一个结论的简证

文[1]给出了结论1在△ABC中,(sinA sinB sinC)/(cosA cosB cosC)<2 (1)但文中只对锐角三角形的情形给出了证明,文[2]利用导数给出了结论1的统一证明.本文给出简证.引理在△ABC中,用s,R,r分别表示半周长,外接圆半径,内切圆半径,则有     

Euler不等式的一个加强

设△ ABC的三边长为 a、b、c,对应的中线长为 ma、mb、mc,高线长为 ha、hb、hc,△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,以∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .众所周知 ,三角形的中线长和高线长有如下关系 :ma ≥ ha,　 mb≥ hb,　 mc≥ hc.本文利用上述关系建立 Euler不等式R≥ 2 r的一种加强形式 .定理 [1]　在△ ABC中 ,有R - 2 r≥ ∑ ma - ha2 (1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明定理 ,先证明下面引理 .引理　在△ ABC中 ,有ma≤ 1 6△ 2 (b3 c3 ) ∑a2 ∏ 2 a2 bc ,(2 )等号当且仅当…     

用三角法妙证欧拉不等式

本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明　设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得　a=2RsinA　b=2RsinB　c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-…     

关于Fermat点的两个不等式的加强

设△ ABC的三边长为 a、b、c,其半周长、外接圆半径、内切圆半径、面积分别为 s、R、r、△ ;F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′、B′、C′,记 FA =u,FB =v,FC =w,AA′=x,BB′=y,CC′=z;以∑ 表示循环和 .文 [1 ]证明了如下不等式 :　　　 u v w≤ 23s,( 1 )　　　 x y z≤ 3s. ( 2 )本文给出上述不等式的加强 .定理 1　在△ ABC中 ,有u v w≤ s ( 6 - 33) r.( 3)引理 1 [2 ]u v w =12 ( ∑a2 ) 2 3△ ( 4 )　　 uv vw uw =43△ . ( 5)定理 1的证明运用引理 1中的 ( 4 )式 ,得(…     

Cordon不等式的逆向不等式

设a,b,c分别为△ABC的三条边长,ha,hb,hc分别为三边a,b,c上的高,ta,tb,tc分别为△ABC三个内角的平分线长,R,r分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径,p为△ABC的半周长,表示对a、b、c循环求和.文[1]介绍了1967年,V.O.Cordon建立的不等式:a2hb2 hc2≥2.本文建立Cordon不等式的逆向不等式:a2hb2 hc2≤Rr.当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明　在△ABC中,ha=c.sinB,hb=a.sinC,hc=a.sinB.∴hb2 hc2=a2sin2C a2sin2B=a24R2(b2 c2)∴hb2 hc2a2=14R2(b2 c2),a2hb2 hc2=4R2b2 c2.∴a2hb2 hc2=4R21b2 c2≤4R212bc=4R2abca2=4R2pabc…     

一个三角不等式的几何证法

题目设△ABC为锐角三角形,则sinA sinB sinC>2．证明设△ABC的三边为a、b、c,外接圆半径为R,则由正弦定理求证可转化为a b c>4R,用几何方法．作出△ABC及其外接圆,不妨设a=BC 为最大边,平移△ABC及其外接圆为     

三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

两个优美几何恒等式的简证

文[1]给出了如下两个几何恒等式.定理1四边形ABCD内接于⊙O,△ABD,△BCD,△ACD,△ABC的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4,则r1 r2=r3 r4.定理2四边形ABCD内接于⊙O,△ABD,△BCD,△ACD,△ABC的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,O4,则O1O2 O2O2 O3O2 O4O2.文[1]中通过三个引理及一系列变形运     

卡诺定理的一个证明

文 [1 ]的第 88页 ,曾介绍日本的一个“庙宇木版问题”:由圆内接多边形的某顶点引所有对角线 ,将其划分为若干个三角形 ,则这些三角形内切圆半径之和 ,是一个与顶点选择无关的常数 .此命题的证明 ,要用到卡诺定理　三角形外心到三边距离的代数和等于其外接圆半径加上内切圆半径 .怎样证明 ?文 [1 ]没有说 ,于是有读者写信讯问 .查阅文献 ,发现 1 984年有文 [2 ]的一个“证明”:设△ ABC三边长为 a,b,c,内切与外接圆半径分别为 r,R,面积和半周长分别为△和 p,则R r =abc4△ 4△ .△4△ . r= 14△ [abc 4papbpc]　 ( pa =p - a,等等 )=…     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

对两个结论的注记

文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:结论1在△ABC中,sinA sinB sinCcosA cosB cosC<2;结论2在△ABC中,1相似文献   

三角形的一个性质定理及其应用

定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

Erd(o)s-Mordell定理的两个简捷证明

1935年,P·Erd(o)s提出如下猜想: 定理设P为△ABC内任一点,P到三边BC=a,CA=b,AB=c的距离分别记为PL=r1,PM=r2,PN=r3,则     

数学问题解答

20 0 4年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 76　设锐角△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R ,r.求证垂心到三顶点的距离之和为 2 (R +r) .(山东单县二中　齐行超　 2 7430 0 )证明　如图 ,设△ABC的垂心为H ,则 AHsinABH=ABsinAHB即AHsin ( π2 -A)=ABsin (π -C)因为　 AHcosA=ABsinC=2R ,　　同理 BHcosB=2R ,CHcosC=2R ,所以　AH +BH +CH=2R (cosA +cosB +cosC)=2R ( 1 + 4sinA2 sin B2 sin C2 )=2 (R +R·rR)=2 (R +r)1 4 77　试证明 :具有公共焦点的椭圆和双曲线 ,若它们的离心率互为倒数时 ,则以它…     

不等式研究成果集锦（3）

26.在锐角△ABC中,有∑cos(B-C)cosA≥∑cosAcos(B-C)≥6.(姜卫东.1998,4)27.在△ABC中,s,R,r分别为其半周长、外接圆半径、内切圆半径,则(i)　∑cosA2≥12u 12u2 2(33-2u)sR,其中u=(1 2)(3 22-33);(ii)　∑cosA2≥1 1 s r2R (26-153)r2R2;(iii)　∑cosA2≤1 1 s r2R (26-153)r     

三角形内切圆半径的一个性质

本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理　若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则　 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1]　若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明　如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-…     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

一个欧拉定理的推广及应用

定理1(欧拉定理) △ABC所在平面上的任意一点P在三边AB、BC、CA上的射影分别为C1,A1,B1,若△ABC及△A1B1C1的面积分别为△及△1,△ABC的外接圆半径为R,P点到△ABC外心O的距离为d,则△1=(△)/(4)|1-((d)/(R))2|.下面我们将给出它的推广,并展示其有益的应用.     

非等边双圆闭折线的一个性质

文[1]为了证明不等式三角形若干“心”的一个性质,给出以下引理:引理设不等边△ABC的外心为O,垂心为H,内心为I,界心为K,则OI=∥12KH.本文拟用向量法将其推广到非等边双圆闭折线中.定理设非等边双圆闭折线的外心为O,垂心为H,内心为I,奈格尔点(即界心)为K,则OI=n-11NH.证明设非等