三“恒“问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒“问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.……     

三“恒”问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒”问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.一、在某条件下曲(直)线恒过定点这类问题的解题关键是先求满足条件的曲(直)线方程,再根据曲(直)线方程探求符合条件的定点.例1已知函数f(x)=3ax3-x(a∈R,a≠0).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)曲线y=f(x)在点(3a,f(3a))处的切线恒过y轴上一个定点,求此定点坐标;(Ⅲ)若a>0,x1>3a,曲线y=f(x)在点(x1,f(…     

“恒成立”与“恒有解”辨析

不等式“恒成立”与“恒有解”是容易混淆的问题.“f(x)>a在什么条件下在R上恒成立.”是指求对每个实数x,f(x)>a都成立的条件.用函数的观点来看,命题等价于“在什么条件下,函数y=f(x)的图像恒在直线y=a的上方.”     

高考中涉及的"恒"与"都"问题

在数学问题中常遇到这样一类特殊的问题:无论问题多么复杂,条件怎样变化,问题本身总是恒定、不变的,我们称之为"恒"成立或"都"成立问题."恒"成立或"都"成立问题常见的有三类:一是在某条件下曲(直)线"恒"、"都"过定点;二是在某条件下代数式"恒"、"都"取定值;三是在某条件下不等式(等式)"恒"、"都"成立.在近年的高考中每年都有涉及,"恒"、"都"成立问题常与函数、不等式、数列、解几等知识联袂出题,多以中、高难度的题型出现.本文归纳出三类"恒"、"都"问题的题型及解题方法并以2005年、2006年全国各地高考题为例进行说明.     

从函数角度谈“恒成立”问题

在学习函数、方程、不等式过程中,常见到“恒成立”问题.一般来说,“恒成立”问题多数涉及两个变量,其中一个变量恒满足某一条件,对另一个变量进行数学设问.而这两个变量间的关系常以函数、方程、不等式等形式给出.本文重点从函数角度介绍一下“恒成立”问题的解题策略. 一、不等式“恒成立”问题 例1 已知x2 (4a-3)x 3a>0, (1)若不等式对任意实数x∈[-1,3]恒成立,求实数a的取值范围. (2)若不等式对任意实数a∈[-1,3]恒成立,求实数x的取值范围.     

“恒成立”与“恒有解”

1　含参数的式子 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下“在Ｒ上恒成立”与“在Ｒ上恒有解”是有区别的“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下对于任意实数ｘ恒成立”是求此式在Ｒ上成为恒等式的条件 ,即参数的范围 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数取什么范围内的值时 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)与函数 ｙ =ｇ(ｘ) 在Ｒ上是同一函数” .“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下在Ｒ上恒有解”是求关于ｘ的方程有实数解的条件 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数的范围 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) 与 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象总有交点” .显然 ,可以将…     

谈恒成立问题的求解方法探讨

恒成立问题是指题设中含有恒成立条件 (如不等式、等式 )的问题 .由于此类问题具有“变”中有“不变”的特点 ,其题型涉及到高中数学中的多个分支 ,且容易与相关问题混淆而产生错误 ,因而成为近年来命题测试中的常见题型 .为了对恒成立问题的解题方法有全面认识 ,本文试对此类问题的求解策略作一提炼总结 .1　构建函数构建适当的函数 ,将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题 .1 1　构建一次函数众所周知 ,一次函数的图象是一条直线 .要使一次函数在某一区间内恒大于 (或小于 )零 ,只需一次函数在其区间的两个端点处恒大于 (或小…     

再解“恒成立”问题

本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ + 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原不等式变形为ａｘ + 3-ａ >-ｘ2 .设 ｇ(ｘ) =ａｘ + 3-ａ ,ｈ(ｘ) =-ｘ2 .由于ｘ∈[0 ,1]时 ,[ｈ(ｘ) ]ｍａｘ=0 ,所以欲使 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0在ｘ∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 ｇ(ｘ) =ａｘ+ 3-ａ在ｘ∈ [0 ,1]上…     

“恒”字类问题的破解策略

"恒"字类问题是指"恒成立"、"恒不成立"、"不恒成立"问题,这类问题既是高考的热点,又是高考的难点之一.本文结合实例讨论"恒"字类问题的几种常用解题思路,望对同学们能有所帮助.一、恒成立问题1.用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n],有:f(x)＞0恒成立(→){f(m)＞0,f(n)＞0.f(x)＜0恒成立(→){f(m)＜0,f(n)＜0.例1 若不等式2x-1 ＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的范围.     

