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等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等 相似文献
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一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用: 相似文献
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设△ABC的三条边长分别为a、b、c,内切圆半径、外接圆半径、半周长分别为r、R、s,本文在研究三角形内点到各边距离之积时,得到了一个新不等式.首先给出几个引理.引理1设△ABC外心O到三边的距离之积为DO,则DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2](∏表示循环积,下同).证明由文[1]知,外心O到三边的距离分别是R cosA、R cosB、R cosC,所以外心O到三边的距离之积DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2].引理2设△ABC重心G到三边的距离之积为DG,则DG=827R3∏sin2A=2p2r227R(2)证明由文[1]知,重心G到三边的距离分别是23R sinA sinB、23R sinB sinC、… 相似文献
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1 从一般到特殊 ,发现新命题启发学生回顾和小结一般三角形相似的判定方法 (填入下表中 ) :一般三角形直角三角形1 .两角对应相等 ,两三角形相似 ;1′.一锐角对应相等 ,两直角三角形相似 ;2 .两边对应成比例且夹角相等 ,两三角形相似 ;2′.两直角边对应成比例 ,两直角三角形相似 ;3.三边对应成比例 ,两三角形相似 .3′. (暂空 ) T:直角三角形是一般三角形的特殊情形 .两直角三角形已有一直角对应相等 .从一般三角形相似的判定 ,到直角三角形相似的判定 ,一般地 ,可以减少一个条件 .那么 ,直角三角形相似的判定方法应是怎样的呢 ?S1 … 相似文献
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三角形的垂心、重心、外心三点共线 ,且垂心到重心的距离等于重心到外心距离的 2倍 ,这就是著名的欧拉定理 .前不久 ,人们又发现了一条类似的欧拉线 :三角形的界心、重心、内心三点共线 ,且界心到重心的距离等于重心到内心距离的 2倍 [1 ] .笔者在研究中又发现了一条新的类似欧 相似文献
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本文将一些常见图形中的面积关系进行归纳,将其用来解有关的数学竞赛题.先介绍有关的基本定理:1.三角形的三条中线将该三角形分成面积相等的六个三角形,其中三条中线的交点是该三角形的重心(如图1).2.平行四边形两条对角线将该平行四边形分成面积相等的四个三角形(如图2).3.平行四边形的边上任一点和对边两端点的连线将该平行四边形分成面积相等的两部分.Rll图3中的S。一sl+sZ一会见。·I。·4.平行四边形内任一点与四个顶点的连线将其分成四个三角形,则对顶的两三角形面积之和相等.即图4中SI+SZ-S3+S4.5.任意四… 相似文献
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平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一… 相似文献
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三角形的重心除了大家所熟知的一些性质之外,还有以下几条性质.性质1以三角形重心与顶点所连线段为边可以构成三角形,且该三角形面积是原三角形面积的三分之一.证明如图1,/IABC的重心为G,延长CG至E,使GE——CG,设GE与AB交于H,ffiIJD是AB中点.儿吁对是平行四边形,BG—AE.这样rtAEG就是符合命题条件的三角形.推论以三角形重心与各边中点的连线为边可以构成三角形,且该三角形面积是原三角形面积的十二分之一.性质2过三角形重心任作一直线将三角形分成一个三角形和一个四边形,分别记_。_。。_,_、。。。_,4… 相似文献
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一般相似三角形的判定方法有 :1.定义判定法 .此方法因证明过程中所需的条件太严格 ,即三个角相等 ,三边对应成比例 ,故一般不用它来判定 .又由于三角形具有稳定性 ,所以在实际解题中常使用削弱条件的几个判定定理 :2 .两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 ;3.两角对应相等的两三角形相似 ;4 .三边对应成比例的两三角形相似 ;5.平行于三角形的一边的直线截其他两边 ,截得的三角形与原三角形相似 ;对特殊的三角形———直角三角形 ,除满足以上五种判定方法外 ,还有其自身的判定方法 ,即 :6 .斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形… 相似文献
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1 四面体的重心
由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义. 相似文献
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在初中阶段 ,我们学习了许多关于三角形的性质 ,其中三角形中线性质 :在三角形中 ,三条中线交于一点 (这一点通常被称为三角形的重心 ) ,且重心把每一条中线分为从顶点到重心与从重心到中线所在边中点距离之比为 2∶1的两条线段 .这是人所共知的 .图 1然而 ,三角形中线的另一个性质 :(下称“中线模型”)“设AD为△ABC的BC边上的中线 ,任作EF使EF∥BC ,分别交AB、AD、AC(或其延长线 )于E、P、F ,如图 1,那么 ,AD穿过EF的中点P ,即FP =PE .”却很少在课堂上应用 ,也未引起同学们的重视 .这个与中线相关的平分… 相似文献
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1 问题大家知道,对于一个三棱锥,三条侧棱相等(或三侧棱与底面成等角)是顶点在底面上的射影为底面外心的充要条件;三侧面与底面成等角(或三顶点到底面三边等距)是顶点在底面上的射影为底面内心或旁心(射影在三角形内为内心、射影在三角形外为旁心)的充要条件;二对对棱垂直是顶点在底面上的射影为底面垂心的充要条件.我们自然会问:顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件是什么呢? 相似文献
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文 [1]给出了非钝角三角形内特殊点到各边距离之和的一个不等式链 :D0 ≥ DG≥ D1≥ DH,经过研究 ,本文得到了非钝角三角形的费尔巴哈圆圆心、重心、垂心到各边距离之和的另一个不等式链 .本文约定非钝角△ ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积分别用 R、r、p、S表示 ,有以下定理定理 在非钝角△ ABC中 ,S为三角形的费尔巴哈圆圆心 ,DS表示圆心 S到各边距离之和 ;G为三角形的重心 ,DG表示重心 G到各边距离之和 ;H为三角形的垂心 ,DH 表示垂心 H到各边距离之和 ;则 DG≥ DS≥ DH,当且仅当是正三角… 相似文献
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A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三边上 ,那么这个三角形是三角形 .2 .到线段两端点的距离相等的点在 .3 .等边三角形ABC中 ,∠B ,∠C的平分线交于O ,O到点B ,C的距离为 2 3 cm ,则△ABC的周边长为cm ,面积为cm2 .4.如图 1 .∠B =∠C =60°,∠B ,∠C的平分线交于O ,过O点作MN∥BC .若BC =6cm ,则MN= .5 .等腰直角三角形的面积为2cm2 ,则斜边上的高为cm .6.边长为a的等边三角形的面积等于 .7.以 1 0cm为底的等腰三角形 ,腰长x的取值范围是 .8.如图 2 .已知AD∥BC ,则∠ 1 … 相似文献