The Gibbs principle for the equilibrium of systems with two simple or composed phases

Summary A precise formulation of the Gibbs principle is proposed and the equilibrium equations for systems having two phases of the same substance are derived and discussed when: a) one of them is solid, isotropic and elastic and the other one is liquid or vapour and both the phases are simple, b) one is liquid and the other is vapour of the same binary mixture. Some final remarks are provided for the case of crystal phases.

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Sommario Viene proposta una rigorosa fomulazione del principio di Gibbs; vengono derivate e discusse le equazioni per l'equilibrio di un sistema formata da due fasi di una stessa sostanza, quando: a) la sostanza é semplice; b) una é liquida e l'altra é di vapore di una stessa miscela binaria. Alcune considerazioni finali riguardano il caso in cui la fuse solida é cristiallina.

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Work supported by the Italian C.N.R.     

Explosion and implosion in a mixture of chemically reacting ideal gases

Summary A chemically reacting mixture of ideal gases is herein called a Stokes mixture — not of necessity a mixture of Stokes fluids although such are included — if the shear and bulk viscosities never contribute to the internal energy of the mixture when the constituents are undergoing dilatational motions. The mechanical and thermal features of these motions in a general binary mixture of chemically reacting ideal gases are studied.

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Sommario Una miscela chimicamente reagente di gas ideali è qui chiamata una miscela di Stokes — non necessariamente una miscela di fluidi di Stokes, anche se questo caso vi è compreso — se le viscosità di scorrimento e di dilatazione non contribuiscono mai alla energia interna della miscela quando i costituenti sono soggetti a moti dilatazionali. Si studiano le caratteristiche meccaniche e termiche di questi moti in una generale miscela binaria di gas ideali chimicamente reagenti.

     

Combustion with phase transition

The paper deals with a mathematical problem describing an exothermic chemical reaction in a diffusing substance possibly undergoing a change of phase. Global well-posedness in the classical sense is proved for the corresponding system of PDEs. Moreover, cases in which the phases are separated by sharp interphases or by transition regions are discussed. The limit case of negligible diffusion is also considered.

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Sommario Si studia il problema matematico che descrive una reazione chimica esotermica in una sostanza che diffonde e puo' subire cambiamenti di fase. Si dimostra esistenza globale in senso classico del relativo sistema di equazioni alle derivate parziali e si discute la possibilita' che le fasi siano separate da una regione di transizione e non da una netta superficie di interfase. Il caso limite di assenza di diffusione e' anche brevemente esaminato.

     

Condition of stability and wave speeds for fluid mixtures

Summary We study the algebraic conditions on the characteristic exponents ensuring the infinitesimal stability of the equilibrium of a two constituent-mixture in the class of regular perturbations vanishing on the boundary of the region containing the mixture.From the stability conditions we deduce the real speeds of wave propagation in the mixture.

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Sommario Si studiano le condizioni algebriche sugli esponenti caratteristici che assicurano la stabilità infinitesima dello equilibrio di una miscela bifase nella classe delle perturbazioni regolari nulle sul contorno della regione contenente la miscela.Dalle condizioni di stabilità si deducono le velocità reali di propagazione di onde della miscela.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

Stefan — like problems with space — dependent latent heat

Summary A wide class of one-dimensional heat conduction problems with phase change is considered on the assumption that the latent heat is a given function of the position of the separation plane between the two phases: L=[s(t)].Some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution in a given time-interval are given. This work permits the generalization of some previous results and the investigation of some cases of particular interest.

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Sommario Si studia una vasta classe di problemi di conduzione unidimensionale del calore in presenza di cambiamento di fase, nel caso in cui il calore latente sia funzione della posizione del fronte di separazione tra le due fasi: L=[s(t)].Si trovano delle condizioni sufficienti per l'esistenza e la unicità della soluzione del problema in un certo intervallo di tempo; si mostra infine che la trattazione permette di generalizzare risultati già noti e di estendere lo studio a casi di particolare interesse.

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Work performed within the Research Group (Grant. no. 115.2210) of the C.N.R.     

Transients of current density in linear particle transport theory

Summary Transients of current density, that follow sudden variations of both electric and magnetic fields as applied to a mixture of two different species of particles, are studied via an application of the linear integral transport equation.

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Sommario Sulla base di una esplicita applicazione dell'equazione integrale lineare del trasporto si studiano transienti di densità di corrente, che seguono brusche variazioni di campo elettrico e magnetico agenti su una miscela di due differenti specie di particelle.

     

A free boundary problem arising in oil production

For a stable two-phase free boundary problem arising in oil production, we prove the existence of a weak solution and the continuity of the free boundary.

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Sommario Si prova un teorema di esistenza di una soluzione debole per un problema stazionario a contorno libero a due fasi che interessa la produzione di petrolio. Si dimostra inoltre la continuità del contorno libero.

