一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式:设a,b,c>0,a b c=1,则ab2 cb bc2 ac ca2 ba≥2.文[1]把这个不等式作了如下推广:设a,b,c>0,a b c=1,则λba 2 cb λcb 2 ac λac2 ba≥λ 23(λ≥1).笔者对这个优美不等式作了如下推广.定理1设a,b,c>0,且a b c=1,则λa2 μbb c λbc2 aμc λca2 bμa≥λ     

一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏.笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题,并给出了解法.这些新题大多具有优美的结构,并能用巧妙的方法进行解答,在数学教学中有较大的参考价值.题后括号内注明了该题的命题者.1设a,b,c>0,证明不等式(a b)(a c)>abc(a b c).(贝·伊·卡斯开维奇)证(a b)(a c)=a2 ab ac bc>ab ac bc=(ab ac bc)2=a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)>abc(a b c).2设a,b,c,d>0,证明不等式(ab cd)(ad bc)(a c)(b d)≥abcd.(阿·贝·斯米尔诺夫)证不影响结论的一般性,可认为ab cd≥ad bc,而此时…     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

两个关于三角形边角关系的结论

定理 1　设a、b、c为△ABC的三边 ,当an,bn,cn(n∈N+,n <5 )组成等差数列时∠B≤ 60°.证明　当n=1时 ,2b=a+c由cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 14(a+c) 22ac =34× a2 +c22ac - 14≥12 　即B ≤ 60°当n =2时 ,2b2 =a2 +c2cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 12 (a2 +c2 )2ac =12 ·a2 +c22ac ≥ 12 　即B≤ 60°当n =3时 ,12 (a3+c3)≥ ( a+c2 ) 3 (a3+c3) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a+c) 3(a2 +c2 -ac) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 2 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 23 a2 +c2 -ac≥b2 B ≤ 60°当n =4时 ,(a-c) 4 …     

用不等式sum from i=1 to n ((a_i)~2)≥2/(n-1)≤∑a_ia_j(1≤i

朱纯刚 《数学通讯》2006,(3)

与一道USAMO试题有关的不等式链

第 2 6届美国数学奥林匹克有一道试题 :对 a、b、c∈ R ,有( a3 b3 abc) -1 ( b3 c3 abc) -1 　 ( c3 a3 abc) -1 ≤ ( abc) -1 . ( 1)本文将通过以下定理证得与 ( 1)有关的不等式链 .定理　设 x、y、z∈ R ,且 xyz =1,则3x y z≤ ∑ 1x y 1≤ ∑ 1x 2≤ 1, ( 2 )其中 ∑ 表示对 x、y、z的轮换求和 .证明　设 x y z =a,xy yz xz =b,由xyz =1,易知 a≥ 3,b≥ 3,a2 ≥ 3b.且x2 y2 z2 =a2 - 2 b,x2 y xy2 y2 z yz2 z2 x zx2 =ab - 3.经运算可得　 ∑ 1x 2= ( y 2 ) ( z 2 ) ( x 2 )…     

不等式a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca及其应用

本文介绍一个常见的不等式 ,把它当作一个定理 ,并围绕这个定理及其推广精选了从易到难各档次的五个题目加以解答 ,意在开发它的功能 ,加强它在解题中的运用 .定理　a ,b ,c∈R ,则a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .证明　∵ 2 (a2 +b2 +c2 ) =(a2 +b2 ) + (b2 +c2 ) + (c2 +a2 )≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .“ =”号成立时当且仅当a =b =c .推广　x ,y ,z∈R+ ,a ,b ,c∈R ,那么　 y +zx a2+ x +zy b2 + x +yz c2 ≥ 2 (ab +bc+ca) .证明　∵ yxa2 + xyb2 + zyb2 + yzc2 +xzc2 + zxa2 ≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴推广成立 .该定理…     

阿·尼·瓦西列夫不等式的再推广

文[1]介绍了阿.尼.瓦西列夫不等式:设a,b,c为满足a b c=1的正数,则a2 bb c bc2 ac ca2 ba≥2(1)文[2]将其推广为设a,b,c为满足a b c=1的正数,则λa2 bb c λcb2 ac λac2 ba≥λ2 3(λ≥1)(2)文[3]将(2)式中的λ≥1改进为λ≥41,并提出λ的最好正的下界是什么?借助杨路教授     

