两三角形的相对等力点

文[1]、[2]对涉及两个三角形的Fermat问题进行了深入的研究,给出了相对内、外Fermat线长的对偶公式和相对内、外Fermat点之间的距离公式.本文将揭示相对内、外Fermat点的等角共轭点--相对内、外等力点的重要性质.     

三角形等力点的物理意义

褚小光先生在文[1]中提出“三角形的等力点是何人、何时发现”的问题,这让我想起了一道多年前探究过的物理题:题电量为α、β、γ的三个正点电荷分别位于边长为a、b、c的△ABC的三顶点,在什么位置引入一个怎样的点电荷,才能使包括引入电荷在内的四个点电荷因静电作用而平衡?图1     

等力点等角中心布洛卡点及外心垂心之间的度量关系

由文献[1]知,非等边三角形都有一对等力点--正、负等力点;一对等角中心--正、负等角中心;一对布洛卡点--正、负Brocard点;一个外心和一个垂心(这两个"心"互为等角共轭).本文将揭示它们的重要特征量之间的深刻联系.     

关于三角形等力点的几个问题

文献[1]中定义,设S是△ABC平面上一点,满足BC.AS=CA.BS=AB.CS的点,叫做△ABC的等力点.一般三角形都有两个等力点(从力学角度看,称S点为等力点很贴切).文献[2]中指出,三角形的正等角中心与等力点互为等角共轭点.正等角中心F与等力点S的重心坐标分别为{asin-1(A π3),bsin-1(B π3),csin-1(C π3)}、{asin(A π3),bsin(B π3),csin(C π3)}.注:若在△ABC的外边作正三角形△BCA′、△CAB′、△ABC′,则AA′、BB′、CC′三线共点,该点称为正等角中心,当△ABC的最大角不大于120°时,正等角中心就是费马点;当△ABC的最大角大…     

运费、利润及其他

１９９８年全国初中联赛有如下一个实际问题：Ａ、Ｂ、Ｃ三市分别有某种机器１０台、１０台和８台,支援Ｄ市１８台,Ｅ市１０台．从Ａ市调一台机器到Ｄ、Ｅ两市运费分别为２００元和８００元;从Ｂ市调一台机器到Ｄ、Ｅ两市运费分别为３００元和７００元;从Ｃ市调一台机...     

Zygmund微分映射的正则点

该文的主要结果是: 对任意Zygmund类$C^{p,Z}$映射$f:R^{n}\rightarrow R^{m}$, 若$\frac{n-m}{2}\leq p\leq n-m-1$, 则有mes$K_{f}>0$或者mes$C_{f}>0$. 这个结果给出了Hirsch问题的部分回答.     

T-正则点的解析特征

本文是以Moore-Penrose广义逆为工具证明对任一T∈B(H),μ∈ρ_(s-F)(T)是一个T-正则点的充要条件是存在μ的一个邻域U,在U上可以定义一个厄米解析向量丛,以ker(T-λ)或ker(T-λ)~* 为其纤维。     

三角形正则点的一个性质

本文给出三角形正则点一个基本性质 :定理　设点 Z在△ ABC三边上的射影分别为D、E、F,则△ DEF为正三角形的充要条件是 Z为△ ABC的正则点 .证明　如图 6,设 Z关于 BC、CA、AB对称点分别是 Z1、Z2 、Z3,则 D、E、F分别是 ZZ1、ZZ2 、ZZ3中点 ,∴　 DE =12 Z1Z2 ,图 6EF =12 Z2     

线性反馈系统空间中的正则点

本文首先建立线性反馈动力系统与输入-状态微分双箭图的表示之间的对应关系,然后通过计算该双箭图表示的Belitskii典范形,用表示论的方法完全决定了线性反馈动力系统空间的正则点.     

“三角形正则点问题”研究集锦 关于三角形正则点研究的新进展综述

编者按　本刊 1999年第 6期发表了孙四周老师“关于三角形一个新点的发现及初探”(以下简称《初探》)一文 ,称“三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点”为该三角形的正则点 ,证明了 :当△ ABC最大角 A &;lt;12 0&;#176;时 ,形内有唯一正则点 ;A =12 0&;#176;时 ,BC边上有唯一正则点 ;A &;gt;12 0&;#176;时 ,正则点在形外 ,并猜想 :( 1)非等边三角形有两个正则点 ,至多一个在形内 ;( 2 )当三角形有两个正则点时 ,已知一个 Z满足ZA =bcλ,ZB =caλ,ZC =abλ,则另一个 Z′满足 :Z′A =bcλ′,Z′B =caλ′,Z′C =abλ′,其中　λ =b2 +c2 - 2 bccos( A +60&;#176;) ,λ′=a2 +b2 - 2 abcos( C - 60&;#176;) .( 3)并非所有 n ( n &;gt;3)边形都存在各自的正则点 .此后 ,本刊陆续收到有关文章数篇 ,现予摘发 (以收文时间先后为序 )1.杨学枝老师审阅文《初探》时指出 ,λ即三角形费马和 .2 .正则点的一条性质 :设△ ABC内的正则点 Z到三边 a、b、c的距离依次为 r1、r2 、r3,则r1=ab...     

