逻辑知识初步(续一)

§2 概念 1 概念的概述概念是反映事物的本质属性的思维形式,它与感觉、知觉、表象有着质的区别。前者反映事物的具体形象,不可能区分事物的本质和非本质属性;后者是抽象地反映事物的本质,扬弃了事物的非本质属性。这样经过抽象和概括形成的概念,虽然离开了个别事物的具体形象,但它却更深刻地反映着客观现实。因此,概念是主观和客观的统一。数学概念,有些是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的。如几何中的点、线、面、平行、垂直、多边形、圆、多面体、球等概念都是直接从物体的形状、大小及位置关系抽象概括得来的,但     

《代数与几何基础》(张肇炽教授主编)一书评析

数学是研究现实事物的数量关系与空间形式的一门科学 .分析学、代数学与几何学是数学的三大基础 ,分析与代数侧重于数学中的“数”,而几何则侧重于数学中的“形”.坐标、向量、矩阵等概念的建立 ,将代数和几何紧密地结合在一起 ,代数为几何提供了研究方法 ,而几何也为代数提供了直观的几何背景 .事实上 ,线性代数中所讨论的“线性”概念来源欧氏几何、线性方程组理论和解析几何 ,线性空间的概念是几何空间的一种代数抽象 .变换的理论 ,如正交变换、仿射变换、射影变换等都是从几何中产生的 .线性代数中的很多重要概念 ,如矩阵的等价、相合、…     

例析概念教学的实施过程

<正>数学概念是指客观事物或现象的数量关系或空间形式在人们大脑中的反映.也就是说我们一旦对事物的本质属性产生了认识,就会在脑海中形成相应的概念.于数学学科而言,概念就是它的基础或构成细胞,是培养学生逻辑思维的关键性因素,学生只有形成了相应的概念,才能进行较好的思维.缺乏概念的支撑,不仅无法思维,更无法准确判断.1 趣味导入,激发灵感布鲁纳曾经说过：“学生若没有事先从直觉上接触过概念,贸然将概念以正规形式呈现在他们面前,     

找出“型”方能“行”，能力才能得提升——以“角平分线的综合应用”教学为例

<正>《义务教育数学课程标准(2011年版)》在几何方面的要求是:能从较复杂的图形中分离出基本图形,并能分析基本图形中的基本元素及其关系,利用几何直观进行思考,借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化,构建数学问题的直观模型,是探索和形成论证思路、进行逻辑推理的思维基础.同时具体提出了"数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识"十个核心概念,这十个核心概念本质上体现的是数学基本思想(数学抽象、数学推理、数学模型),     

对分形几何初步进入普通高中数学课程的思考

1　问题的提出在数学课程改革中 ,几何学科的改革历来是人们关注的焦点 .作为对高中课程设计的探讨 ,笔者想提出的一个问题是 :在设计新世纪的高中课程时 ,我们是否应该以一种创新的精神 ,挣脱传统欧氏几何体系的羁绊 ,站在时代和整个几何学发展的高度 ,全方位地审视对几何内容的处理 ,通过对现代数学新分支———分形几何学的初步知识在高中课程中的安排 ,使学生能更多地了解几何学的新发展 ,开拓几何思维的新空间 .分形几何是 2 0世纪 70年代创立的一门数学新分支 ,它研究的是广泛存在于自然界和人类社会中一类没有特征尺度却有自相似结构…     

从欧几里得《几何原本》到希尔伯特《几何基础》

数学研究的对象是"数"与"形",形的数学就是几何学.它是以直观为主导,以培养人的空间洞察力与思维为目的.从数学发展的历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid,约公元前330-275年)的<几何原本>.它被世界各国翻译成各种文字.它的印刷量仅次于"圣经",所以不少人称<几何原本>为数学工作者的"圣经".<几何原本>在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位.     

分形几何在高中数学中的渗透

在设计新世纪高中数学课程时,应当以一种创新精神,挣脱传统欧式几何体系的羁绊,通过对现代数学的新分支——分形几何的初步知识在高中课程中的安排,使学生更多地了解几何学的新发展,开拓几何思维的新空间.分形几何内容满足新世纪课程设计理念要求,具有“现实性、趣味性与挑战性”.     

《高等数学》中的“爱尔兰根纲领”及其应用

"爱尔兰根纲领"是几何学史上一篇划时代的文献,它提出的"变换下的几何不变量"思想对几何、代数乃至其后整个数学的发展都产生了广泛而深刻的影响.然而,这一重要思想在高等数学中的体现和应用却鲜为人注意.为此,本文详细探讨了"爱尔兰根纲领"的思想在高等数学内容中的体现以及它在高等数学中的应用.     

概率思维的随机性和创造性

古希腊哲学家亚里斯多德在其著作<记忆与联想>一书中指出:"我们的思想是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反事物或者与它相接近的事物开始的,以后,便追寻与它相关联的事物,由此而产生联想".波利亚也指出:"假如你想把它们的相似之处化为明确的概念,那么你就把相似的对象看成是可以类比的.假如你成功地把它变成清楚的概念,那么你就阐明了类比关系."在高中概率中既有形式性类比与迁移,也有实质性类比与迁移.所以,在高中概率知识延伸拓广过程中,常常要借助类比、联想、迁移,用作启发诱导,以寻求思维的变异和思维的发散,特别是概率思维的随机性和创造性.     

