立体几何中两个论断的证明

本文对高中立体几何课本中两处未给出证明的论断予以证明,供中学教师教学参考。一、关于球面上两点间的距离课本指出:“在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点间的线段劣弧的长度。”这就是要证明:在球面上连接两个非对径点(非同一直径的两个端点)的一切曲线中,最短的是大圆劣弧。有人将这论断转化为证明“在球面上连接这两点的诸圆劣弧中的大圆的弧长为最短”,这是以面概全,因为连接这两点的球面曲线不限于圆弧。     

由球面上的两点间的离距所想到的

高中数学课本第二册立体几何部分里有这样一句话:“球面上两点问的最短距离,就是经过这两点的大圆被它们所分威的两个弧中较小一个的弧长。”我们可以给予证明,为方便起见,将它转化为: 定理1:在大小不同的圆中,等长的弦所对的劣弧长不等,圆愈大,则弧长愈短。显然,球面上两点间的弦长为定值,则过这两点的诸圆的劣弧中以大圆的弧长为最短。在证明定理1之前,先证明一个     

浅析“球面距离”概念的教学

一、问题的提出 “球面距离”是立体几何中的重要概念，上海市二期课改教材（高三年级）第41页关于“球面距离”的概念是这样阐述的：“可以证明，在连接球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离．”最近在上海市青年数学教师教学评优中，     

关于两点的球面距离的探究——记一堂数学活动课

高一《立体几何》课本中给出如下结论 :在球面上 ,两点之间的最短距离 ,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 .这个结论并不是很直观和显而易见的 ,由于其证明的困难性 ,教材和教学参考书中未见其证明 ,但它的用处很广 ,教材给出不加证明的结论 .为了让学生更深刻的理解该结论 ,培养学生的探究能力 ,我们在数学特长班安排了这节数学活动课 .问题 1　如图 ,凭直觉大圆Ｏ的劣弧ＡＢ比小圆Ｏ1 的劣弧ＡＢ要长 ,如何验证大圆Ｏ的劣弧比小圆Ｏ1 的劣弧短 .实物验证 ,用细绳在球上度量 ,对结论有初步的认识 .能否从理论上加以证明呢 ?…     

关于球面上的短程线

高中数学课本第二册第62页介绍了球面上两点间的最短距离,就是经过这两点的大圆被它们所分成的两段弧中较小一段的弧长(一般称为球面上的短程线或测地线).课本没有进行证明,因为证明要用到变分法的知识,学生对此不易理解.这里,我们提出一个较弱的命题,并且给予初等的证明,供参考.     

距离不是无情物,放在球面更生辉——兼论教材上“球面距离”处理之疑义

1 问题的背景在球面上,两点之间最短连线段的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点间的球面距离,这就是教材上球面距离的定义.不难看出,这个所谓“定义”,不如说是一种“规定”,配套的教参提到了“最短连线段”取代原教科书上的“最短距离”,使其说法更合逻辑性.至于为什么这样的劣弧长最短,并未作任何交待,同时说明不要求证明.教师和学生也只是一轮轮,一遍遍地由几何直观认识它的正确性,实际问题的合理性,并不断地自觉运用于解题活动中.     

球面上两点之间的最短距离问题

<正>球面上两点之间的最短距离是一个常见的地理问题.问题如下:如果飞机从乌鲁木齐飞往北京,选择最短航线,则飞机飞行的方向大致为().(A)向正东方向飞行(B)先向东北再向东南(C)先向东南再向东北这道题的正确答案应该选(B).同学们在解决这个问题的时候,根据的是地理书上的一个结论:球面上两点间的最短距离,是连接这两点的大圆在这两点之间的劣弧长度.     

球面上两点间距离的微分学证明

在高中数学选修课程《球面上的几何》中,球面上两点间距离的概念依赖如下结论:结论1设A,B是球面上两点,在连接A,B两点的球面曲线段中,以过这两点的大圆弧中的劣弧长最短.教材对结论1作了一个直观解释,却并未给出严格证明,本文将用微分学知识对这个结论作一论证.引理1三面角中任意两个面角的和大于第三     

高中数学课程中的《球面几何》(续)

这是一个很有趣的问题.由于球面三角形的每条边长都是大圆的劣弧,都小于大圆周长的一半,因此,球面三角形的周长小于3/2个大圆周长,不能任意长.实际上,球面三角形的周长可以更小,其周长小于大圆周长.这个结论很重要,我们给出它的证明.证明如图10,设球面△ABC的三条边分别为a,b,c,球心为O,连结OA,OB,OC,那么O-ABC是一个三面角.在三面角O-ABC中,连结AB,BC,AC.由于球面三角形的边长与三面角的面角之间的对应关系,我们把球面三角形的边长问题转化为三面角的面角问题.因为∠AOB=π-(∠OAB ∠OBA),∠BOC=π-(∠OBC ∠OCB),∠COA=…     

八、多面体和旋转体

§８－４球一、基础问题１．下面说法中，错误的是（）．（Ａ）球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面（Ｂ）球的任意二个大圆交点的连线段是球的直径（Ｃ）过球面上任意三点的截面是球的大圆（Ｄ）过球面上二个点（连线不过球心），只能作一个球的大圆（参阅教材Ｐ８１－８...     

