趣读畸形的等腰三角形

<正>如果将等腰三角形ABC的顶角顶点A分裂为两个点,记为A1、A2,连线A1A2与底边BC交于点D,仍保持两腰A1B和A2C相等,我们不妨把所得图形称为畸形的等腰三角形,如图1所示.特别地,若点D为底边BC的中点,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的底边上的中线.若∠BA1D=∠CA2D,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的顶角平分线.非常有趣的一个现象是等腰三角形的一些性质,也传给了畸形的等腰三角形.例如,等     

新题征展(64)

A　题组新编1 .已知平面上不同的四点 A、B、C、D.( 1 )若 ( DB+ DC- 2 DA) .( AB - AC)= 0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 2 )若 DB.DC+ CD .DC+ DA .BC=0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 3)若　 ( DA - DB) .( BD + DC) .( | DB - DA| 2 - | DC - DB| 2 ) =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 4 )若 ( DA - DB) 2 =( DB - DC) 2 ,且DA .DB+ DB.DC- DA .DC- | DB| 2 =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( A)直角三角形或等腰三角形( B)等腰直角三角形( C)等腰三角形但不一定是直角三角形( D)直角三角形但不一定是等腰三角形2 .( 1 )已知 A…     

新题征展(45)

A.题组新编1.已知椭圆方程 x22 +y24 =1,过椭圆上点 A(1,2 )作两条倾斜角互补的直线 ,与椭圆分别交于异于点 A的点 B和点 C.(1)求直线 BC的斜率 k0 ;(2 )证明 :直线 OA平行于直线 BC;(3)若直线 BC在 y轴上的截距为 2 ,求△ ABC的面积 S1 ;(4)若四边形 OABC为平行四边形 ,求△ ABC的面积 S2 ;(5 )若△ ABC的面积为 S,求 S的最大值 .2 .(1)某区有 7条南北向街道 ,5条东西向街道 (图 1) ,从 A点走向 B点最短路线有多少条 ?(2 )若在第 (1)小题中 ,又要求必须经过C点 ,最短路线有多少条 ?图 1　　　　　　　　图 2(3)图 2是一个城…     

分类讨论求解一例

<正>题目已知△ABC,∠B=36°,△ABC能分成两个等腰三角形,画出各种可能情况的示意图,并在示意图中标注两个等腰三角形各内角的度数.要将△ABC分成两个三角形,则分割线必从一个顶点出发,这个分割线可以是从B点出发,也可以是从A(或C)出发,因此需要分两种情况进行解决:(一)当分割线从点A出发时(如图1),由题意知△ABD和△ADC为等腰三角形.在     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

一个模型的生长点

<正>图1模型如图1,在直线l的同侧有两点A、C,在直线l上找一点B使AB+BC的值最小.如图1,显然我们先找到点A关于直线l的对称点A′,连结A′C交直线l于点B,则此时AB+BC=A′C最小.证明简单,这里从略.生长点一一个动点图2例1(第16届希望杯赛题)如图2,正△ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC上的动点,连结PB和PD得到△PBD.求:(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;(2)△PBD的周长的最小值.简析(1)略;(2)△PBD中,因为点B和点D是定点,所以BD的长度唯一确定,又正△ABC的边长为a,即BD=12a,所以若求△PBD的周长的最小值,只需求出PB+PD的最小值即可,此时已经     

锐角三角函数在计算圆的半径中的应用

<正>已知三角形一边和对角可以计算三角形外接圆半径,附加三角形为等腰三角形条件,可以确定三角形内切圆的半径.例1(2012年湖北武汉中考第22题)在锐角△ABC中,BC=5,sinA=4/5,(1)如图1,求△ABC的外接圆的直径;(2)如图2,点I为△ABC的内心,若BA=BC,求AI的长.     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三边上 ,那么这个三角形是三角形 .2 .到线段两端点的距离相等的点在 .3 .等边三角形ABC中 ,∠B ,∠C的平分线交于O ,O到点B ,C的距离为 2 3 cm ,则△ABC的周边长为cm ,面积为cm2 .4.如图 1 .∠B =∠C =60°,∠B ,∠C的平分线交于O ,过O点作MN∥BC .若BC =6cm ,则MN= .5 .等腰直角三角形的面积为2cm2 ,则斜边上的高为cm .6.边长为a的等边三角形的面积等于 .7.以 1 0cm为底的等腰三角形 ,腰长x的取值范围是 .8.如图 2 .已知AD∥BC ,则∠ 1 …     

试题因探究而精彩

一、试题与答案回放题目:(江苏盐城市第27题)(1)情境观察.将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是     

综合题新编选登

题149已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).1)若△ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;2)若∠A=π2,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.解1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0),于是有x1220 y1216=1,x2220 y221     

由一道中考题想到的翻折问题

我们先看一道中考题例1如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;)若直线绕点     

"垂边三角形"的一组优美性质

文[1]建立了关于"垂边三角形"的有关概念: 　　如图,过△ABC的顶点A作A1B1⊥AB,过B作B1C1上BC,过C作C1A1⊥CA,交出的△A1B1C1叫做△ABC的垂边三角形.它相当于把△ABC顺时针或逆时针旋转了90°适当放大.……     

对一道几何题的讨论

有这样一道几何题“如图1,△ABC中,高AD、CG交于F,E为BC的中点。设AD=BC=2a求证EF+DF=c”。这是一个古老的命题。其实,只当△ABC为锐角三角形时为真,其证明可采用几何法或坐标法(证明略)。当△ABC为钝角三角形时我们有下面的结论: 在钝角三角形ABC中,高AD、GC的延长线交于点F,E为BC的中点,若AD=BC=2a,则EF-DF=a,如图2所示。证明:建立如图2所示坐标系,设点F的坐标为(x,y),则点A、B、c的坐标分别为     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如图 ,在△ABC中 ,AH⊥BC于H ,则图中以AH为高的三角形共有个 .2 .一个三角形的两边长为2、9,第三边长为偶数 ,则三角形的周长为 .3 .已知△ABC中 ,∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4,则这个三角形是三角形 .4.如图 ,已知AD ,BC相交于E ,且OA =OC .补充一个条件 ,可使△OAD≌△OCB ,应补充的条件是 (只须写出一个条件 ) ,此时 ,判定△OAD与△OCB全等的理由是 (填判定公理或推论的简写形式 ) .5 .等腰三角形中 ,有一个内角为 5 0°,则其余两个角的度数为 .6.等腰三角形的角平分线、中线和高共…     

等腰三角形的两种证法

<正>题目如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一点,若∠BAP=∠CAQ,则△ABC是等腰三角形.思路1由BP=CQ,A为BC外一点,尝试通过作辅助线(高)建立∠BAP、∠CAQ与三角形面积之间的联系,再由BP=CQ联想到BQ=CP,由S_(△BAP)=S_(△CAQ)联想到S_(△BAQ)=S_(△CAP),尝试两次运用"等底等高三角形的面积相等"来解决问题.     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,