不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

解一类“恒成立”问题的五种方法

已知二次不等式在某区间上恒成立 ,求其中所含参数的取值范围 ,这是一类常见的题型 .这类问题涉及知识面广、综合性强 ,因而解题时应强调思路清晰 ,方法灵活 .下面通过一个典型例子介绍五种思想指导下的解法 ,供大家参考 .例题　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 ａｘ 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .1　集合思想　解　设Ａ ={ｘ|ｆ(ｘ) >0 } ,由已知 [0 ,1] Ａ .令Δ =ａ2 - 4 (3-ａ) =ａ2 4ａ - 12 ,1)当Δ <0 ,即 - 6<ａ <2时 ,Ａ =Ｒ ,恒有 [0 ,1] Ａ .2 )当Δ≥ 0 ,即ａ≥ 2或ａ≤ - 6时 ,由 ｆ(ｘ) >0 ,得　Ａ ={ｘ|ｘ <-ａ -ａ2…     

例说转化

转化思想是解决实际问题的重要思想 ,它是解决函数、数列、不等式、三角、复数、立体几何、解析几何等问题的重要方法 .控制好“转化方向”是运用转化思想的关键 ,本文略举数例 ,用以说明转化的方法 .1　“恒成立”问题常向“最值”问题转化例 1　 ( 1 999年全国高中数学联赛第一试第三题 )当ｘ∈ [0 ,1 ]时 ,不等式ｘ2 ｃｏｓθ ｘ(ｘ - 1 ) ( 1 -ｘ) 2 ·ｓｉｎθ >0恒成立 ,求θ的取值范围 .分析　注意到不等式左端是ｘ的二次代数式 ,可通过构造函数求解 .解　∵ｘ2 ( 1 ｃｏｓθ ｓｉｎθ) - ( 1 2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ>0在ｘ∈ …     

关于含参数的函数f(x)在某区间上恒大于常数k的求解

在高中学习函数后,学生常常会遇到这样的问题:“函数y=f(x)在某区间上,f(x)>k恒成立,求f(x)中参数的取值范围”,而多数学生感到困惑.对于这类问题,通常是结合函数的图像,运用函数的单调性,求出函数f(x)在该区间上的最小值,予以解决.     

构造函数解“恒成立”问题

“恒成立”问题是高中数学学习中的一个重点,也是一个难点,在对其分析和解决的过程中蕴涵着丰富的数学思想及方法.下面仅举例说明如何构造函数解决“恒成立”相关问题.     

不等式恒成立问题

我们知道,不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 在实数集R上恒成立的充要条件是a>0且△ =b2-4ac<0．如果把结论稍加扩展:不等式左 边的表达式不一定是关于x的二次三项式,给 自定区间不是实数集R而是实数集R的子集,依 然讨论使不等式恒成立的条件,内容就丰富得 多了,我们姑且把它称为“不等式恒成立”问题． 这类问题在近几年高考数学中已多次出现．     

几类关于“不等式成立条件”问题的辨析

许多数学问题 ,往往只是一字之差 ,但审题不严、理解有误 ,则会导致解题错误 ,可谓“差之毫厘 ,谬之千里” .不等式的“能”成立、“恒”成立与“恰”成立问题便是一例 .例 1　已知 f(x)是定义在 (-∞ ,4 ]上的减函数 ,若 f(m -sinx)≤ f 1+2m - 74 +cos2 x对一切实数x恒成立 ,求m的取值范围 .解　由题意可得不等式组m -sinx≤ 4 ,1+2m - 74 +cos2 x≤ 4 ,m -sinx≥ 1+2m - 74 +cos2 x对x∈R恒成立 m≤ 4 +sinx ,1+2m≤2 34-cos2 x ,m - 1+2m≥sinx +cos2 x - 74对x∈R恒成立 m≤ (4+sinx) min,1+2m≤ 2 34-cos2 xmin,m - 1+2m≥sinx +cos2…     

例谈高考中“参数范围”问题的求解策略

在近几年的高考中,求参数的取值范围问题成了高考的热点,对于学生来说也是难点,求参变量的取值范围是高中数学中的一个重要内容,其中不少问题靠传统方法不容易求解,下面笔者结合一些教学实践谈谈其应用.一、利用函数最值求参数的取值范围解题中遇到形如"要使f(x)>a成立"或"要使f(x)a恒成立或f(x)_max0,b∈R,函数f(x)=4ax~3-2bx-a+b.     

含参数恒成立问题的三种解法

<正>题目已知函数f(x)=xlnx/(x+1)和直线l:y=m(x-1),若对任意的x∈[1,+∞),f(x)≤m(x-1)恒成立,求m的取值范围;以上是2016年湖北省三月联考数学(理科)第22题,以下给出的三种解法体现了解决含参恒成立问题的三种基本策略.解法1(分离参数)     

不等式恒成立问题

<正>高中数学中恒成立问题是一个广阔的课题,它涉及很多的数学知识和思想方法,从现在高考试题中对恒成立的热点,主要包括以下三种:一、含参立求参数范围问不等式恒成立问题;二、方程恒成立问题;三、函数恒单调问题.1.分离参数此方法适用于不等式中参数和主元可分离的情况,方法要点是:把参数项和主元项分别移到不等号的两边,再转化为函数求最值     

解决“导数大题中恒成立问题”的几种常用方法

<正>我们在导数这一章节中经常会碰到含参数的不等式恒成立,求参数范围的问题.具体的方法有很多:比如分离变量求函数的最值,或者直接求导并讨论函数的单调性,得到f(x)_(min)>0或是f(x)_(max)<0,或者局部分参之后利用切线,数形结合得到参数范围.这些方法都是解决不等式恒成立问题常用的.