卡尔达诺与虚数

卡尔达诺与虚数孙宏安（大连教育学院１１６０２１）人们的数学研究是从既便于理解又与人类生活密切相关的部分开始的，那就是自然数（和简单的几何图形）．人类关于自然数的认识可以追溯到史前时代，各古代文明的地区的遗存中都发现了自然数，如甲骨文中记载的自然数最大...     

虚数的历程

让我们做几道算术题 :二二得四 ,三三得九 ,四四一十六 ,五五二十五 .因此 ,2是 4的平方根 ,3是 9的平方根 ,4是 16的平方根 ,5是 2 5的平方根 .-1的平方根是什么 ?长期以来 ,人们认为负数的平方根是不存在的 .第一个把这个“显然”没有意义的符号写到公式里去的 ,是意大利数学家卡丹(Ｃａｒｄａｎ ,15 0 1-15 76) .他“大胆”地写道 :因为 ( 5 -15 ) ( 5 --15 ) =5 5 =10 ,( 5 -15 )× ( 5 --15 ) =5× 5 5-15 -5 -15 -15× -15 =2 5 -( -15 ) =2 5 15 =40 ,所以 ,可以把 10分成两部分 ,使它们的乘积等于 40 ,而两部分就是 ( 5 -15…     

有趣的正三角形

<正>如图,C为以AB为一边的正三角形∠A对边上一点,D为以CD为一边的正三角形∠B对边上一点,E为以CD为一边的正三角形∠D对边上一点,图中的全部线段的长度都是整数,分别以△ABC、△BCD、△BDE的各边为一边作正方形,九个正方形面积之和为2018,求图中所有线段的长度.     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR,已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c,求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S,使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示,设正△PQR的边长为x,由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示,费尔马提出如下问题：在平面上求一点S,使l=SA＋SB＋SC达到最小,即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题,如图3,在A、B、C处各打一小孔,取三条线绳扎结于S,然后穿孔各…     

复数、实数、纯虚数

复数、实数、纯虚数０５６３００河北邯郸武安市一中阎书元在解决有关复数的问题时，通常的方法是实数化．这种方法体现了数学的一种基本方法—化归，当然是可以肯定的．然而，如遇到一些特殊情况时，就显得它有些笨拙，如果不转化成实数，运用复数自身所具有的一些性质，...     

纯虚数的几个性质

在复数z=a+bi(a、b∈R)中,当a=0、b≠0时,z为纯虚数,解有关纯虚数的问题,除了更正确理解纯虚数的概念外,还应知道纯虚数的一些性质。只有这样,才能开拓解题思路、     

虚数√-1的历史

在今天的数学教科书中,虚数√-1是经由其作为二次方程x2＋1=0的根引入的,但在数学史上,虚数√-1是在三次方程的求解中出现的,且让我们追溯历史,重现厅的产生过程,并反思数学史在数学教学中的重要作用．     

纯虚数的充要条件及应用

纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1　纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1　复数ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数的充要条件为ａ =0且ｂ≠ 0 .结论 2　复数ｚ是纯虚数的充要条件为ｚ ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) .证　 (充分性 )设ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ) .∵ｚ ｚ =0 ,∴ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ,∴ａ =0 .而ｚ为非零复数 ,则ｂ≠ 0 ,∴ｚ为纯虚数 .(必要性 )ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数 ,则ａ= 0且ｂ≠ 0 .∴ｚ =ｂｉ,则ｚ ｚ =ｂｉ …     

正方形的内接正三角形

如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).当该内接正三角形的面积最大时,称最大内接正三角形;当该内接正三角形的面积最小时,称最小内接正三角形.     

正三角形最优分割问题初探

本文首次提出正三角形的最优分割问题、并用初等方法求出几个分割最优值，即△1＝△2＝１，△3＝，△4＝△5＝１／２，△6＝△7＝（－１／２），△9＝１／３，最后给出分割最优值△ｎ的一个控制不等式。     

三角形的最大外接正三角形

本文的起源是《数学通报》每期问题系列的问题1288．     

商是纯虚数的几何意义及其应用

设非零复数z1,z2对应的向量分别是OZ1^→,OZ2^→则商z1/z2是纯虚数的充要条件是OZ1→⊥OZ2→,这就是两复数商z1/z2是纯虚数的几何意义,用好这一几何意义可简化某些复数题的计算,现举例说明。     

正三角形的几个性质

如图1,P为正三角形ABC内任意一点,过P作三角形三边的垂线,垂足为D,E,F,则大家所熟悉的一个结论是:PD+PE+PF=定值.本文给出并证明它的另外几条性质.     

正三角形的19组充要条件

判断三角形的形状是一类重要的问题 ,通常使用三角变换 (含正弦、余弦定理 )求解 ,也可用向量形式给出 .本文给出△ABC为正三角形的一组充要条件 ,供学习参考 ,也可从中充分体会数学的对称美 .条件 1　a =b =c .条件 2　A =B =C .条件 1 ,条件 2是正三角形的定义 ,是判断正三角形的最基本的依据 .条件 3　cos(A -B)cos(B -C)cos(C -A) =1 .条件 3由余弦函数的有界性立得 .条件 4　 2b =a +c,b2 =ac.条件 5　 2B =A +C .B2 =AC .条件 4与条件 5由既等差又等比的数列是常数列立得 .条件 6　 2B =A +C ,2b =a +c.条件 7　 2B =A +C ,…     

纯虚数的一个性质及应用

纯虚数有许多性质,笔者在教学中发现一个不常见的性质,在解题中应用起来,给人以美不胜收之感.     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

ω-非常凸空间与ω-非常光滑空间

本文研究了ω-非常凸空间和ω-非常光滑空间的问题.利用局部自反原理和切片证明了ω-非常凸空间和ω-非常光滑空间的对偶关系,讨论了ω-非常凸空间和ω-非常光滑空间与其它凸性和光滑性的关系,给出了ω-非常凸空间与ω-非常光滑空间的若干特征刻画,所得结果完善了关于Banach空间凸性与光滑性理论的研究.     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…