利用函数不动点解决一类递归数列通项公式问题

<正>求解递归数列通项公式是高考数学必考内容之一,同时也是数列中的难点.本文巧妙地通过建立数列与函数不动点的联系,采用特征方程法对某一特定类型递归数列进行因式分解,进而回避等价变形困难的问题,供同学们参考.1函数不动点定义在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点",即满足条件f(x)=x的点x.     

递归数列a_n=pa_（n-1） q应用集锦

把实际问题转化为数学问题,再利用数学知识解决实际问题是我们学习数学的根本目的.在现实生活中有不少与一类递归数列an=pan-1 q(其中p、q为常数,且p≠1、n≥2)有关的实际问题,如若我们能正确认识,恰当处理,利用递归数列的知识把它转化为等比数列问题来进行解决,则容易解答.下面就此举些典型例题供大家欣赏.     

多元递归数列问题

递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一．一般地，我们对一元递归数列问题探讨得较多，而对于多元递归数列的解法则研究得不多．事实上，多元递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思维能力的较好素材，因此它逐渐成为近年来活跃在各类竞赛中的新宠．从总体上来看，多元递归数列问题的解答策略是借助方程的思想，化多元为一元，逐个击破，从细微处来看，解答奥妙又各有千秋，需要细细品味，本文加以简单介绍，仅当抛砖引玉．     

化递归数列为基本数列

对于一些递归数列,怎样求它的通项公式呢？许多学生常常感到困惑不解、束手无策．本文举例说明可将它转化为基本（等差或等比）数列来解决．这是一种重要的数学思想方法．１课本上的递归数列转化为基本数列例１（高中代数下册（必修）Ｐ１３２第３４题）已知数列｛ａｎ｝...     

递归数列

一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得     

多元递归数列问题

递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一.一般地,我们对一元递归数列问题探讨得较多,而对于多元递归数列的解法则研究得不多.事实上,多元递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思维能力的较好素材,因此它逐渐成为近年来活跃在各类竞赛中的新宠.从总体上来看,多元递归数列问题的解答策略是借助方程的思想,化多元为一元,逐个击破,从细微处来看,解答奥妙又各有千秋,需要细细品味,本文加以简单介绍,仅当抛砖引玉.1配凑法例1设数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1且bn 1=3an 5bn,n=1,2,3,…,求通项an,bn.an 1=5an 3bn 7,解∵an 1=5an 3bn 7,bn…     

递归数列的通项公式

探求递归数列的通项公式的一般办法是:逐次代入递推找规律—猜想—证明(用数学归纳法).这种办法的优点是解题思路自然直观,缺点是运算量较大,所需过程较多,有时规律不易发现.下面探讨用特殊办法求递归数列的通项公式,     

几种常见的递归数列

一个数列的连续项之间的关系叫递归关系.由递归关系确定的数列叫递归数列.中学教材中的等差、等比数列,是最基本、应用最广的递归数列.递归数列在高考试题中时有所见.本文主要介绍一阶递归数列:an 1=f(an)(有一个初始条件)及二阶递归数列:an 1=f(an,an-1)(有两个初始条件)中的简单类型.1.第一类:a1=aan 1=can d　型若c=1,则an 1=an d,显然{an}是首项为a、公差为d的等差数列;若d=0,c≠0,则an 1=can,显然{an}是首项为a、公比为c的等比数列;下面就一般情形予以研究.例1　已知数列{an}中,a1=3,an 1=2an 4,求这数列的通项.解　由an 1=2an 4,得an=…     

递归数列通项计算中的常见错误

递归数列这类问题,是近年来高考试题中考查学生逻辑思维和推理论证等能力的常见试题。已引起中学数学教师的重视。有些数学杂志不断刊登此类问题的解法,都是从正面进行探讨。由于解答这类问题的难度较大,即使教师在平日教学中花费了大量时间做了系统讲     

分式线性递归数列的通项公式与性质——问题Whc116的解决

利用一个二阶齐次线性递归数列的通项公式,求出分式线性递归数列的通项公式,得出了分式线性递归数列有关项数的结论,并给出了判定分式线性递归数列的敛散性与周期性的充要条件.     

