与平面向量分解定理系数相关的问题——从课本的一道例题谈起

向量知识在中学数学中有着非常重要的地位和价值,与三角函数、平面几何、空间几何、代数等都有密切联系.向量集数与形于一身,其本身就是数形结合的体现,既是代数研究对象,又是几何研究对象,既可以进行运算,又可以用图形表示,是数形结合思想方法的体现.向量具有强大的工具性作用,向量方法既是数学思想方法的体现,又是解决问题的一种方法途径,并且这种方法具有普遍性、广泛性、有效性,在解决数学问题中发挥重要作用.其中,平面向量分解定理是中学向量内容中的一个重点,它既是平面向量“形”的体现,又是平面向量坐标(“数”)的基础,是向量“形”与“数”互相转化的关键.在这部分内容的教学中,笔者注意到教材(高二第一学期)第67页8.3节的例3(如文末图1所示).     

平面向量与其他知识的综合应用问题

<正>平面向量是既有大小又有方向的量，同时具有“数”与“形”的双重特点，是数形结合自然一体的“桥梁”,可以有效“串联”起平面向量与其他知识，实现不同数学知识点之间的交汇与融合.平面向量既可以将几何问题代数化，借助坐标、符号、数量等将推理转化为数学运算来处理，也可以将代数问题几何化，借助几何意义、图形等将运算转化为直观模型来解决.1 平面向量的实际应用问题平面向量这一“数”“形”兼备工具在实际问题中的应用，     

从一道高考题看空间角的向量解法

<正>向量作为一种工具在立体几何中有着举足轻重的作用,用其处理立体几何问题,体现了把几何问题转化为代数问题的重要思想,往往既直观又新颖,有事半功倍的效果.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时,首先要恰当建立空间直角坐标系,再把空间向量与有序数对一一对应起来,产生空间向量的坐标表示,进而把向量运算转化为坐标运算,将一些立体几何问题转化为代数问题.     

由课本中的例题引发的思考

新课程标准已经在江苏实施了多年，在新课标中对向量部分的内容有这样的解释：向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁．《标准》要求学生掌握向量的加、减、数乘、数量积的运算．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的一种工具，体现了数形结合的思想．     

代数与几何之间的另一座"桥梁"——向量

数形结合是一种重要的数学思想方法，这种思想方法的核心是通过坐标这座“桥梁”把代数与几何沟通起来，这已经为人们所共知．其实代数与几何之间还有一座天然的“桥梁”——向量．     

数形结合快速解答填空题

<正>解析几何的主要内容是把几何问题代数化,用代数的运算来解决几何问题,但如果一味地用代数的运算来代替几何推理,不仅需要我们具备很好的运算能力,而且计算时间较长.填空题的题型往往短小精悍,体现灵活性,     

活用三角中点关系 巧解向量动点问题

向量是一种新的量,不同于以往学过的数量,它兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”与“形”于一身的数学概念.因此,解题中要注意数形结合的思想.在高考中以考查向量的概念与运算为主,其中向量的模与向量数量积的计算尤为重要,特别是牵涉到动点问题,许多学生无从下手.笔者主要介绍活用三角中点关系,巧解向量动点问题.     

平面向量

1.本单元知识点向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,向量是沟通代数、几何的一种工具,有着极其丰富的实际背景.向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数与形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点.本单元的学习重点是:理解平面向量的意义与实际背景,掌握平面向量的三种运算——加减运算、数乘运算、数量积运算及其运算法则,掌握平面向量的基本定理及坐标表示.     

巧用极坐标解决解析几何问题

<正>解析几何是高中数学的重要内容,其本质是用代数的方法研究几何问题,其核心是"数形结合"的思想方法,其对学生能力的要求主要体现在思维能力和运算能力上.由于解析几何内容的综合性及运算的复杂性,所以要正确地认识和理解解析几何的思维特点和方法,从题目中的几何元素分析它的几何特征并进行有效的代数化,对于题目中的代数的结论(方程或数值)要学会分析它的几何含义.只有将几何的特征分析得非常充分,代数化的过程才     

例析洞察几何结构明晰运算对象的重要性

<正>解析几何一般采用“先用几何眼光观察与思考,再用坐标法解决”的策略.可见,用什么样的代数结构刻画几何事实即确定和明晰运算对象对解题的成败至关重要.题目呈现已知圆M的圆心M在y轴上,半径为1.     

在整体教学中培养初中学生的数学素养——以“完全平方公式”教学为例

乘法公式是代数领域中整式乘法运算中的特殊形式,也是培养学生数学素养的重要载体.现以“完全平方公式”的教学为例,通过引导学生经历观察、探索、发现、验证、归纳、应用、小结这7个环节,将“一般与特殊”“几何直观”“数形结合”“化归思想”“整体换元”等数学思想方法渗透在教学之中,从而提高学生的数学能力、思维品质以及数学学科素养.     

