数学归纳法的构造

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在各个数学分支领域中都有着极为广泛的应用,正确地掌握并灵活地应用此方法是数学教学的基本要求之一.数学归纳法具有多种形式,无论何种形式其核心都是必不可少的两个基本步骤.对于各种具体问題选用适宜的数学归纳法形式以使两个基本步骤得以实现是解决问题的重要一环.这方面已有不少论著作出广泛的讨论.本文的主要目的在于给出数学归纳法的一个一般性定理,由此不仅可以     

数学归纳法——兼与史宁中先生商榷

欧氏几何有个平行线公理:过线外一点有且仅有一条直线与它平行.历史上有许多学者宣称得到了它的证明,结果不是发生推理错误,就是用到了一个与它等价的命题.用了二千多年,人们才知道它是不可能证明的.它是建立欧氏几何不可缺少的一个基本假定.因此有时也称为公设.     

数学归纳法证明不等式的技巧

使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键的一步是寻求P(k 1)的证明,其技巧丰富多彩,下面介绍两种常用的技巧。     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

一个数学归纳法例题教学的一点体会

数学归纳法把具体的归纳猜想与严格的演绎推理结合在一起，形成了数学中最基本的逻辑推理方法之一．数学归纳法在论证与自然数”有关的教学命题中有着独到的功效．人们在认识真理的过程中经常使用归纳法来探索规律、发现结论，     

数学归纳法证题值得关注的几点

数学归纳法是高中数学中证题的一种常用方法,它能证明与自然数有关的命题,这里笔者论述数学归纳法证题中值得关注的几点．     

帕斯卡与数学归纳法

帕斯卡与数学归纳法孙宏安（大连教育学院１１６０２１）数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题Ｐ（ｎ）的一种方法，是人们最早掌握的递归方法．其具体操作是：１°证明Ｐ（１）为真；２°假设Ｐ（ｋ）真，证明Ｐ（ｋ＋１）为真．若１°，２°都得证，则Ｐ（ｎ）对所有自然...     

数学归纳法证题技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法,在证明许多数学问题的时候,它都有着不可替代的作用．使用数学归纳法证题的一个难点是如何完成第二步的递推证明．本文就此递推过程所用到的几种基本方法、技巧予以举例说明．     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

双F-拓扑中的分离性(Ⅰ)

介绍在双F-拓扑中的T0-,T1-,T2-,T3-,T4-,R0-,R1-,R2-分离性,给出了它们一些等价刻画,研究了它们之间的关系。     

拓扑分子格的PS-T*分离公理

利用准半开邻域引入了拓扑分子格的一类新的PS-Ti*分离公理(i=0,1,2,3,4),给出了这些分离性的刻画,得到了这些分离性是PS-同胚序同态下保持不变的性质。     

从“距离”的角度理解有关“实数”的一些概念和定理

从"距离"的角度来描述和理解数学分析中有关实数的一些概念和定理,并作出相关的证明,特别给出实数完备性的一个新的描述.     

Sticks and clubs

We study combinatorial principles known as stick and club. Several variants of these principles and cardinal invariants connected to them are also considered. We introduce a new kind of side by-side product of partial orderings which we call pseudo-product. Using such products, we give several generic extensions where some of these principles hold together with ¬CH and Martin's axiom for countable p.o.-sets. An iterative version of the pseudo-product is used under an inaccessible cardinal to show the consistency of the club principle for every stationary subset of limits of ω₁ together with ¬CH and Martin's axiom for countable p.o.-sets.     

Dependent Choices and Anti‐Foundation

In Zermelo‐Fraenkel set theory without the Axiom of Foundation we study the schema version of the principle of dependent choices in connection with Aczel's antifoundation axiom (a part of it), Boffa's anti‐foundation axiom, and axiom of collection.     

The power of some forms of the induction axiom in the multiplicative arithmetic

In this paper, the sequential variants of the multiplicative arithmetic with the below-defined formsAIO,I ⁺, andI ⁻ of the induction axiom are investigated, and some relations between the classes of theorems in these systems are determined. In addition, the multiplicative systems with these induction axioms, for which the classes of derivable formulas are equivalent, are presented. Published in Lietuvos Matematikos Rinkinys, Vol. 40, No. 1, pp. 36–47, January–March, 2000.     

Characterizations of Hermitian varieties by intersection numbers

In this paper, we give characterizations of the classical generalized quadrangles H(3, q ²) and H(4, q ²), embedded in PG(3, q ²) and PG(4, q ²), respectively. The intersection numbers with lines and planes characterize H(3, q ²), and H(4, q ²) is characterized by its intersection numbers with planes and solids. This result is then extended to characterize all Hermitian varieties in dimension at least 4 by their intersection numbers with planes and solids.      

Minimal Surfaces in a Cone

We prove the convex hull property for properly immersed minimal hypersurfaces in a cone of ⁿ . We deal with the existence of new barriers for the maximum principle application in noncompact truncated tetrahedral domains of ³, describing the space of such domainsadmitting barriers of this kind. Nonexistence results for nonflatminimal surfaces whose boundary lies in opposite faces of a tetrahedraldomain are obtained. Finally, new simple closed subsets of ³ whichhave the property of intersecting any properly immersed minimal surfaceare shown.     

Universal Induction and True Universal Arithmetic

We prove that every finitely generated (as a ring) model for induction for universal formulas without parameters satisfies also all true universal sentences. Mathematics Subject Classification: 03C62.