     

Two-plate problems in linear elasticity

Summary Some necessary and/or sufficient conditions for the existence of an equilibrium configuration of a couple of thin, noninterpenetrating plates are given. Various types of boundary data are considered, and some unstable cases discussed in detail.

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Sommario Si danno alcune condizioni necessarie e/o sufficienti per l'esistenza di una configurazione di equilibrio senza interpenetrazione di una coppia di piastre sottili. Si considerano vari tipi di dati al bordo e si discutono in dettaglio alcuni casi instabili.

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This work was supported in party by Istituto di Analisi Numerica del C.N.R., by Gruppo Nazionale di Analisi Funzionale e Applicazioni del C.N.R. and by Ministero della Pubblica Istruzione, Italy.     

Boiling and condensation with interfacial energy

Phase diagrams are affected by the pressure of interfacial energy between the phases. The main effect is that the mixture has a common boiling and condensation pressure at two concentrations unequal to zero and one.

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Sommario I diagrammi di fase per un corpo bifase sono influenzati dall'energia interfacciale fra le due fasi. L'effetto più importante è quello per il quale il corpo ha una comune pressione di ebollizione e di condensazione a concentrazioni diverse da zero ed uno.

     

A note on the optimal state of a binary solid mixture in a stressed elastic bar

We consider the potential energy of the equlibrium configuration under gravity and prescribed vertical forces or displacement of a vertical bar which is composed of a mixture of two elastic materials. It is supposed that in each horizontal cross section the mixture has an effective Young's modulus which depends only on the ratio of the two materials in that cross section, and that the dependence satisfies the bound of Paul [2].It is shown that among all arrangements of the constituents with a given volume fraction, the smallest potential energy is attained when one of the materials is segregated in a single horizontal layer. This result suggests that when a composite cylinder is kept in such a state of strain, its constituent material will eventually diffuse into this segregated state.

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Sommario Si considerano le possibili configurazioni di equilibrio di una sbarra composta da una miscela solida di due materiali elastici, posta in posizione verticale e soggetta, oltre al campo gravitazionale, ad una azione, forza o spostamento applicato, in corrispondenza di una estremità. Si suppone che, in ogni sezione trasversale, il modulo di Young della sbarra dipenda solo dal rapporto locale fra i due componenti della miscela in quella sezione e che questa dipendenza soddisfi la diseguaglianza di Paul [2].Viene mostrato che fra tutte le possibili disposizioni dei due materiali base presenti all'interno del corpo in quantità assegnata, quella che corrisponde ad un minimo per l'energia potenziale prevede che uno dei due componenti si separi dall'altro, concentrandosi in un singolo strato orizzontale. Questo risultato suggerisce che quando un cilindro composito è sottoposto a queste sollecitazioni, i suoi materiali costituenti tenderanno a diffondersi e, alla fine, a separarsi.

     

Phase transitions and hysteresis in nonlocal and order-parameter models

The paper describes two types of regularization to the basic quasistatic double-well potential problem in one space dimension. One model features a spatially nonlocal term while the other incorporates the use of an order parameter. Some basic existence and regularity results for these modified models are derived and some numerical calculations that show hysteresis and motion of phase boundaries are presented.

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Sommario Il lavoro descrive due tipi di regolarizzazione del problema quasistatico per un potenziale con due minimi in una dimensione. Un modello evidenzia caratteri di non località spaziale, mentre l'altro conduce ad una teoria con parametro d'ordine. Si derivano alcuni risultati di esistenza e regolarità e si presentano alcuni studi numerici che mostrano l'isteresi e il moto delle frontiere tra le fasi.

     

Consequences of the multiplicity of principal relaxation frequencies on linearized non-equilibrium flow fields

Summary In a previous work on non equilibrium flows the present author introduced the principal relaxation frequencies as the eigenvalues of the product of the chemical stability matrix and the kinetic matrix. This paper deals with the case in which these eigenvalues are not all distinct. It is first proved that, in general, any linearized flow field of a gas-mixture with k independent rate processes is equivalent to that of a gas-mixture with only m<k rate processes if m is the number of distinct principal relaxation frequencies. Subsequently the consequences of this fact on the structure and properties of the linearized velocity potential equation are discussed and analized.

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Sommario In un precedente lavoro sui moti non in equilibrio l'autore ha introdotto le frequenze principali di rilassamento come autovalori del prodotto tra la matrice chimica di stabilità e quella dei coefficienti cinetici. Questo lavoro considera il caso in cui detti autovalori non sono distinti. Viene innanzitutto provato che, in generale, qualsiasi moto linearizzato di una miscela gassosa sede di k reazioni e/o fenomeni di rilassamento indipendenti è equivalente a quello di una miscela in cui i processi indipendenti sono solo m<k se m è il numero delle distinte frequenze principali di rilassamento. Successivamente vengono discusse ed analizzate le conseguenze di questo fatto in relazione alla struttura e proprietà dell'equazione linearizzata del potenziale di velocità.