关于"平面向量"教学的几点构想与尝试

向量不同于数量 ,它既有大小又有方向 ,是一个具有几何与代数双重身份的概念 ,同时也是一个具有一套优良运算通性的数学体系 .从“数、量及运算”发展的角度看 ,向量所关注的不是“数”的简单扩大 ,而是“量及运算”的扩充问题 .从我国中学数学课程改革的角度看 ,向量的引入有助于学生更好地建立代数与几何的联系 ,能让中学生尽早了解向量等现代数学思想和方法 ,从而为初等数学向高等数学过渡奠定了一个直观基础 .由于向量是我国中学数学课程改革中的新增内容 ,所以在教学实践方面必然经历了一个试验———探索———调整的过程 .下面结合教…     

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想方法作为初中阶段十分重要的数学方法,将代数思想与图形分析思想完美结合,通过对代数关系以及图形性质的把控来完成数学题目的巧妙解答,是学生在数学解题应用中应该着重培养的数学思想.培养数形结合思想,需要学生掌握以“数”辅“形”、以“形”助“数”以及“数”“形”互助的解题技巧,在遇到代数问题时多考虑图形辅助,在遇到几何问题时多思考其中的代数关系,将数形结合思想熟练运用到日常的数学学习,提高学习质量.     

发掘向量试题的学习价值

<正>向量是近代数学中重要和基本的概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在数学中,向量的运算主要有三种类型,分别是代数运算、几何运算和坐标运算.下面以一道向量试题为例,谈谈三种类型的向量运算的具体应用.     

基于直观想象的解析几何“几何条件代数化”策略探析

解决解析几何问题的关键是几何条件代数化.代数化的过程需要从数形结合的角度思考,特别是要先用几何的眼光观察,分析几何图形的性质,并结合图形及要素的代数表达进行策略上的选择,再进行代数化表达,通过代数推理与运算得到代数结论,解决解析几何问题.     

“巧”在哪儿?

<正>解析几何强调用代数方法解决几何问题,在学习的过程中,我们在代数运算上花费了大量的时间,似乎解析几何的重点在“代数”,事实上,解析几何首先是一个几何问题,因此“代数”与“几何”两个维度都要关注,二者密不可分．下面我们看一道有关圆的问题．     

代数问题几何化的几条途径

运用把握图形的能力去思考其他数学问题,是高中数学新课程"几何思想"的主要体现.把握图形的能力包括空间想象、直观洞察、用图形的语言来思考问题的能力,而这都需要将代数问题几何化.本文拟例谈实现几何化的几条途径.     

平面向量及其运算

1　重、难点分析本单元学习的重点是 :1)向量的概念 ;2 )向量的运算及其性质 ;3)向量及其运算的坐标表示 .我们知道 ,在平面上取定一点O后 ,平面上的任意点P就与向量OP成一一对应 ,这样关于点的几何问题就与向量联系起来 ,由于向量可以进行运算 ,因此通过向量也就把代数运算引入到几何中 .所以 ,用代数的方法 (向量运算的方法 )处理几何问题是本单元内容中渗透的重要数学思想方法 .具体地 ,由向量的线性运算 (向量的加法、实数与向量的积 )可以得到两向量平行的充要条件及定比分点公式 ;由向量的数量积运算可以得到两向量垂直的充要条件及…     

空间向量

1　知识网络空间向量及其运算、空间直角坐标系和坐标运算　　　　　　　　空间直线、平面位置关系的判定 ,求空间角和距离　　　　　　　　简单多面体和球的相关性质及计算2　本单元重、难点分析本单元知识是在学习了平面向量、空间直线与平面的基础上展开的 ,对空间几何提出了一种代数化的研究思想 .把空间图形的性质代数化 ,用代数运算推理来研究几何 ,因此 ,要把学习的重点放在用向量代数的方法解决几何问题上 ,培养用向量代数运算规律进行推理的能力 .空间向量的加法、减法 ,数乘向量的意义及运算律与平面向量类似 ,必须结合式与图之间…     

读极限思想与补集思想的应用

解析几何问题的求解特点是以代数方法求解几何问题 ,这类问题容易形成“入手容易”、“答对困难”的情境 .究其原因 ,由于盲目运算 ,以致运算量大 ,这样不仅影响解题速度 ,也极易出错 .因此 ,在解题中 ,尽量减少运算量则成为迅速、准确解题的关键 .就此问题 ,本文谈一下减少解析几何运算量的两种数学思想 .1　极限思想通过考察问题的极端元素或着眼于一类问题的极限状态 ,灵活地运用极限思想解题 ,则可避开抽象及复杂运算 ,优化解题过程 ,降低解题难度 .这是减少运算量的一条重要途径 .1 .1　视点为“圆”或“椭圆”例 1　有一圆与直线 4 x …