曲径通幽处:一道高考模拟试题的背景揭示与破解

本文对一道二元二次方程约束条件下的二元函数最值问题进行了深度探究,阐述了试题命制的高等数学背景.从方程有解、函数最值、不等式放缩、几何直观等视角进行了解答,试图引导学生深刻剖析题设条件,敏锐捕捉解题灵感,触发思维萌芽,多方位搭建解题思路,提高解题效益.     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

一道高考试题的背景探究与推广

问题（2007年广东卷第21题）已知函数f（x）=x^2＋x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α〉β），f＇（x）是f（x）的导数；设。α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f＇（αn）（n=1，2，…）     

一道试题，四种境界

这是一道有些不寻常的条件最值题,本文给出它的四种巧思妙解,供同学们赏析．     

一道德国数学奥林匹克试题的简解

文[1]给出了一道德国奥林匹克试题的解法,本人觉得其解法不常规,下面给出此题的另一种简解,同时阐明多元函数最值的一般求法,与读者共勉．     

一道不等式试题背景研究及其推广

在竞赛数学中，新题的产生能体现出人类智慧的光辉；在历届竞赛数学的考试中总能涌现出许多耐人寻味的好题；本人就美国大学生竞赛中一道不等式试题进行研究时产生了很多想法，便提笔写了下来，共与喜好竞赛数学的读者一同分享．     

一道初中数学联考试题的解答与拓展

本文对2020年5月柯桥区中考联考卷第16题进行研究与分析,并进行探究与拓展,挖掘问题的本质,发挥其内在作用,并以此来促进中考的复习教学,提高核心素养.     

一道2022年山东省预赛试题的探究

2022年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题是一道三元根式函数最值问题,已知条件和目标之间关系隐蔽,难度较大,从多项式的因式分解入手打开突破口,给出了不同于参考答案的另一种解法,在对该题推广的基础上,对其变式做了比较深入的探究,从而揭示了这类问题的解题规律.     

一道高考试题的解法分析与背景研究

2010年高考北京卷理科第19题是一道构思精巧的解析几何问题：     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

一道高考试题的探究及试题背景分析

1问题(2008年江苏13)若AB=2,AC=2~(1/2)BC,则S_(△ABC)的最大值为____. 2解决问题思路1(引入边变量)解析1(依据S=1/2absinC)设BC=x,CA= 2~(1/2),则4=3x~2-2 2~(1/2)x~2cosC,由cosC=(3x~2-4)/(22~(1/2)x~2)得     

由一道中考模拟试题谈起

<正>在最近几年的各地中考试题中有一类数学试题是高中试题下放下来的,这些题目的解答必须寻找初中学生能够接受的方法,因此解决起来难度比较大.1.试题呈现(2012年无锡市模拟)如图1,已知⊙O经过点A(2,0)、C(0,2),直线y=kx与⊙O分别交于点B、D,则四边形ABCD面积的最大值为_.分析这个问题作为初中中考试题是有     

一道高考立几试题的多向探究

2014年高考已落下帷幕,今年福建省高考数学试题难度适中,题型稳定,其中理科卷第17题吸引了笔者的眼球,这是一道立体几何翻折问题,翻折后图形给出,试题不难,此题看似平淡,却精彩纷呈.本文从试题的不同角度、不同方向探究试题的来龙去脉,从中感悟高考试题＂宝藏＂带给我们的巨大＂财富＂.     

一道高考平面解析几何试题的思考与探究

2021年高考数学全国理科乙卷第21题平面解析几何试题以抛物线为切入点,考查抛物线的几何性质、抛物线的切线以及最值问题,考查数学运算、逻辑推理和直观想象等核心素养的落实.本文围绕试题,揭示试题背景,挖掘试题内涵,寻找不同的解题方法,对试题进行拓展与延伸,最后提出了一些针对性的教学建议.     

一道中考试题的多解探究

<正>1.题目呈现数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学,简单地说,就是研究数和形的科学.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数与形结合起来考查,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.(2012年扬州)如图1,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是.     

一道自主招生试题的解法与推广

2012年北大等十三校联考（北约）文科自主招生数学试题的第7题为一道几何最值问题,该题以等边三角形为背景,考生熟悉,也容易入手,是考查学生能力的好题．     

一道解析几何最值题的多视角研究

解析几何中的最值问题是学生解题中经常遇到的一类问题,它牵涉到很多代数与几何的方法,本文拟从课本上一道例题出发,多角度研究一类最值问题．     

一道2022年江西省预赛试题的解法和变式探究

先给出一道2022年江西省预赛试题的几种解法,在此基础上给出该题的几种变式.     

一道2021年全国联赛试题的探究

对一道2021年全国高中数学联赛试题进行探究,从不同角度给出了多种解法,推广得到了一般性结论.