立体几何（第一章）中的反证法

立体几何（第一章）中的反证法沈碧珪（广东珠海市东区中学５１９０００）我们知道，除公理以外的所有数学命题必须经过证明才能判断是否正确，如何证明呢？由于一种命题都有它的等价命题，这样在证明一个数学命题时就有两种方法，一种是从已知出发，根据公理、定理，按逻...     

球面距离的计算

现行高一《立体几何》课本中 ,介绍了球面距离的概念 ,但没有例题 ,而这方面的习题却很多 ,同学们学习时普遍感到困难 .下面给出这类习题解答的示范 ,以供同学们参考 .1　位于同一纬度线上两点的球面距离例 1　已知Ａ ,Ｂ两地都位于北纬 4 5°,又分别位于东经 30°和 6 0°,设地球半径为Ｒ ,求Ａ ,Ｂ的球面距离 .分析 :要求两点Ａ ,Ｂ的球面距离 ,过Ａ ,Ｂ作大圆 ,根据弧长公式 ,关键要求圆心角∠ＡＯＢ的大小 (见图 1) ,而要求∠ＡＯＢ往往首先要求弦ＡＢ的长 ,即要求两点的球面距离 ,往往要先求这两点的直线距离 .解　作出直观图 (见图 2 …     

半径和切线

<正>圆的切线的判定是中考命题的热点和重点,如何迅速、快捷地证明圆的切线呢?通常通过半径来实现.一、"已知半径,证垂直."若直线经过半径的外端,则证直线垂直于半径.例1如图1,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧︵BC上的一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP是半圆O的切线.     

习题巧解三例

例1求证：对于任意一个小于1的正数δ,都确证明这里我们巧借1作跳板,进行合理的放缩,容易得到再由夹通定理立即可知,结论成立．解这里我们仍然拿1作文章,显然有解如果我们考虑到C为球面上的一个大圆,因此三个坐标方向具有同等的重要性．所以,积分有其形式上的对称性,故习题巧解三例@郭建锋$郑州解放军测绘学院数学室!郑州450052@归庆明$郑州解放军测绘学院数学室!郑州450052     

Toeplitz算子空间的ω~＊－闭包

本文讨论Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子空间的ω￣＊－闭包．我们证明Ｂｅｒｇｍａｎ空间上全体Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子的ω￣＊－闭包等于（定理１）．另外，我们给出Ｃ￣ｎ（ｎ＞１）中单位球面Ｓ上的Ｈａｒｄｙ空间Ｈ￣２（Ｓ）上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子的一个有趣刻划（命题２）．     

一道竞赛题的妙证

<正>题目^([1])(第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)如图,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,过点A作⊙O的切线l,l与直线BC交于点D,E为DA延长线上一点,F为劣弧BC上一点,直线EF与劣弧AB交于点G,直线FB、GC分别与l交于点P、Q.证明:AD=AE的充分必要条件为AP=AQ.证明首先证明一个引理.引理:如图所示,条件同上,     

加强命题的条件——用数学归纳法处理问题的一种技巧

在本文中先提出强命题与弱命题的概念.今有两个条件相同的命题,如果由前一个命题的结论可以推得后一个命题的结论,那么前一个称为强命题,后一个命题称为弱命题,将一个弱命题转化为强命题称为强化命题.解题实践表明,有时候,强命题比弱命题容易证明.因此,为了证明弱命题,只要证明其相应的强命题就可以了.特别是与自然数相关的命题,在运用数     

球面上的极小子流形

本文证明了,在一定条件下,单位球面上具有任意余维数p的n维极小子流形是球面极小积上的一个开子流形,其中,从而推广了文[1]中命题1,那里余维数为1.     

椭圆、双曲线的切线与圆的关系

图１是高中《平面解析几何》参数方程一章中一例题的图形，我们发现：如果过Ａ，Ｂ两点分别作大圆和小圆的切线，交ｘ轴于Ｐ，Ｐ１，交ｙ轴于Ｑ，Ｑ１，则Ｐ，Ｍ，Ｑ１三点共线，且为椭圆的切线．于是得到下面两个命题．图２命题１过圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２上一点Ａ（ｘ１，ｙ...     

球面导数,高阶导数与正规族

本文应用陈怀惠和顾永兴关于Ｚａｌｃｍａｎ不正规性条件的改进结果，推广和加强了Ｌａｐｐａｎ的一个正规定则，Ｌａｐｐａｎ证明，若亚纯函数族中的所有函数的球面导数的害虫方（大于２）在紧集上的积发一致有界，则该族是有正则的，本文证明，把积分限制在函值数值模小于给常数的集上，结论仍然成立，同时，用高阶导数的积分替代球面导数的积分，得到十分一般的结果，另外对幂方为２的情形也进行了讨论。