例说利用对称优化解题

一道优秀的数学题能体现数学知识、信息与思想方法的合理搭配与有机结合 ,成为数学对象及其关系在一定逻辑形式下组成的一个关系结构 ,在教学过程中 ,适时、适度地引导学生去弄清问题的关系结构 ,挖掘数学问题中关系结构的和谐性与对称美 ,能简化运算 ,优化解题思路 .是实现“发展学生智力 ,培养学生能力”的重要手段 .1　熟悉常见的对称关系　抓住问题中连接数学元素之间某些对应关系(如相等、互逆、互否、同解等 )的对称性 ,通过互逆关系合理变更问题的结构 ,使问题的解决明朗化 .例 1　若函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的反函数为 ｇ(ｘ) ,且ｆ(ａｂ) …     

对称思想在解题中的应用

对称思想在数学问题中是广泛存在的.近几年的高考中都占有一定的比例.如果能发现或挖掘问题中的对称特征,为解题会带来意想不到的效果. 一、抓住图形的对称特征 例1 在平面直角坐标系中,一个圆心在(a,b)的圆包含原点,设此圆在第一象限及第三象限的面积之和为S1,在第二象限及第四象限的面积之和为S2,求S1-S2的值. 分析如图1,S1=SOAPC SOBD,S2=SODQA SOBMC.由于圆的半径未知及组成S1、S2的四个部分的面积都不便用式子计算,要想用代数计算求S1-S。是很困难的.但是,注意挖掘图     

对称在概率解题中的应用

对称的概念在数学中有着非常广泛且重要的作用.在概率的计算中也常常利用这一技巧,例如在古典概型样本空间的选取时,着眼点就是要使样本点出于对称.因为古典概型和几何概型都具有对称性,也是古典概率论研究中最重要的两种模型,下面给出几个这两种模型下利用对称计算的例子.1对称在古典概型中的应用例1n对夫妇任意地排成一列,求每位丈夫都排在他的妻子后面的概率.解法1排列的总数是(2n)!.为了计算有利场合的个数,可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列,共有n!种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍,她显然只有1种可能的位置,即排在最…     

概率知识应用解题举例

概率是研究随机现象的数学分支,在每年的新课程高考卷中,它主要是以填空题、解答题形式出现,重点考察可能事件的概率和互斥事件有一个发生的概率;相互独立事件同时发生的概率,以及离散型随机变量的分布列及特征数.下面我们列举实际生活中的一些应用概率知识进行简单的判断与决策的应用题,再作一举例,旨在能够深刻领会这些知识,并能举一反三.1　上网接口问题例1　某局域网的出口处有5条支线,设每条支线在1小时内平均上网时间为2 0分,并且每支线是否上网是随机的,且互相独立,问在此出口处应设置几个接口,使5条支线能随机使用这几个接口之一时,…     

解题入手几例

解题入手几例张未生（山西长治六中０４５０００）解数学题是学生能力的体现过程．许多同学感觉自己数学知识掌握不少，但面临一些具体数学习题仍感到茫然无从下手．笔者针对这一情况，列举几例，分析其特点，从而指出寻求解题入手途径的“蛛丝蚂迹”．一、从不和谐因素入...     

利用对称思想解题

提及对称性,人们往往注意到的是图形的对称性,而忽视数学式的对称性．数学美中的对称美,其实蕴含着图和式这两个方面的对称美．一旦我们能发掘并利用其对称的性质,常常能收到简单、奇异的解题功效．因此,在解题和教学的过程中,我们应注意渗透和利用对称思想,培养和发展学生的创造性思维．１　利用对称思想,简化解题过程例１　求证：ｘ２－ｙｚ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＋ｙ２－ｚｘ（ｙ＋ｚ）（ｙ＋ｘ）　＝ｘｙ－ｚ２（ｚ＋ｘ）（ｚ＋ｙ）．分析　待证式显然可变形为ｘ２－ｙｚ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＋ｙ２－ｚｘ（ｙ＋ｚ）（ｙ＋ｘ）＋…     

