1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

异曲同工——98年一道高考试题的另解及一道竞赛题

今年高考文科和理科的最后一道题可以采用构造数列,从而用放缩法来求解．文科题：已知数列｛ｂｎ｝的是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１００．（Ⅰ）求数列｛ｂｎ｝的通项ｂｎ;（Ⅱ）设数列｛ａｎ｝的通项ａｎ＝ｌｇ（１＋１ｂｎ）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ...     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

一类解析函数族的极值点与支撑点

设Ｇ＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在│ｚ│〈１上解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－Σｎ＝２→∞ ａｎｚ＾ｎ，ａｎ≥０，Σｎ＝２→∞ ｎａｎ≤１，Σｎ＝３→∞ｎ（ｎ－１）ａｎ≤２ａ２｝。本文找出了函数族Ｇ的极值点与支撑点。     

运用数列极限运算法则解题的两点注意

数列极限运算法则 ,是中学生求数列极限的基础 .为了更好地掌握求数列极限的方法 ,学生在运用此法则时应注意以下两点 .1)如果ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=Ａ .ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=Ｂ ,那么ｌｉｍｎ→∞(ａｎ±ｂｎ) =Ａ±Ｂ .此法则只适用于求有穷数列的极限 ,不能用于求无穷数列的极限 .例 1　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1) .分析 :此题为有穷数列求极限 ,故可直接运用极限运算的加法法则 .解　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1)　 =ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 1 ｌｉｍｎ→∞2ｎ2 1 … ｌｉｍｎ→∞30ｎ2 1　 =0 0 … 0　 =0…     

微积分教学点滴

微积分是重要的一门课程，它的应用很广．学生在学习它时，有一定难度．现将我在教学中的点滴体会介绍出来，供同行参考．一、极限计算中学生易犯的错误的例子例１求ｌｉｍｎ→∞１＋２＋…＋ｎｎ２．错解ｌｉｍｎ→∞１＋２＋…＋ｎｎ２＝ｌｉｍｎ→∞１ｎ２＋ｌｉｍｎ→...     

关于Cauchy——D′Alembert判别法

直接使用Ｃａｕｃｈｙ判别法或者Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法来判别数项级数的敛散性时 ,有时计算极限难度大 .为了计算极限简单 ,本文提出灵活使用Ｃａｕｃｈｙ判别法和Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法的方法 .1　Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法定理 (Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 )对数项级数 ∑∞ｎ =1ａｎｂｎ(ａｎ >0 ,ｂｎ >0 ,ｎ∈Ｎ)有ｌｉｍｎ→∞ｎｂｎ =ｂ ,ｌｉｍｎ→∞ａｎ 1 ａｎ =ａ(或ｌｉｍｎ→∞ｎａｎ =ａ ,ｌｉｍｎ→∞ｂｎ 1 ｂｎ =ｂ) .(1 )若ａ <ｂ ,则数项级数 ∑∞ｎ=1ａｎｂｎ 收敛 …     

Dirichlet级数构成的拓扑线性空间和H￣p空间

本文研究了由Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数ｆ（ｓ）＝∑∞ｎ＝０ａｎｅ－λｎｓ所构成的拓扑线性空间，并讨论了与其对应的Ｈｐ空间的一些性质，其中０＝λ０＜λｎ↑＋∞，ｌｉｍｎ→∞ｌｏｇｎλｎ＝０，ｌｉｍｎ→∞ｌｏｇ｜ａｎ｜λｎ≤０，ｓ＝σ＋ｉｔ．     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

数学奥林匹克讲与练(22)

例题讲解１６９．ｎ个不同的实数组成一个递增序列写在第１行．将此序列的各项重排后写在第１行的下面,使各项依次对齐,作为第２行．再将这两行的各项分别相加,得到的ｎ个和数写下作为第３行．结果发现第３行的数也排成了递增的序列．求证：第１行与第２行的序列完全一致．证明　设第１行为ａ１＜ａ２＜…＜ａｍ＜ａｍ＋１＜…＜ａｎ,第２行为ｂ１,ｂ２,…,ｂｎ,它是ａ１,…,ａｎ的重排,则第３行为ａ１＋ｂ１＜ａ２＋ｂ２＜…＜ａｎ＋ｂｎ．若ａ１≠ｂ１,则有ａ１＝ｂｍ（２≤ｍ≤ｎ）．于是对每个ｉ：１≤ｉ≤ｍ－１,ａ１＋ｂ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１６设ａｉ０（１ｉｎ），ｎｉ＝１ａｉ＝１（ｎ２），并记ａｎ＋１＝ａ１，则对ｋ∈Ｎ，有不等式：（３）ｋｎ１－ｋｎｉ＝１（ａｉ２＋ａｉａｉ＋１＋ａｉ＋１２）ｋ２，且对左边不等...     

关于《通项方程的一种解法》一文的注记

《数学通报》１９９８年第４期《通项方程的一种解法》一文中的例３：已知数列｛ａｎ｝满足初始条件ａ１＝３,和递推关系ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ａｎ＋１（ｎ≥１）,求通项公式．对此例,笔者认为利用一维基本形的射影变换（见文［１］来解答,较为简捷．视ａｎ＋１＝３ａ...     

一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

两类数列变换在解题中的应用

利用数列｛ａｎ｝的如下两类变换：ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）及ａｎ＝ａ１ａ２ａ１ａ３ａ２…ａｎａｎ－１（ａｉ≠０,ｉ＝１,２,…,ｎ－１）不仅能简便地推导出等差数列和等比数列的通项公式,而且灵活运用它们还能简捷、...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

一个代数不等式与几类三角函数的最值

一个代数不等式与几类三角函数的最值马统一（白银市甘肃省煤炭工业技校７３０９１９）本文给出与文［１］定理对偶的一个代数不等式，并由此便可求得另四类三角函数的最值．定理设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ＋，且ａｉ＞ｂｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａｎ１－ｂｎ１）（ａｎ２...     

对一道高考试题的一点看法

对一道高考试题的一点看法４３００６２湖北大学数学系严启平１９９６年高考数学（文史类）试题第２１题及参考解答如下：设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比ｑ．解若ｑ＝ｌ，则有Ｓ３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝９ａ１．但ａ１...