也谈实二次域类数的可除性

设ｄ无平方因子，ｈ（ｄ）是二次域Ｑ（ｄ）的类数，本文证明了：若１＋４ｋ２ｎ＝ｄａ２，ａ，ｋ＞１，ｎ＞２为正整数，且ａ＜０．９ｋ３５ｎ或ｎ的奇素因子ｐ和ｋ的素因子ｑ均适合（ｐ，ｑ－１）＝１，则除（ａ，ｄ，ｋ，ｎ）＝（５，４１，２，４）以外，ｈ（ｄ）≡０（ｍｏｄｎ）．同时，我们猜测：上述结果中的条件（ｐ，ｑ－１）＝１是不必要的．     

谈谈质数

自然数是指　１,２,３,…之一;整数则是指　…,－２,－１,０,１,２,…之一;自然数即正整数;二整数间可以定义和、差、乘运算,其结果仍为整数,即“整数集合对加、减、乘运算是自封的”;定理１（欧氏除法）：任二整数ａ及ｂ（＞０）,必有整数ｑ及ｒ满足　ａ＝ｂｑ＋ｒ,　　０≤ｒ＜ｂ若在上式中ｒ＝０,即ａ＝ｂｑ,则称ａ为ｂ之倍数,或ｂ为ａ之因数,记为ｂ｜ａ．否则记为ｂｘａ．自然数可以分成三类：１：只有自然数１为其因数;ｐ：恰有１与ｐ为其因数,这种数称之为质数;ｎ：除１与ｎ之外,还有一个因数,这种数称为复…     

完美数与黄金分割比

正2000年,意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖得主奥迪弗雷迪(P.Odifreddi)出版了《20世纪的数学》一书,阐述了上个世纪取得重大突破的30个数学问题,随后他提出了未解决的4个难题,其中首先提到的便是"完美数问题".完美数(perfect number)是指这样的正整数,它自身以外的因数之和恰好等于其本身,即满     

魅力无穷的完全数

在渺渺茫茫的数海中 ,蕴藏着许多迷人的数的珍珠 ,其中有一颗千古珍稀———完全数 .1　发现完全数的先驱公元前 3世纪以前 ,古希腊人在对数的因数分解中 ,发现了有的数其因数 (除本身外 )之和居然等于自身 ,他们称之为完全数 .例如 6(除自身外 )的因数为 1、2、3 ,而其和 1 2 3 =6 ,故 6是完全数 .据说毕达哥拉斯认为“6象征着完美的婚姻以及健康和美丽 ,因为它的部分是完整的 ,并且其和等于自身” .后来又发现 2 8、496、81 2 8共四个完全数 .在柏拉图 (Ｐｌａｔｏ ,公元前 42 7—前 349)《共和国》一书中首见完全数的文字定义 :“一个…     

埃拉托塞尼与素数筛子

自然数是人们最早研究的数学对象,又是最有扭力的、从中能产生无穷多个问题的数学对象,而且从不同的角度探讨自然数,就会形成不同的问题．例如,从自然数所含的因数的个数来看,可把所有的自然数分为三个部分：（1）仅有一个因数的数工;（2）有且仅有两个因数的数,即除1和自身以外,没有别的因数的数,如2,3,5,7,…等,称为素数（质数）;（3）有三个以及多于三个不同的因数的数,即除1和自身以外,还有其他因数的数,如4,6,8,ZO。…等,称为复合数,简称合数．如我们已经知道的,素数就构成了数学中的许许多多重要的课题,如…     

关于Fuzzy度量点式刻画的一点注记

本文中重新定义由一个点式Ｆｕｚｚｙｐ．ｑ．度量ｄ所诱导的Ｆｕｚｚｙｐ．ｑ．度量｛Ｄｒ｜ｒ＞０｝（代替［１］中的相关重域映射族）．在新的定义下，点式Ｆｕｚｚｙｐ．ｑ．（ｐ．）度量与Ｆｕｚｚｙｐ．ｐ．（ｐ．）度量之间有令人满意的──对应关系．     