应用曲线的参数方程解题几例

曲线的参数方程有两个显著的特点:一是它把曲线上点的坐标(x,y)用同一个参数的两个函数式分别给出,从而把一个方程转化为两个方程:一是由于它实际上是一个二元方程的一般解,因而也就给出了曲线上任意点坐标的解析表达式。利用曲线的参数方程的前一个特点,不仅能方便地画出方程的图形,而且还能使得求某些动点的轨迹方程和解答某些证明题变得十分容易。利用曲线参数方程的后一个特点,又能使我们解答与二次曲线有关的问题比如极值问题得到简化。把曲线参数方程在这些方面的应用通过例题告诉学生,实践证明,     

浅析对称化构造在解题中的应用

<正>在高中数学很多问题中,经常会遇到题设条件为二元代数式的和或积为定值的问题,即已知f(x,y)+g(x,y)=m或f(x,y)·g(x,y)=n(n>0),m,n是定值.利用这样的条件求解范围或者证明结论时,常常因为变量的多元性而导致题目看上去难以下手.处理这样的条件,常用到的方法为对称化构造.这样的思想在求解不等式问题、三角函数问题、圆锥曲线的中点弦问题和极值点偏移等问题中都有广泛应用.     

数形结合解题几例

数形结合解题几例王建国（江苏省东台市中学２２４２００）用数形结合的思想方法研究问题，就是注意数与形两个方面的结合，或者把几何图形转化成相应的数量关系问题，运用代数、三角等知识去讨论；或者把数量关系转化成相应的图形性质问题，借助于几何知识加以解决．这种...     

用几何变换解题几例

<正>有些几何题,题设和结论的关系比较隐秘,有时条件比较分散,很难找到解决问题的切入点.若借助于几何变换,将图形作翻转、旋转、相似等变换,有些问题就可迎刃而解.下面举例说明.例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的平分线,求证:BD>CD.证明(作轴对称变换)如图1,因为AD为     

函数定义域解题几例

函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终.定义域是函数的三大要素之一,它看似简单,但是如果在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途.在解函数题时强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的思维品质是十分有益的.本文结合实例谈谈如何用好函数定义域.1确定函数定义域的原则当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域     

平方法解题几例

在些题目若利用一般方法可能很难解,而利用平方法解就变的很容易了,下面举例说明.例1已知a=7～(1/2)+5～(1/2),     

物理知识在数学解题中的应用

物理学和数学存在着密切的联系,许多物 理问题最终都能转化为一个数学问题去解决, 也有不少文章讨论了利用数学知识求解一些高 中物理问题,但介绍物理思想在数学解题中的 应用却不多见,本文略举几个这方面的例子. 著名的美国数学教育家波利亚(Polya,G.) 在《怎样解题》一书中提到:“量纲检验是一种广 为人知的快捷而有效的检验几何或物理公式的 方法”.我们知道,一个等式两边必须具有相同 的单位(否则这个等式就不成立)…     

挖掘隐含条件解题几例

<正>所谓隐含条件,是指隐藏在题目背后的、未直接给出的条件.在数学解题中,善于分析和挖掘隐含条件,对于正确解题或简洁解题起着重要作用,请看下面的例子.例1 (印度民谣,有改动)"有一群猴子(总数不超过30只),在小树林中玩耍,总数的1/8的平方只猴子在欢乐地蹦跳,还有12只猴子愉快地啼叫,小树林中的猴子,总共有多少只?"     

用消去法解题的几例

解方程组常用的代入法或加减法的实质是逐步消元,先由多元转化为单元再求解。这种解题方法具有广泛的应用,数学中的某些运用消去法的求值问题和证明问题等等就是消元法的具体应用。 我们所说的消去法,就是由一些元素间的已知等量关系,通过有限次的恒等变换,消去其中某些元素,而得出其他一些元素问的等量关系的解题方法。本文     

数学解题中的联想几例

在观察的基础上,联系已有的知识、经验对研究的对象进行思维操作的方法称为联想. 联想的方法很多,在数学中,它是进行类比、猜想、归纳等似真推理的基础,又是回忆旧知识, 发展新知识的重要手段,是发散思维的重要形式.实际上平时做课后练习就是依靠对课堂讲授知识的联想来解决的.下面介绍解题中的联想几例.     

对称式在解题中的妙用

在数学解题过程中,合理地构造形式相似且具有某种特征的对称关系式,并通过对这种对称关系式进行适当的和、差、积等运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果.下面通过实例来谈谈构造对称式的几种途径.