欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

Euler线由三角形向四面体的推广

1765年,Euler在一篇题为《三角形的几何学》的论文中证明了“三角形的外、重、垂心共线,且外心到垂心的距离等于重心到垂心距离的二分之一”。这条直线便被称为欧拉线,本文把Euler线推广到四面体。定理三组对棱分别垂直的四面体的外心、重心、垂心共线,且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离。证如图1.设符合定理条件的四面体ABCD的外、重、垂心分别为O、G、H,连接AH、AG并延长交平面BCD于H_1,G_1,则G_1、H_1分别是△BCD的重心和垂心,且AH_1⊥平面BCD,作     

三角形的另三条新欧拉线

三角形的内心I,重心G,界心K(过三顶点的三条等周线交点)三点共线,且IG=(1)/(2)GK. 上述结论就是大家熟知的新欧拉线定理.其中直线IGK叫新欧拉线.笔者发现,三角形还有另三条新欧拉线.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

聚焦竞赛中的等边三角形

等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等     

欧拉线

欧拉(公元1707～1783)1765年出版的《三角形的几何学》一书中,篇首介绍了一个著名定理:“三角形的外心、垂心和重心都在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”.后人称三角形的外心、垂心和重心所在直线为欧拉线.下面我们通过对这个定理的证明来认识欧拉线.     

三角形“四心”的性质及应用

三角形的四心,是三角形的垂心、重心、外心和内心的总称。它们分别是三角形三条高、三条中线、三內角平分线和三边中垂线的交点。其中三角形的重心和内心,显然应在三角形形内;但对于三角形的垂心和外心,其位置应依三角形的形状而定——锐角三角形     

欧拉定理 费尔巴哈定理及相关命题的统一证明

欧拉定理　费尔巴哈定理及相关命题的统一证明刘裕文（四川省彭州市中学６１１９３０）三角形之外心Ｏ、重心Ｇ、垂心Ｈ三心共线，且ＯＧ：ＧＨ＝１：２；三角形三边之中点、三高之足、垂心至顶点连线之三中点，凡九点共圆．此乃欧氏几何中著名的欧拉定理与费尔巴哈定理．...     

欧拉线能与三角形的边平行吗

三角形的重心、外心、垂心共线,这条直线称为三角形的欧拉线.在平面几何中这是个著名的问题.其证明方法大致如下:     

四面体的五“心”—重心、外心、内心、旁心和垂心

本文用类比的方法,将三角形的五“心”—重心、外心、内心、旁心和垂心移植到四面体(即三棱锥)中。1 四面体的重心三角形的三条中线共点,这点叫三角形的重心,重心把每条中线都分成2:1的两段。     

一类圆内接六边形及其面积定理

如图1，O为△ABC的外心，AO、BO、CO的延长线分别交对边及O于D；、A。；E。、B；；Fl、c，，本文约定把六边形ACIBAICBI称为“thABC的外心圆内接六边形”，简称“外。O六边形”，若改国外。VO分别为西ABC的垂心H、重心G、内心I，则称类似的六边形分别为垂。v、重心、内心六边形．关于这类国内接六边形的面积笔者得到了如下定理．定理1非钝角三角形的外心六边形面积与其垂心六边形面积相等，且等于该三角形面积的2倍．定理2任意三角形的内心六边形面积和其重心六边形面积都不小于该三角形面积的2倍且内心六边形面积不小于重心…     

一个几何命题的应用

命题求证任意三角形的外心到一边的距离等于它的垂心与这边所对顶点距离的一半。这是一道众所周知的几何命题,在证题中,凡遇到具有三角形外心和垂心等条件的一类较复杂的证明题,往往可以应用此命题简捷地给出证明,现列举几例如下: 例1 如图1.已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心,求证C、G、H共线,且GH=2GO。证明作CM⊥BC于M,连结AM和AH,则AM为△ABC边BC上的中线;连结OH交AM于     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

三角形内外心连线的一个性质

平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一…     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

关于三角形“四心”距离的讨论

三角形的"四心"即重心、垂心、内心和外心.通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形"四心"的论文资料发现,已有的关于三角形"四心"的研究主要包括"四心"的判定方法、"四心"的向量形式等方面.本文拟在已有研究的基础上,探讨三角形"四心"的距离问题.     

折纸,折出三角形的“四心”

<正>每逢学习三角形的主要线段时,我都会设计一次"手工课",通过折纸找三角形的"四心",同学们多元智能参与,跃跃欲试,兴趣盎然.三角形的"四心":1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.3.三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心.4.三角形三边中垂线的交点叫做三角形的外心.     

三角形的某些点之間的距离

若已知三角形的三边,应用下面公式,可以广泛地求出三角形的某些点之間的距离。特別地,可求得三角形的頂点、显著点(如外心,內心,重心,垂心,傍心,九点圓心,叶尔刚点,納革里点,来莫恩点等)的任何两点之間的距离。