《关于命题的讨论》一文的一点瑕疵

文 [1 ]旨在对高中新教材中新增加的“简易逻辑”内容进行解释说明 ,对于不熟悉这部分内容的中学师生颇有参考价值 .但是该文中有一点瑕疵 ,今冒昧指出 .文 [1 ]在谈到关于命题的否定与否命题这一问题时认为 :“若ｐ则ｑ”的否定是“若ｐ则非ｑ” .这是一个错误观点 .事实上 ,“若ｐ则ｑ”等价于 (「ｐ)∨ｑ(文 [1 ]在谈到关于逻辑联结词与复合命题时也是这样说的 ) ,其否定应该是ｐ∧ (「ｑ) .ｐ∧ (「ｑ)读作“ｐ且非ｑ” ,习惯上也可以说成“虽然ｐ ,但非ｑ” .“若ｐ则非ｑ”等价于 (「ｐ) ∨ (「ｑ) .当ｐ为假时 ,「ｐ为真 ,于是 (「ｐ…     

"若p则q"的否定是"若p则非q"吗

文 [1 ]认为 :“若ｐ则ｑ”的否定是“若ｐ则非ｑ” .文 [2 ]也说 :“应该明确 ,命题的非只否定结论” .而文 [3 ]则运用这样的方法 ,作出了命题 :ｐ :可以被 5整除的整数 ,末位是 0 .非ｐ :可以被 5整除的整数 ,末位不是 0 .并以这一对命题同为假命题作为反例 ,对新教材非ｐ的真值表提出质疑 .“若ｐ则ｑ”的否定果真是“若ｐ则非ｑ”么 ?否 !逻辑学告诉我们「 (ｐｑ) 「 (「ｐ∨ｑ)　　蕴涵等值式 「 (「ｐ) ∧ (「ｑ)　ＤｅＭｏｒｇａｎ律 ｐ∧ (「ｑ)　　　双重否定律也就是说“若ｐ则ｑ”的否定已不再是一个条件命题 (或蕴涵命题[4 …     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1．如果两个数的积中,第一个因数增加1,而第二个因数减少1,则它们的积增加2020;如果相反,第一个因数减少1,而第二个因数增加1,这时,两数的积发生了怎样的变化?(山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户(252600)刘继征)2．已知长方体的一块正面和一块顶面的面积之和等于2022平方厘米,如果长,宽,高都是质数,求长方体体积的最大值．     

也谈两周期函数之和的最小正周期

也谈两周期函数之和的最小正周期湖北钟祥一中常绪珠文［１］证明了如下定理：“设ｆ１（ｘ）的最小正周期Ｔ１＝Ｐａ，ｆ２（ｘ）的最小正周期Ｔ２＝ｑａ（这里ｐ、ｑ是自然数．（Ｐ，ｑ）＝１，且ｐ≠ｑ，即Ｔ１≠Ｔ２，ａ为正实数），则：Ｔ＝ｐｑａ（Ｔ１、Ｔ２的最小...     

完全数的性质及其应用

如果一个整数能表示成它的除了本身以外的所有约数的和,那么这个整数叫做完全数.比如6,除了6以外,它的约数有1,2,3,而6=1 2 3。所以6是完全数。又如28,除了28以外,它的约数有1,2,4,7,14,而28=1 2 4 7 14,所以28是完全数。     

一道“条件不足”数列题的六种解法

有这样一道数列题 :已知等差数列 {ａｎ}中 ,Ｓｐ=Ｓｑ(ｐ≠ｑ) ,求Ｓｐ ｑ的值 .学生解此题时 ,由等差数列求和公式和Ｓｐ=Ｓｑ 列出等式 .因为未知数太多而无法解下去 ,误以为此题条件不足 ,其实 ,此题还是有多种解法的 .解　 [方法 1]设该数列的公差为ｄ ,由条件得ｐａ1 12 ｐ(ｐ - 1)ｄ =ｑａ1 12 ｑ(ｑ - 1)ｄ ,整理得(ｐ - ｑ)ａ1 12 ｄ(ｐ - ｑ) (ｐ ｑ - 1) =0 ,∵ｐ≠ｑ ,∴ａ1 12 ｄ(ｐ ｑ - 1) =0 .∴Ｓｐ ｑ=(ｐ ｑ)ａ1 12 (ｐ ｑ) (ｐ ｑ - 1)ｄ=(ｐ ｑ) [ａ1 12 ｄ(ｐ ｑ - 1) ]=0 .[方法 2 ]　∵Ｓ…     