再探三角形的一种边角关系

以下用a ,b ,c分别表示△ABC中角A ,B ,C的对边 ,文 [1 ]已证得 .定理 1　若an,bn,cn(n =1 ,2 ,3,4 )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .定理 2　若an,bn,cn(n∈Z)成等差数列 ,则B≤ 6 0°.实际上 ,还可将定理 2推广为 :定理 3　若an,bn,cn(n <0 )成等差数列 ,则B≤ 6 0°.证　因为a ,b ,c∈R+,an+cn2 =bn,所以bn≥ancn .又n <0 ,所以b2 ≤ac ,得(a -c) 2 ≥ 0≥b2 -ac,a2 +c2 -b2 ≥ac ,cosB =a2 +c2 -b22ac ≥12 ,B≤ 6 0° .猜想 1　若an,bn,cn(n≤ 4 ,n∈R )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .下面是对猜想 1的研究 :由an+cn=2bn,可不妨设an≥bn≥…     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=     

关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献   

一个美丽不等式的推广

本刊文[1]证明了这样一个美丽不等式:若a、b、c为正数,则b ac c ba ac b>2.将其推广,笔者得到定理若a、b、c为正数,n为不小于2的正整数,则nab c nbc a nca b>2.证明:不妨设a≤b,a≤c则bn-1(c a)≥bn-2a(b c)≥an-1(b c),na b-nb=a b-b(na b)n-1 … (nb)n-1≤nnabn-1.[1][1]这式子的分母=(na b)n-1 (na b)n-2nb … na b(nb)n-2 (nb)n-1.于是,na b-nbnc a…     

一道联赛不等式的简证与溯源

题目(2010年全国联赛广东省预赛)设非负实数a,b,c满足a+6+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc). 文[1]给出该不等式的一种证法,本文将给出它的另外两个简证并谈谈该不等式的源, 证明先证左边9abc≤ab+bc+ca<=>(b+c)≥(9a-1)bc<=>a(1-a)≥(9a-1)bc.     

综合题新编选登

题 1 1 1 　如图 1,半球O的半径为R ,它的内接长方体ABCD A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上 ,则该长方体AC1的所有棱长之和的图 1最大值为 .解　如图 1,设AB =a ,BC =b ,AA1=c,在Rt△A1AO中有a2 +b24 +c2=R2 .∵ 8c2 + 54a2 + 54b2=(4c2 + a24 ) + (4c2 + b24 ) + (a2 +b2 )≥ 2ac +2bc + 2ab .在上不等式两边同加上a2 +b2 +c2 得9(c2 + a2 +b24 )≥ (a +b +c) 2 .即 (a +b +c) 2 ≤ 9R2 ,则a +b +c≤ 3R .∴所有棱长之和l=4 (a +b +c)≤ 12R .“ =”成立时有a =b =4c=4R3.∴答案为 12R .试题背景　本题根据《数学通讯》2…     

二元柯西不等式的一个类似

二元柯西不等式已知a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号). 二元柯西不等式的类似已知a,b,c,d∈R,求证(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(当且仅当ad=bc时取等号).读者用分析法容易证得它们,下面给出后者的运用.     

第42届IMO第2题隔离的推广

第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k…     

Janic加强不等式的逆向思维

本文约定 :△ ABC的三边长、半周长及三边上的高和旁切圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、p、ha、hb、hc、ra、rb、rc、r,∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .R.R.Janic曾建立如下不等式 :在△ ABC中 ,有　　∑ rahb+hc≥ 32 (1)文 [1]、[2 ]将不等式 (1)加强为 :　 rahb+hc . rbhc +ha . rcha +hb ≥ 18(2 )本文将给出不等式 (2 )的逆向不等式 :　 rahb+hc. rbhc +ha. rcha +hb≤ p22 16 r2 (3)证明　由常见恒等式 ha =2 rpa ,abc =4Rrp,rarbrc=rp2及常见不等式9abc≤ ∑a∑bc,∏(b+c)≥ 89∑a∑bc,∑bc≤ 43p2知rahb+hc . rbhc+ha . rcha …     

用“互叠法”证明分式不等式

对于一类分式不等式的证明题,如果大胆将左、右两边“互相叠加”,兴许产生意料不到的奇迹! 定理1 欲证明不等式：P＞Q, 只须证明不等式：P Q＞2Q。这个定理1太浅显了。例1 设a＞b＞c,求证：a~2/(a-b) b~2/(b-c)＞a 2b c。(第32届乌克兰数学竞赛试题) 证明设P=a~2/(a-b) b~2/(b-c),Q=a 2b c；考察新不等式：P Q=(a~2/(a-b) a-b) (b~2/(b-c) b-c) (2b 2c)＞2a 2b (2b 2c)=2(a 2b c)=2Q,显然,P Q＞2Q,依定理1,知P＞Q,故原不等式获证。 (注：此处不能取“=”,因为a~2/(a-b) a-b≥2a,b~2/(b-c) b-c≥2b等号不能同时成立)