非线性递归数列的极限

探讨了形如Fn+p=pΣ1=1α1Fbin+i,≥1的非线性递归数列{Fn)的极限问题,给出了在满足一定条件时,数列{Fn}极限存在且与初始值无关.     

从数列与数学归纳法的编排谈新教材的特色

上海市“二期课改”高中数学试验教材已进入了第二年,新课程全面实施在即,新教材怎样教?和老教材相比,有哪些显著变化?怎样认识和理解新教材?这些成为一线教师最为关心的问题.在本文中笔者就数列与数学归纳法两章内容编排来谈谈“二期课改”教材的变化与特色.一、教材内容编排位置的变化数列与数学归纳法在“一期课改”教材中,是放在高二下学期解析几何之后,而在“二期课改”教材中,却把这一内容提前到高一下学期的三角比与三角函数内容之后.另外数列的通项公式与通项的递推公式,在“一期课改”教材中是分开讲述的,即数列通项公式在数列的定…     

解高考数列客观题的“十六字方针”

<正>数列有利于同学们认识数学与现实世界和实际生活的联系,培养和发展同学们的数学应用意识.数列是刻画离散现象的数学模型.离散现象是自然界中普遍存在的现象,人们往往通过离散现象认识连续现象,这就使得数列在数学中占有重要地位,在高中,把等差数列和等比数列作为重要内容.     

某些“无限”几何问题中的递归思想例谈

作为数列极限的应用,现行教材中有不少涉及“无限”的几何问题,这类问题往往都归结到如何去找符合题意的数列;而要探求出这些数列的通项,除需要具备一些有关的基础知识和较基本的技巧外,更多的情况下却需要有较熟练的递归技巧,这里举几个例子阐述递归思想在解涉及“无限”的几何问题中的作用.     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

利用三角函数代换求递归关系的解

利用三角函数代换求递归关系的解湖北民族学院教学系王卫东关于递归关系的解，即递归数列通项公式的求解，现已有多种方法散见于各种中数杂志；但如何利用三角知识去解决这类问题，还少有人作．本文试给出利用三角函数代换求速归数列通项公式的方法，以例示明．例１设数列...     

案例:多米诺骨牌效应——数列裂项求和

生活中处处有数学,不但体现在生活中有数学问题,同时也体现了生活与数学有许多相通之处.多米诺骨牌效应,不仅形象的表达了数列裂项求和的应用原理,而且化深奥为浅显,使学生在理解数列裂项求和方法方面受益匪浅.利用多米诺骨牌效应进行数列裂项求和教学,能唤起学生对数列裂项求和的强烈的学习兴趣!     

高考中数列命题的主流题型

数列问题在高考中一直占有非常重要的地位,数列综合题以其综合性强、难度大、技巧性高等特点常被作为高考压轴题,用来考察学生在解题过程中的数学思想.近几年高考对数列的考察难度有所增加,在原有经典题型的基础上,更多地体现了数列与其它知识的交汇,如数列与三角、数列与解析几何、数列与导数、数列与不等式等.本文针对近几年高考中的数列问题,进行简单的归纳探讨.……     

“不动点”在数列通项公式中的神奇作用

我在对一些特殊形式的递归关系进行推导时,发现了“不动点”在其中的神奇作用．下面就让我们感受一下“不动点”的作用．问题一已知a1为常数,数列｛an｝满足递归关系(?)(其中a、b、c、d均不为零且(d-a)2+4bc≥0)(?),求数列｛an｝的通项公式．     

中学数学教学中应涉及复数列吗？

在中学数学教育界,人们在谈及与数列有关的问题时,总是自觉或不自觉地将数列这一概念拓广到复数域上.例如,已知复数1,a bi,b ai(a,b∈R)成等比数列,求a,b的值〈1〉又如,在《等比数列教学中几个值得探讨的问题》〈2〉一文中,文章的作者充分肯定在学习了复数后,可将数列及其相关的概念拓广到复数域内,其理由是:“数列的定义和相关概念,都没有限定为实数.”上述观点在数学教育界确有一定的“代表性”.因此本文就这一问题谈谈笔者个人的看法,并与同行共同讨论这一问题.笔者认为,能否将数列的概念加以延拓,要看延拓概念后的得失.1　延拓数列概念…