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This research has been sponsored in part by the Air Force Office of Scientific Research through the European Office of Aerospace Research, OAR, United States Air Force, under Contract no. F 61052-68-C-0035.     

Shock structure for heat conducting and viscid fluids

Summary The structure of plane steady shock waves is investigated for a class of theories of heat-conducting and viscid fluids which avoid the well-known difficulties of the Navier-Stokes-Fourier equations for high-frequency sound waves and acceleration waves.It is demonstrated that a unique continuous and stable shock structure exists only for sufficiently low Mach numbers.

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Sommario Si studia la struttura delle onde d'urto piane in una classe di teorie dei fluidi dissipativi che risolvono le note difficoltà delle equazioni di Navier-Stokes-Fourier per le onde sonore di alta frequenza e per le onde d'accelerazione.Si dimostra che una soluzione unica, continua e stabile esiste solo per numeri di Mach sufficientemente piccoli.

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Research supported by C.N.R., G.N.F.M.     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

On Saint-Venant's principle in three-dimensional elasticity

Summary Toupin's version of Saint-Venant's principle is extended to bodies of general shape, and an exponential upper bound for the strain energy is obtained. The rate of decay is shnow to depend on the first non-zero proper value of the Steklov problem formulated on suitable parts of the body.

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Sommario Si estende a corpi di forma qualsiasi la formulazione di Toupin del principio di de Saint Venant, ottenendo una maggiorazione di tipo esponenziale per l'energia di deformazione. Si dimostra che la velocità di estinzione dipende dal primo autovalore del problema di Steklov formulato su parti opportune del corpo.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Theoretical and experimental research on vibromachines for the transport and handling of material

Summary This paper deals with the various phases into which researches on vibromachines have been articulated over last years in many countries.A synthesis is then given of the theoretical researches carried on at the Institute of Mechanics of Machines of Polytechnic of Milan, setting forth the results obtained and analysing the approaches to the problems of different technical and scientific studies.A comparison is made between a vast series of experimental and theoretical results obtained by the same authors.

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Sommario Questo lavoro tratta delle diverse fasi nelle quali si è articolata la ricerca sulle macchine a vibrazione negli ultimi anni in molti paesi.È poi riportata una sintesi delle ricerche teoriche svolte all'Istituto di Meccanica delle Macchine del Politecnico di Milano presentando i risultati ottenuti e analizzando le impostazioni dei problemi di differenti studi tecnici e scientifici.È svolto un confronto tra una vasta serie di risultati sperimentali e teorici ottenuti dagli autori.

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Research supported by C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Direct numerical solution of the Boltzmann equation for a relaxation problem of a binary mixture of hard sphere gases

Summary The aim of the paper is the presentation of results obtained by the direct numerical solution of the Boltzmann equation in the case of a binary mixture of hard sphere gases. The system of two coupled Boltzmann equations is solved by a techique combining finite differences with the Monte Carlo evaluation of the Boltzmann collision integrals. It is shown how the technique proposed by Aristov and Tcheremissine for a single gas can be extended to a mixture. The resulting algorithm can be very well vectorized and the results of a few test calculations on the vector computer CRAY-XMP 48 are presented.

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Sommario Il presente articolo si propone la descrizione di alcuni risultati relativi ai fenomeni di rilassamento omogeneo in una miscela binaria di sfere rigide. Il sistema di equazioni di Boltzmann che regge l'evoluzione temporale delle funzioni di distribuzione dei gas componenti viene risolto numericamente con un metodo che combina l'uso di differenze finite con la valutazione dell'integrale di collisione mediante un inetodo di Monte Carlo. La tecnica presentata costituisce per alcuni aspetti la generalizzazione di quella proposta da Aristov e Tcheremissine per un singolo gas. Si evidenzia inoltre come l'algoritmo sia di per sè in massima parte vettorizzabile e si presentano alcuni risultati ottenuti sull'elaboratore vettoriale CRAY-XMP48.

     

Elastic-plastic dynamic behavior of a beam-column model

Summary An elastoplastic beam-column model with one degree of freedom subjected statically to an on-center or off-center axial compressive force is considered. Its dynamic behavior in the elastoplastic range, resulting from a transverse periodic acting force in resonance with the structure in the elastic range, is examined. The principal features are highlighted by a phase plane study.

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Sommario Si considera il modello a un grado di libertà di un'asta elastoplastica sollecitata staticamente da una forza assiale di compressione centrata o eccentrica. Si esamina il suo comportamento dinamico in campo elastoplastico per effetto di una forza trasversale periodica e in risonanza con la struttura in campo elastico, evidenziandone le principali caratteristiche attraverso lo studio nel piano delle fasi.

     

A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.