具有高斯测度的Sobolev空间上的算子逼近

研究了Cesa’ro算子在具有高斯测度的Sobolev空间上的逼近并且获得平均误差估计．     

以{ei}i^n=1为正交基的再生核Hilbert空间

再生核Hilbert空间首先是一个Hilbert空间,再生核方法(RKHS method)为研究Hilbert空间提供了一个有力的数学工具,核函数具有许多优良的性质,可以通过这些性质来刻画整个Hilbert空间。笔者主要研究了以{ei}in=1为正交基的再生核Hilbert空间H中的核函数的一些性质,并通过这些性质简要的描述了Hilbert空间H与它的核函数之间的关系。     

以{ei}ni=1为正交基的再生核Hilbert空间

再生核Hilbert空间首先是一个Hilbert空间,再生核方法(RKHS method)为研究Hilbert空间提供了一个有力的数学工具,核函数具有许多优良的性质,可以通过这些性质来刻画整个Hilbert空间.笔者主要研究了以{ei}ni=1为正交基的再生核Hilbert空间H中的核函数的一些性质,并通过这些性质简要的描述了Hilbert空间H与它的核函数之间的关系.     

在Sobolev空间上的Cesa'ro算子逼近

逼近的思想和方法渗透于几乎所有的学科,其中包括自然科学和人文科学中的学科。函数逼近论是近现代数学的重要研究方向。我们讨论Cesa'ro算子San在具有高斯测度的Sobolev空间上的逼近,并且获得了在Lq(1≤q≤∞)空间尺度下的平均误差估计。     

再生核Hilbert空间中回归损失函数的Vγ维

在机器学习问题中,学习机器的一致性和推广能力是非常重要的研究课题,通常,学习机器的推广能力与VC维和Vγ维有密切的关系,证明了再生核Hilbert空间中一类范围较广的回归损失函数集的Vγ维对于任意的γ>0有限,并给出了它的一个上界,使得刻划这种类型的学习机器的推广能力成为可能.     

具有再生核Hilbert空间中紧的偏微分算子

用再生核函数来刻画再生核空间中算子的性质,是研究再生核空间性质的一个重要方法.在本文中,研究了具有再生核的多元整函数Hilbert空间的基本性质,着重讨论了偏微分算子在该空间上的紧性,给出了一个用再生核函数刻画的偏微分算子是紧算子的充分必要条件,从而在具有再生核的多元整函数Hilbert空间上推广了已有的结果.     

函数Hilbert空间上共轭复合算子的次正常性

给出了函数Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上共轭复合算子为次正常的充要条件，推广了Ｃｏｗｅｎ的主要结果．讨论了Ｈａｒｄｙ空间Ｈ２（Ｄ）及Ｂｅｒｇｍａｎ空间Ｌ（Ｄ）上的几个复合算子的次正常性。     

一类加权Sobolev空间的嵌入研究

给出与Stein-Weiss不等式相关的一类积分算子的紧性;利用Stein-Weiss不等式,结合函数表示、延拓算子等技巧,给出一类加权Sobolev空间的紧嵌入性质。     

加权Sobolev空间中的小波级数

研究加权Sobolev空间中的小波级数的收敛性。通过对母波的傅立叶变换的探索和利用傅里叶级数的Parseval等式对加权Sobolev空间中的小波级数的部分和的变形,得到加权Sobolev空间中的小波级数依范数收敛的结论。     

广义Sobolev空间W_2~r(T)在S_q(T)尺度下的概率与平均Kolmogorov宽度问题

考察了Sobolev空间中的函数在Sq(T)尺度下的逼近特征,研究了赋有高斯测度的广义Sobolev空间Wr2(T)在Sq(T)(1≤q≤∞)尺度下的概率与平均框架下的宽度问题,并得到了概率与平均Kolmogorov宽度的精确阶.     

计算再生核的一种新方法

利用卷积及H^1（R）的再生核给出了一种计算H^n(R)的再生核的新方法。     

再生核空间H^10中分段再生核插值函数

在再生核空间Ｈ＾１０中，以其再生核作为插值逼近的基函数，构造了分段再生核插值函数，并讨论了该插值函数的最佳性质。     

Morlet小波变换的像空间

针对Morlet小波,给出了其小波变换像空间再生核函数的具体表达式,并且当固定尺度因子时利用再生核空间的理论,对Morlet小波变换的像空间作出了具体的描述,为一般小波变换像空间的讨论提供了理论基础.     

加权Sobolev空间中小波级数的收敛性

研究加权Sobolev空间中小波级数的收敛性与收敛速度.利用傅里叶级数的Parseval等式证明加权Sobolev空间中的小波级数是依范数收敛的,并在此基础上估计小波级数的余项,得到小波级数依范数收敛的速度的精确估计.     

对称性与Sobolev嵌入

建立了一个Sobolev空间上部分对称函数到加权Lp空间的嵌入定理,并给出这一定理对具临界增长非线性椭圆边值问题的应用。过去这类结论主要是关于Holder函数的,笔者将这一结论推广到连续函数。     

对称Sobolev空间到加权L2*空间的紧嵌入

根据LIons引理,建立了Sobolev空间H1(Rn)到一类加权L2*空间紧嵌入定理。将这一理论应用到Rn上的标量场方程,得到具有限能量的正解,推广了文献[2]的部分结果。     

Banach空间上的Hilbert不等式

利用内积和泛函,在Hilbert空间和Banach空间中讨论Hilbert不等式,建立了抽象空间的Hilbert不等式.     

Hilbert空间上混沌的加权移位算子

利用权数讨论了加权移位算子T在Hilbert空间l^2（N）上的混沌性质,并给出这些性质在空间l^2（Hn）上的推广;接着讨论了加权移位算子轨道的复杂性,指出一个线性算子的轨道可以和一个紧距离空间上的任意连续函数的轨道具有相同的复杂性．     

函数Hilbert空间上共轭复合算子的次正常性

本文绘出了函数Hilbert空间上共轭复合算子为次正常的先要条件，[1]中结果可作为本文结果的推论。此外我们还对两个具体的函数Hilbert空间──Hardy空间H2（D）和Bergman空间L2a（D）上的具体的复合算子的次正常性进行了讨论。