評С.П.菲尼可夫微分幾何學教程

Ⅰ本书主要特点为将现代微分几何学的两个主要思想放在首要地位,并作为一切叙述的基础.这就是局部近似的思想和几何概念不变性的思想. a)局部近似的思想系与微分学——微分概念与泰勒公式——同时发生.它所以在微分几何里面出现,是由于微分几何学中一切概念都由研究流形上一点邻域内的近似表示得来的,而这些近似表示是用座标的微分造成,故近似的级能藉所用微分的级来定义.当近似的级逐步升高,微分几何的新事实亦层出不穷.空间曲线的理论就是     

“相似三角形的应用”的教学设计与实施

教学"相似三角形的应用"一课时,教师从萨摩斯隧道问题引入.学生给出构建模型的两种方法,方法一与古人类似,体现了几何学的历史价值和认知的历史相似性,方法二优于古人.据此,学生发现利用数学知识可以解决实际问题,进而感受到数学的魅力和价值.学生在分享交流过程中,锻炼了语言表达能力,增强了自信心.     

数学概念是训练思维的好材料——以“方差”公式的教学为例

概念是思维的基本单位,初中数学教学除了要体现概念的本质和外延,还应该注重概念的运用.只有基本概念清晰、理解正确,思维才会敏捷,才能达到灵活运用的目的.只有准确地掌握基本概念,才能对数学问题进行正确地分析、判断、推理和论证.笔者以方差教学为例,就如何进行概念的教学谈谈自己的教学设计及浅见.     

基本图形在几何证题中的作用

几何主要研究对象是空间形式。在平面几何中,这个“空间形式”就是平面图形。研究空间形式,就是研究这些图形的性质,就是研究从一些基本图形抽象出来,并且反映它们的性质的概念、公理、定理及其推论。只有在认识上把两者结合起来,才能使这个     

平面有限变形与转动的Moiré几何学

本文论证有限变形理论[12]中的拖带坐标系描述法和近年来发展的实验应变分析的Moiré方法,在数学基础上是同一.因此从Moiré几何学进一步肯定文[12]提出几何场论的重要实用意义。     

巧用极坐标解决解析几何问题

<正>解析几何是高中数学的重要内容,其本质是用代数的方法研究几何问题,其核心是"数形结合"的思想方法,其对学生能力的要求主要体现在思维能力和运算能力上.由于解析几何内容的综合性及运算的复杂性,所以要正确地认识和理解解析几何的思维特点和方法,从题目中的几何元素分析它的几何特征并进行有效的代数化,对于题目中的代数的结论(方程或数值)要学会分析它的几何含义.只有将几何的特征分析得非常充分,代数化的过程才     

空间想象能力的培养

空间想象能力不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素,而且是形成和发展创造力的源泉. 空间想象能力是数学教学中必须培养的基本数学能力之一,在几何学中我们用点表示位置,点的不同组合构成空间各种形态的几何形体,根据几何教学的发展趋势看,几何直观,几何变换与几何应用的要求越来越加强,说明了培养空间想象能力在几何教学中的中心地位,在教学中我们应该从以下几个方面培养学生们的空间想象能力.     

规范概念教学缓解畏难情绪

在初中学习阶段,数学学习主要包括概念理解、技能训练和问题解决等方面．这其中概念理解最为基本．从数学本身的发展来看,数学概念的来源一般有两方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得,二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获,且一般具有抽象性、多元性、层次性和系统性．因此,数学概念的学习是学习数学的基本语言及语法,形成数学学习技能及问题解决能力的前提和基础．但在现实的教学中却发现,部分初中生在学习数学概念上存在着畏难情绪,其产生原因有（1）厌烦纷繁复杂的数学概念（包括定理及公式）,不愿学、读、做．（2）错误地认为数学概念的学习只是简单地背诵及机械地操作,养成不正当的数学学习方法,影响数学其他能力的发展．（3）数学概念能基本应用,但不能灵活多变,影响其进一步学习的积极主动性．     

把分形几何带进中学生的课堂

分形几何是七十年代才出现的一门新的几何学 ,它的创始人是美国人曼德勃罗 .分形几何 ,用最简短的话来说 ,就是大自然的几何 .欧氏几何是关于直觉空间形体关系分析的一门学科 ,它研究的是直线、圆、立方体等规则的几何形状 ,这些形状通常是人为的 .但是 ,“天上的云不是球形 ,地上的山不是圆锥形 ,闪电也并不沿直线运行 .”曼德勃罗这样写道 ,他提出需要一种新的数学工具去描述、去解释真实的大自然 ,这新的工具就是他的分形理论 .分形这个词来自拉丁语 ,它的动词的意思是“打碎”、形容词的意思是“破碎的、不规则的”等 .确实 ,大自然中的…     

遵循认知规律 加强概念教学

数学概念在数学教学中有着极其重要的地位．因为正确理解概念是掌握数学基础知识的前提,只有概念明确,才能判断恰当、推理有据、方法得体、思维流畅;只有深刻理解概念,才能灵活运用知识解决实际问题．但是,对于概念的学习,在不少的学生头脑中并没有引起足够的重视,他们忽视基本概念,偏重于解题;忽视课本,偏重于资料．错误地认为学习数学,只要多解题就够了．这是一种不切实际本末倒置的糊涂认识．本人从教学实践中体会到,只有遵循认知规律,加强概念教学,才能培养学生分析问题和解决问题的能力．下面是自己的几点粗浅体会．１　…     

中学生几何推理能力的培养研究

中学生的几何思维水平和推理能力存在着一定的缺陷,主要体现在:几何语言的掌握和使用不够规范、逻辑推理过程不够严谨等方面.这些都影响着学生几何推理能力的发展.为了促进中学生几何推理能力的发展和几何思维水平的提升,在结合相关的教学实例的基础上,针对性地提出了3种策略.