一类可解的（q）－群

有限群Ｇ叫（ｑ）－群，如果Ｇ中每个次正规子群均为拟正规子群，群Ｇ叫Ｅｑ－群，若Ｇ中每个子群在Ｇ中拟正规或自正规，有限群Ｇ叫内Ｅｑ－群，如果Ｇ本身不是Ｅｑ－群，但Ｇ的每个真子群是Ｅｑ－群，本文确定了Ｅｑ－群的结构与内Ｅｑ－群的分类．     

一类可解的（q）－群

有限群Ｇ叫（ｑ）－群，如果Ｇ中每个次正规子群均为拟正规子群，群Ｇ叫Ｅｑ－群，若Ｇ中每个子群在Ｇ中拟正规或自正规，有限群Ｇ叫内Ｅｑ－群，如果Ｇ本身不是Ｅｑ－群，但Ｇ的每个真子群是Ｅｑ－群，本文确定了Ｅｑ－群的结构与内Ｅｑ－群的分类．     

关于自同构群方程｜Aut(G)｜=p~2q~2

本文给出满足｜Ａｕｔ（Ｇ）｜＝ｐ２ｑ２的有限群Ｇ的完全分类，ｐ和ｑ是不同的素数．     

关于有界对称域上的混合范数空间

本文研究了Ｃｎ中有界对称域Ω上的混合范数空间Ｈ（ｐ，ｑ，　）其中０＜ ｐ＜　，０＜ｑ＜　，　是正规函数，给出了Ω上全纯函数ｆ的分数导数ｆ［β］和 分数积分ｆ［β］属于（ｐ，ｑ，）的等价条件。应用这些结果，就两种情形０＜ｐ≤２， ０＜ｑ＜　和２≤ｐ＜，０＜ｑ＜ ，用全纯函数ｆ的展式中的系数，分别给出了 ｆ　Ｈ（ｐ，ｑ，）的必要条件和充分条件，并证明了多调和函数ｕ组成的混合范数空 间ｈ（ｐ，ｑ，）（０＜ｐ，ｑ＜　）是自共轭的．     

退缩抛物方程整体解渐近性与轨道有界性

本文研究形如 的退缩抛物方程整体解与平衡解之间的关系和轨道在Ｗ１,ｐ０（Ω）－中的有界性．这里面△＝ｄｉｖ（｜　ｕ｜ｐ－２ｕ）,１＜ｐ＜Ｎ,ｐ＜ｑ＜ｐ＝ｐＮ／Ｎ－ｐ,Ω是ＲＮ（Ｎ≥３）的中具有光滑边界的有界区域．     

一类超椭圆曲线的整点个数

设ｎ是大于２的工整数，Ｄ是无平方因子正整数，分别是Ｋ的理想类群和类数．对于正整数ｍ，设ｇｋ（ｍ）是Ｉｘ中阶数等于ｍ的理想类的个数．本文证明了：超椭圆曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｄｘ２－４ｙｎ＋１＝０上整数点（ｘ，ｙ）的个数不超过ｍａｘ（８，２１６４Ｐ８１ｇｋ（Ｐ）），其中ｐ是ｎ的奇素因数．     

一类分数次算子在加权Herz型Hardy空间上的有界性

证明了一类分数次算子的ＨＫ_ｑ_１~（ａ,ｐ）（ｗ_１;ｗ_２~ｑ１）到Ｋ_ｑ_２~（ａ,ｐ）（ｗ_１;ｗ_２~ｑ２）和ＨＫ_ｑ_１~ａ_１~ｐ（１,ｘ~（βｑ_１）到Ｋ_ｑ_２~ａ_１~ｐ（１,ｘ~（βｑ_２）的有界性．     

配方(下)

５　求抛物线的顶点、焦点、焦距和准线设ｌ是一条确定的直线,Ｆ是一个确定的点,距离ｌ和Ｆ等远的点的轨迹叫抛物线,为了描述抛物线,在平面上建立坐标系,设Ｆ点到直线ｌ的距离等于ｐ;再设Ｆ点的坐标是（０,１２ｐ）,直线ｌ的方程是ｙ＝－１２ｐ．那么抛物线上一点（ｘ,ｙ）就应该满足条件（ｘ－０）２＋（ｙ－ｐ２）２＝（ｙ＋ｐ２）．化简上式,得　ｙ＝１２ｐｘ２．（１３）（１３）就叫抛物线的方程,ｌ叫准线,Ｆ叫它的焦点,ｐ叫它的焦距,直线ｘ＝０是它的对称轴,而对称轴和抛物线的交点（０,０）叫它的顶点;图３　抛物线…