幂等元生成的正则Г—半群

本文考虑了（Ｅ（Ｓ））－由正则Г－半群Ｓ的幂等元生成的子Г－半群，着重研究了〈Ｅ（Ｓ）〉和Ｓ之间的关系，讨论了〈Ｅ（Ｓ）〉＝Ｓ的情形。     

幂等元生成的正则Γ-半群

本文考虑了—由正则Γ-半群S的幂等元生成的子Γ-半群,着重研究了和S之间的关系,讨论了     

П正则半群的幂等元同余类

本文分别给出П正则半群的幂等元同余类和Пｏｒｔｈｏｄｏｘ半群［１］的幂等元同余类的П正则性刻画．其次，证明П逆半群或完全П正则半群Ｓ的幂等元同余类是Ｓ的П正则子半群．最后讨论ｏｒｔｈｏｄｏｘ半群的幂等元同合类的正则性．     

Ⅱ正则半群的幂等元同余类

本文分别给出Ⅱ正则半群的幂等元同余类和Ⅱｏｒｔｈｏｄｏｘ半群的幂等元同余类的Ⅱ正则性刻画，其次，证明Ⅱ逆半群或完全Ⅱ逆半群或完全Ⅱ正则半群Ｓ的幂等元同余类是Ｓ的Ⅱ正则子半群。最后讨论ｏｒｈｔｏｄｏｘ半群的幂等元同余类的正则性。     

幂等元生成子半群为完全正则半群的拟完全正则半群

论文主要刻画了幂等元生成子半群为完全正则半群的拟完全正则半群. 并讨论了满足该类半群的一些子类.     

L—自反Fuzzy矩阵的幂等性及正则性

本文利用对Fuzzy矩阵分块的方法,讨论了L-自反Fuzzy矩阵的幂等性及正则性。并利用标准基的性质证明了自反的,非奇异的Fuzzy矩阵的任一广义逆是自反的。本文总设(L,∧,∨)是完备的分配格并简记为L,其最大元最小元分别为1,0,L~(m×n)表示L上全体m×n矩阵的集合。有关记号参见[1]。得到的主要结果是: 命题1 设A∈L~(n×n),A=A~2且若某aii=0(1≤i≤n)则(1)A的第i行和其余各行相关;(2)A的第i列和其余各列相关;(3)若记A(i|i_~2为划去A的第i行,第i列所得     

火腿截面、篮球影子及其他

当你斜着切开一根圆形的火腿时，一定会发现截面是一个椭圆形；在阳光的照射下，放在球场上的篮球的影子也是一个椭圆形．这些图形确实是椭圆吗？能用数学知识给出证明吗？这二者之间有联系吗？     

关于正则点的几个结论

非等边三角形有两个正则点 Z和 Z′,为了论证上的方便 ,我们以后将分别称它们为第一和第二正则点 ;它们关于三边的对称点所形成的 (正 )三角形相应地称为第一和第二正则三角形 .定理 1　若不等边△ ABC的面积为△ ,则它的第一和第二正则三角形的边长分别为4△λ 和 4△λ′,面积分别为 4 3△2λ2 和4 3λ′2 △ 2 .其中λ =a2 b2 - 2 abcos( C 6 0°) ,λ′=a2 b2 - 2 abcos( C - 6 0°) .证明　设点 P关于 OA和 OB的对称点为 P1、P2 ,如果点 P在∠ AOB的内部 (图 1 ) ,则　∠ P1OP2 =2∠ AOB.如果点 P在∠ AOB的外部 (图…     

点可迁图中的正则因子

设图G是一个K-正则连通点可迁图.如果G不是极大限制性边连通的,那么G含有一个(k-1)-因子,它的所有分支都同构于同一个阶价于k和2k-3之间的点可迁图.此结果在某种程度上加强了Watkins的相应命题:如果k正则点可迁图G不是k连通的,那么G有一个因子,它的每一个分支都同构于同一个点可迁图.     

两个正则点之间的距离

我们知道 ,不等边三角形有且只有两个正则点 .那么 ,这两个正则点之间的距离是多少呢 ?定理　若不等边△ ABC的三边长为 a,b,c,它的两个正则点为 Z,Z′,则ZZ′=3abcλλ′ ,其中λ= a2 b2 - 2 abcos(C 6 0°)等三式 ;λ′= a2 b2 - 2 abcos(C - 6 0°)等三式 .图 1证明　图 1所反映的是最大角 A小于 12 0°,最小角 C小于 6 0°时的情形 ,记∠ ZAB =θ,∠ Z′AB =θ′,则∵∠ AZB =6 0° C,　∠ AZ′B =6 0°- C,∴　 csin(6 0° C) =ZBsinθ,∴　 sinθ =ZBc .sin(6 0° C)=acλ.1csin(6 0° C)=aλsin(6 0° C) ,同理可得…