/2上，那么事实上是否如此呢？下面我们对此作一点探究．     

超有限Ⅱ_1型因子中Cartan双模代数上等距和2-局部等距

设M是超有限Ⅱ1型因子．D是M的Cartan子代数,T是对角为D的M 的σ-弱闭的子代数(简称Cartan双模代数)并且生成M．设φ是T到T上的σ-弱连续满线性等距,则Φ可扩张成从M到M上的等距．设φ是T到T上的映射(没假设线性),满足任给a,b∈T,T上存在σ-弱连续满线性等距φa,b(与n,b有关),使得φa,b(a)=φ(a),φa,b(b)=φ(b),则φ是线性等距．     

S^n＋1中Moeebius形式平行的超曲面

如果x:M→S^n 1是不含脐点的超曲面，且M的Moeebius形式φ-0和Blaschke张量A＝λg，就称M为Moeebius迷向超曲面，如果x:M→S^n 1是不含脐点的超曲面，且M的Moeebiusφ平行（△↓＝0）和Blaschke 张量A＝λg，就称M为Moeebius拟迷向超曲面，这里g是M上的Moeebius度量，λ:M→R是M上的光滑函数，本文证明了如下结果：（1）设x:M→S^n 1(n≥3)是不含脐点的超曲面，则M是拟迷向超曲面当且仅当M是迷向超曲面，（2）设x:M→S^n 1（n≥3）是不含脐点的超曲面，且M的Moeebius形式φ平行和Blaschke张量A也平行（△↓A＝0），则φ＝0。     

一道2009年高考题（湖北卷）的巧妙推广

下面是2009年湖北卷（理）第20题：过抛物线y2=2px（P〉0）的对称轴上一点a（a,0）（a〉0）的直线与抛物线相交于M、N两点,白M、N向直线l：x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

一个圆锥曲线统一性质的变式探究

文[1]给出如下结论:结论过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点F作不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆于M、N两点,MN的中垂线交x轴于点D,则|DF|/|MN|=e/2.(e为椭圆的离心率.)接着,文[1]将结论推广到双曲线和抛物线中,从而得出一个圆锥曲线的统一性质.     

素＊-环上非线性保XY-ξYX~＊积

设M是包含非平凡投影P的单位素*-环.证明了非线性双射φ:M→M对所有A,B∈M,满足φ(AB-ξBA*)=φ(A)φ(B)—ξφ(B)φ(A)*.若ξ=1,则φ是线性或共轭线性的*-同构;若ξ≠1,则φ是*-环同构,且对所有A∈M,有φ(ξA)=ξφ(A).     

抛物线预赛试题的几何法证明

<正>在2017年内蒙古自治区高中数学联赛预赛中有这样一道试题:过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作弦BC,若BC的中垂线交BC于M,交x轴于N,求证:|MN|2=2px(p>0)的焦点F作弦BC,若BC的中垂线交BC于M,交x轴于N,求证:|MN|²=|FC|·|FB|.试题考查了抛物线的标准方程、几何性质以及焦点弦等知识,检验了运算与求解、分析问题与解决问题的能力.试题解法多样,从代数角度可以借助弦长公式、直线的参数方程、抛     

应用圆锥曲线的定义巧解题

很多地方的调考试题有下面这个题目： 试题 设抛物线x^2=2py（p〉0）的焦点为F，M为其上异于顶点的一点，且M在准线上的射影为M1，则在△MM1F的重心、外心、垂心、内心中，有可能仍在抛物线上的有（ ）     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．     

黎曼曲面上的φ-调和函数和φ-次调和函数

(M,g)是黎曼曲面,该文给出了M上函数的φ-Dirichlet积分的定义,并在此基础上 得到了一个关于具有有限的φ-Dirichlet积分的φ-次调和函数的有界性定理．     

数学奥林匹克问题选登

1991年9月号问题解答 (解答由供题人给出) 7.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,在AB、AC上各取一点M、N,满足DM⊥DN。试证:△BDM与△CDN的外接圆外切且直线MN是这两圆的一条公切线。证明易知A、M、D、N四点共圆,可得∠DMN=∠DAN=∠ABC。 (1)若∠BMD=90°,则∠DNC=90°(如图1)。Rt△BDM、Rt△CDN的外心各是BD、DC的中点O_1、O_2,连结O_1M、O_2N,易证MN⊥O_1,M、MN⊥O_2N。此时既易证明△BDM与△CDN的外接圆外切,又不难证得直线MN是这两圆的     

一道圆与抛物线综合题目的求解与探究

一、题目的求解 题目1 动圆D过定点A（O,2）,圆心D在抛物线x^2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦．当圆心D运动时,记｜AM｜=m,｜AN｜=n,求n/m＋m/n的最大值．     

让"老题"挂"彩"——一堂渗透函数思想的复习课

在日常教学中,我们发现这样一个现象:师生手头众多的高中数学复习资料书虽几经删改、修订,但总有一些"老题"被一直保留下来.究其原因是,这些老题无论是在培养学生的思维品质方面,还是其解法的丰富多彩,都有着较大的教学价值.近日,在我校高三年级的一次考试中,试卷中也出现了这样一道老题:已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),若抛物线C与线段MN有两个不同的交点,求实数m的取值范围.……     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.