到两线段“距离”相等的点的轨迹

在平面上,已知直线l与l外一点P,任取直线l上的点Q,连接PQ,那么,当PQ⊥l,线段PQ的长度最短,称点P到直线l的距离就是该垂线段的长度.直线是无限延伸的,可是如果l不是直线,而是线段,那么,距离该怎么理解?下面我们来看看2011年高考上海卷中的这道题:已知平面上的线段l及点P,任取l上一点Q,线段PQ的长度的最小值称为点P到线     

到两线段“距离”相等的点的轨迹

在平面上,已知直线l与l外一点P,任取直线l上的点Q,连接PQ,那么,当PQ⊥l,线段PQ的长度最短,称点P到直线l的距离就是该垂线段的长度．直线是无限延伸的,可是如果l不是直线,而是线段,那么,距离该怎么理解？下面我们来看看2011年高考上海卷中的这道题：     

用函数转移法证角的相等或互补

八五年全国初中数学竞赛有这样一道题: 已知:如图所示,O为凸五边形ABC D E内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。求证:∠9与∠10相等或互补。初看本题,似乎无从下手。但考虑到转移的方法,就是要证     

巧用“点差法”解决中点弦问题

<正>我们将与圆锥曲线弦的中点有关的问题,称为圆锥曲线的中点弦问题.圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题、解答题中都是命题热点.它的一般方法是:联立直线与圆锥曲线的方程,借助一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式以及参数法求解.这种方法的计算量较大,思维能力要求高.因而在高考复习中成为了高中教师与学生都头疼的问题.     

用“两平行线间的距离处处相等”解题

<正>"两平行线间的距离处处相等"是平行线的一条重要性质,在有关几何问题中,若能构造出平行线间的两条垂线段,应用上述性质往往可化难为易,思路清晰简洁.下面举例说明.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,垂足为O,过点A作AP∥BD,连接DP.若DP=DB,且AD=2^(1/2),     

“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

“相等”和“常数”缺一不可

高中生解答此题,他们几乎都得出类似解法1的答案,当我让他们检查有无问题时,他们都自信地回答:没有问题!而当我出示正确解答(相当于解法2)时,他们都感到很惊奇,因为在他们看来,两种解答似乎都没有问题,他们找不出解法1的错误所在。可见,我们有相当多的同学,对何时取得最小值的概念是模糊的。一般地讲,当g(x)不是常数时,我们并不     

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题陈具才（甘肃渭源一中７４８２００）二次曲线人。，９）＝０的中点弦问题，常见题型有：求弦适合某种条件时中点坐标或轨迹；求中点适合某种条件时弦所在直线方程或弦长；对称问题；有关中点弦的极值问题．人们一般是用韦达定理结合...     

方程“只有一个实数根”与“有两个相等实数根”

一一、，，.，一。，_.、_一x一1题目a为什么实数时，方程气，井一~~一/‘，，一~~’“’~一Zx 4x a .Zx_~一‘~~_~_一~舒竿二共二 止二专~。只有一个实数根?并求Zx(x一1)’x一1一/、曰’~~~·出这个实数根.原方程化简整理可得5扩一6x 1一a一0.①解法1因为原方程只有一个实数根，所以在①式中有△~O，即36一4XSX(1一a)=0，可得。一一喜.把。一一喜代人①式可J’”一5’J~一5’、‘、~一、一，。3，~，二~月呼1导x~下犷，兰2书夏欲览x 0 3一~~一，。二‘，‘~ ~下二小力己爆力毛显俐哨创民0故当。一喜时，原方程只有一个实数根~一一5一动…     

“两分角线相等的三角形必等腰”的三角证法

在平面几何中有一道几何题:“如果一个三角形的两条角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”它的证法已有多种,一般较烦难.这里介绍一种三角证法,比较简捷,容易掌握.     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

“零点法”巧证一类不等式

“零点法”巧证一类不等式６３００６７重庆商学院贸易经济系９４级陈沁不等式的证明，其技巧性强，方法多样，学生较难掌握．本文介绍证明一类不等致──非严格不等式的一种方法──“零点法”，帮助同学加深对此类不等式的理解，使解题做到“有的放矢”．所谓“零点法”...     

如何用“垂线段最短”证不等关系

<正>性质"垂线段最短"经常用来证明与线段有关的不等关系,下面举几例说一说它们的应用.一、直接使用性质有些线段不等关系式是通过与垂线段比较大小得到的,所以当已知条件中出现垂直的条件时,就可以优先考虑使用该性质.     

用加强命题法简证两不等式

有不少不等式直接证明并不容易 ,可是当我们将它适当加强 ,证明起来反而容易多了 .比如 ,以下两题原证法都较繁 ,现用这种方法给以简证 .例 1　在△ ABC中 ,求证sin Bsin C 2 cos B2 cos C2 ≤ 2 r2 R,( 1 )cos Bcos C 2 sin B2 sin C2 ≤ 1 - r2 R. ( 2 )其中 ,R,r为△ ABC外接圆、内切圆半径 .(《数学通报》2 0 0 1年第 2期第 1 2 98数学问题 )证明　为证明不等式 ( 1 ) ,将 ( 1 )加强为sin Bsin C cos2 B2 cos2 C2 ≤ 2 r2 R ( 3)而不等式 ( 3) - 12 [cos( B C) - cos( B- C) 1 cos B2 1 cos C2 ≤ 2 …     

“中点重合”的妙用举隅

“中点重合”的妙用举隅江苏射阳中学钱军先众所周知：同一直线上顺次是Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四点构成线段｜ＡＢ｜—｜ＣＤ｜的充要条件是线段ＡＤ与ＢＣ的中点重合．在求解直线与二次曲线相交所得的线段相等的有关问题时，合理地运用这一结论，可以将距离计算转化为中点坐标...     

“中点重合”的应用举隅

众所周知:同一直线上顺次是A、B、C、D的四点构成线段|AB| |CD|的充要条件是线段AD与BC的中点重合。在求解直线与二次曲线相交所得的线段相等的有关问题时,合理地运用这一结论,可以将距离计算转化为中点坐标的比较,收到避开求交点、减少     

成比例线段证题中的“面积法”

三角形面积公式,不仅可用来计算有关图形的面积,而且在证题方面也有较广泛的应用。本文仅就用它来证明有关成比例线段略举几例,思路常是运用面积相等或面积之比使其获证。若恰当地运用三角函数关系往往更为简便。例1 圆内接四边形ABCD的对角线AC平分另一对角线BD于E,求证:AB/AD=DC/BC。分析:结论即求证:AB·BC=AD·DC,∠ABC=180°-∠ADC,于是变为求证: (1/2)AB·BCsin∠ABC=(1/2)AD·DCsin(180°-∠ADC), 根据三角形面积公式,可考虑S_(△ABC)=S_(△ADC)。     

“等叠法”巧证三角形不等式

将若干个等量相互叠加,证明不等式的方法,简称等叠法.借助平均值不等式,应用等叠法可巧证一类三角形不等式.     

“三线合一”的应用

一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二 .“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ .(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,∴ＢＤ =ＤＣ ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1　一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ 是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区 2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而 ＰＡＰＢ=1 .欲证 ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证 ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ =∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠...